Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Điều kiện: $x - 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$

Khi đó:

$\sqrt {x - 1}  = x - 3 \Leftrightarrow x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - 7{\rm{x}} + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,(ktm)\\x = 5\,\,\,(tm)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 5$ .

Điều kiện: $2 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 2$

Khi đó: $\sqrt {{x^2} + 2x + 4}  = \sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} + 4 = 2 - x \Leftrightarrow {x^2}{\rm{ + 3x}} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\,\,\,(tm)\\x =  - 1\,\,\,\,(tm)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có $2$  nghiệm $x =  - 1$  và $x =  - 2$ .

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}3 - x \ge 0\\x + 2 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 3\\x \ge  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 3$

Khi đó: $\sqrt {3 - x}  = \sqrt {x + 2}  + 1 \Leftrightarrow 3 - x = x + 2 + 1 + 2\sqrt {x + 2}  \Leftrightarrow  - 2{\rm{x}} = 2\sqrt {x + 2}  \Leftrightarrow  - {\rm{x}} = \sqrt {x + 2}$

Điều kiện $- x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 0$ nên điều kiện của $x$  là: $- 2 \le x \le 0$

Phương trình  $\Leftrightarrow {x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,\,(tm)\\x = 2\,\,\,\,\,\,(ktm)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có $1$ nghiệm $x =  - 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} + \sqrt[3]{{x + 3}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}} =  - \sqrt[3]{{x + 3}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} + \sqrt[3]{{x + 2}}} \right)^3} = {\left( { - \sqrt[3]{{x + 3}}} \right)^3}\\ \Leftrightarrow x + 1 + x + 2 + 3\sqrt[3]{{(x + 1)(x + 2)}}\left[ {\sqrt[3]{{(x + 1)}} + \sqrt[3]{{(x + 2)}}} \right] =  - x - 3\\ \Rightarrow 3\sqrt[3]{{(x + 1)(x + 2)}}.\left( { - \sqrt[3]{{x + 3}}} \right) =  - 3x - 6\\ \Leftrightarrow \sqrt[3]{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} = x + 2\\ \Leftrightarrow (x + 1)(x + 2)(x + 3) = {(x + 2)^3}\\ \Leftrightarrow (x + 2)({x^2} + 4{\rm{x}} + 3 - {x^2} - 4{\rm{x}} - 4) = 0\\ \Leftrightarrow x + 2 = 0 \Leftrightarrow x =  - 2\end{array}$

Thay $x=-2$ lại phương trình ta thấy thỏa mãn.

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = -2$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\7 - x > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 2\\x < 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < 7$

Khi đó $x+5>0$ nên phương trình $\Leftrightarrow \sqrt {(x - 2)(7 - x)}  = x + 5$ $\Leftrightarrow  - {x^2} + 9{x} - 14 = {x^2} + 10{x} + 25$

$\Leftrightarrow 2{x}^2 + x + 39 = 0$ , có $\Delta = -311 < 0$ nên phương trình vô nghiệm.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\5 - 2x \ge 0\\2{\rm{x}} \ge 0\\7 - 3{\rm{x}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \le \dfrac{5}{2}\\x \ge 0\\x \le \dfrac{7}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 \le x \le \dfrac{7}{3}$

Phương trình $\Leftrightarrow{\left( {\sqrt {x + 2}  + \sqrt {5 - 2{\rm{x}}} } \right)^2} = {\left( {\sqrt {2{\rm{x}}}  + \sqrt {7 - 3{\rm{x}}} } \right)^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2 + 5 - 2{\rm{x}} + 2\sqrt {(x + 2)(5 - 2{\rm{x}})}  = 2{\rm{x}} + 7 - 3{\rm{x}} + 2\sqrt {2{\rm{x}}\left( {7 - 3{\rm{x}}} \right)} \\ \Leftrightarrow 2\sqrt {(x + 2)(5 - 2{\rm{x}})}  = 2\sqrt {2{\rm{x}}\left( {7 - 3{\rm{x}}} \right)} \\ \Leftrightarrow (x + 2)(5 - 2{\rm{x}}) = 2{\rm{x}}\left( {7 - 3{\rm{x}}} \right)\\ \Leftrightarrow  - 2{{\rm{x}}^2} + x + 10 = 14{\rm{x}} - 6{{\rm{x}}^2}\\ \Leftrightarrow  - 4{{\rm{x}}^2} + 13{\rm{x}} - 10 = 0\end{array}$

Do đó tích các nghiệm của phương trình là $\dfrac{{ - 10}}{{ - 4}} = \dfrac{5}{2}$

Điều kiện: $1 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}\sqrt {{x^4} - 2{{\rm{x}}^2} + 1}  = 1 - x \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{{\rm{x}}^2} - 1} \right)}^2}}  = 1 - x\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} = {\left( {1 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}.{\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {1 - x} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} + 2{\rm{x}} + 1 - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\{x^2} + 2{\rm{x}} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 2\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có $3$  nghiệm

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3 \ge 0\\6 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 3\\x \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 3 \le x \le 6$

Đặt: $\sqrt {x + 3}  - \sqrt {6 - x}  = t\,\,$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 3}  - \sqrt {6 - x} } \right)^2} = {t^2} \Leftrightarrow x + 3 + 6 - x - 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)}  = {t^2}\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)}  = 9 - {t^2} \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 3} \right)\left( {6 - x} \right)}  = \dfrac{{9 - {t^2}}}{2}\,\,\,\left( { - 3 \le t \le 3} \right)\end{array}$

Khi đó, phương trình trở thành: $t = 3 + \dfrac{{9 - {t^2}}}{2} \Leftrightarrow {t^2} + 2t - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - 5\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

Với $t = 3 \Rightarrow \sqrt {x + 3}  - \sqrt {6 - x}  = 3$$\Leftrightarrow \sqrt {x + 3}  = 3 + \sqrt {6 - x}$ $\Leftrightarrow x + 3 = 9 + 6\sqrt {6 - x}  + 6 - x$ $\Leftrightarrow 2x - 12 = 6\sqrt {6 - x}$ $\Leftrightarrow x - 6 = 3\sqrt {6 - x}$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 6 \ge 0\\{x^2} - 12x + 36 = 9\left( {6 - x} \right)\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 6\\{x^2} - 3x - 18 = 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 6\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 3\left( l \right)\\x = 6\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 6$

 Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ 6 \right\}$

Điều kiện: ${x^2} - 6{\rm{x}} + 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le 3 - \sqrt 3 \\x \ge 3 + \sqrt 3 \end{array} \right.$

Đặt: $\sqrt {{x^2} - 6{\rm{x}} + 6}  = t\,\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ $\Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 6 = {t^2}$ $\Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 9 = {t^2} + 3$

Khi đó, phương trình trở thành: $\Leftrightarrow {t^2} + 3 = 4t \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

+) Với $t = 1$ $\Rightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 6 = 1$ $\Leftrightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 5 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 5\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

+) Với $t = 3$ $\Rightarrow {x^2} - 6{\rm{x}} + 6 = 9$ $\Leftrightarrow {x^2} - 6x - 3 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 + 2\sqrt 3 \,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3 - 2\sqrt 3 \,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có $4$  nghiệm.

Điều kiện: $12 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 12$

Đặt $\sqrt[3]{{x + 24}} = u;\,\,\sqrt {12 - x}  = v \Rightarrow$Hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}u + v = 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{u^3} + {v^2} = 36\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ $(1)\Rightarrow v = 6 – u.$ Thay vào $(2)$ ta được:

${u^3} + {\left( {6 - u} \right)^2} = 36 \Leftrightarrow {u^3} + {u^2} - 12u = 0 \Leftrightarrow u\left( {{u^2} + u - 12} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\u = 3\\u =  - 4\end{array} \right.$

+) Với $u = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} = 0$ $\Leftrightarrow x =  - 24\,\,\,\left( {tm} \right)$

+) Với $u = 3$ $\Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} = 3$ $\Leftrightarrow x + 24 = 27$ $\Leftrightarrow x = 3\,\,\,\left( {tm} \right)$

+) Với $u =  - 4 \Leftrightarrow \sqrt[3]{{x + 24}} =  - 4 \Leftrightarrow x + 24 =  - 64 \Leftrightarrow x =  - 88\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)$

Vậy phương trình có $3$  nghiệm.

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\3 - x \ge 0\\\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3$

Đặt: $\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  = t(t > 0)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 1 + 3 - x + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  = {t^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  = \dfrac{{{t^2} - 4}}{2}\end{array}$

Khi đó, phương trình trở thành: $\dfrac{2}{t} = 1 + \dfrac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{2}{t} = \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^3} - 2t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} + 2t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\end{array}$

+) Với $t = 2$ $\Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Tổng bình phương các nghiệm là $10$ .

Điều kiện: $x > 0$

Ta có: $5\sqrt x  + \dfrac{5}{{2\sqrt x }} = 2{\rm{x}} + \dfrac{1}{{2{\rm{x}}}} + 4 \Leftrightarrow 5\left( {\sqrt x  + \dfrac{1}{{2\sqrt x }}} \right) = 2\left( {{\rm{x}} + \dfrac{1}{{{\rm{4x}}}}} \right) + 4$

Đặt $\sqrt x  + \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = t\,\,\,\left( {t > 0} \right)$ $\Leftrightarrow {t^2} = x + \dfrac{1}{{4x}} + 1$ $\Leftrightarrow x + \dfrac{1}{{4x}} = {t^2} - 1$

Khi đó phương trình trở thành: $5t = 2\left( {{t^2} - 1} \right) + 4$ $\Leftrightarrow 2{t^2} - 5t + 2 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$                    

+) Với $t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x + \dfrac{1}{{4{\rm{x}}}} =  - \dfrac{3}{4}$ $\Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2}{\rm{  +  3x}} + 1 = 0$ (vô nghiệm)

+) Với $t = 2$ $\Rightarrow x + \dfrac{1}{{4{\rm{x}}}} = 3$ $\Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Vậy tổng $2$ nghiệm của phương trình là: $3$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}3{{\rm{x}}^2} + 6{\rm{x}} + 16 \ge 0\\{x^2} + 2{\rm{x}} \ge 0\\{x^2} + 2{\rm{x}} + 4 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le  - 2\\x \ge 0\end{array} \right.$

Đặt $t = \sqrt {{x^2} + 2x} \,\,\,\left( {t \ge 0} \right) \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 2x \Leftrightarrow {t^2} = {x^2} + 2x$

Phương trình trở thành: $\sqrt {3{t^2} + 16}  + t = 2\sqrt {{t^2} + 4}$

                                       $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{t^2} + 16 + {t^2} + 2t\sqrt {3{t^2} + 16}  = 4{t^2} + 16\\ \Leftrightarrow 2t\sqrt {3{t^2} + 16}  = 0 \Leftrightarrow t = 0\end{array}$            

+) Với $t = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x =  - 2\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là : $S = \left\{ {0; - 2} \right\}$

Vì : $4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 11 = 4{\left( {x - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + 2 > 0,\forall x$ nên phương trình xác định với mọi $x$  

Đặt: $\sqrt {4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 11}  = t(t \ge \sqrt 2 )$     

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 11 = {t^2}\\ \Leftrightarrow 4{{\rm{x}}^2} - 12{\rm{x}} + 15 = {t^2} + 4\end{array}$

Khi đó, phương trình trở thành: ${t^2} - 5t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\t = 4\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

+) Với $t = 4$ $\Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 11 = 16$ $\Leftrightarrow 4{x^2} - 12x - 5 = 0$

Tổng $2$ nghiệm của phương trình là $3$ .

Ta có: ${x^2} + 3{\rm{x}} + 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1}$ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right) + 3\left( {x + 3} \right) - 9 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1}$       

Đặt $\sqrt {{x^2} + 1}  = u\left( {u \ge 0} \right);x + 3 = v$

Phương trình trở thành:

${u^2} + 3v - 9 = uv \Leftrightarrow {u^2} + 3v - 9 - uv = 0 \Leftrightarrow \left( {{u^2} - 9} \right) - v(u - 3) = 0 \Leftrightarrow \left( {u - 3} \right)\left( {u + 3 - v} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\u + 3 - v = 0\end{array} \right.$

+) Với $u = 3 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = 9$ $\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 9 \Leftrightarrow x =  \pm 2\sqrt 2$

+) Với $u + 3-v = 0$ $\Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + 3 - (x + 3) = 0$ $\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = x \Leftrightarrow {x^2} + 1 = {x^2}$(vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ { \pm 2\sqrt 2 } \right\}$

Đặt $t = \sqrt[3]{{2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 10}} \Leftrightarrow {t^3} = 2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}} - 10 \Leftrightarrow {t^3} + 10 = 2{{\rm{x}}^2} + 3{\rm{x}}$

Khi đó phương trình trở thành: ${t^3} + 10 - 14 = 2t \Leftrightarrow {t^3} - 2t - 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} + 2t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2$ (Vì ${t^2} + 2t + 2= 0$ vô nghiệm)

+) Với $t = 2 \Rightarrow 2{{\rm{x}}^2} + 3x = 18$ $\Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} + 3x - 18 = 0\,\,\left( * \right)\,\,\,\left( {tm} \right)$

Giả sử ${x_1},{x_2}$  là hai nghiệm của phương trình (*)

Theo Vi – et, ta có : $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \dfrac{3}{2}\\{x_1}.{x_2} =  - 9\end{array} \right.$

$\Rightarrow A = \sqrt {{x_1}^2 + {x_2}^2 - 4{{\rm{x}}_1}{x_2}}  = \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 6{x_1}.{x_2}}  = \sqrt {\dfrac{9}{4} + 54}  = \sqrt {\dfrac{{225}}{4}}  = \dfrac{{15}}{2}$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2 \ge 0\\2 - x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 2\\x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le x \le 2$

Đặt: $t = 3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} = 9\left( {x + 2} \right) + 36\left( {2 - x} \right) - 36\sqrt {4 - {x^2}} \\ \Leftrightarrow {t^2} = 9\left( {x + 2 + 8 - 4x - 4\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\\ \Leftrightarrow {t^2} = 9\left( {10 - 3x - 4\sqrt {4 - {x^2}} } \right)\\3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x}  + 4\sqrt {4 - {x^2}}  = 10 - 3{\rm{x}}\\ \Leftrightarrow 3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x}  = 10 - 3x - 4\sqrt {4 - {x^2}} \\ \Rightarrow t = \dfrac{{{t^2}}}{9} \Leftrightarrow {t^2} = 9t \Leftrightarrow t\left( {t - 9} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 9\end{array} \right.\end{array}$

+) Với $t = 0 \Rightarrow 3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x}  = 0 \Leftrightarrow 3\sqrt {x + 2}  = 6\sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow x + 2 = 8 - 4x \Leftrightarrow x = \dfrac{6}{5}$

+) Với $t = 9 \Rightarrow 3\sqrt {x + 2}  - 6\sqrt {2 - x}  = 9 \Leftrightarrow \sqrt {x + 2}  = 3 + 2\sqrt {2 - x}$

                    $\Leftrightarrow x + 2 = 9 + 8 - 4x + 12\sqrt {2 - x}  \Leftrightarrow 5x - 15 = 12\sqrt {2 - x}$

Điều kiện: $5{\rm{x}} - 15 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 3$(không thoả mãn $- 2 \le x \le 2$)

Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất $x = \dfrac{6}{5}$

Điều kiện : $x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1$

Ta có: $\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6}  = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1}  \Leftrightarrow \sqrt {4{{\rm{x}}^2} - 4x + 1 + 5{\rm{x}} + 5}  = 2(2{\rm{x}} - 1) + 7\sqrt {x + 1}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2} + 5\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}  = 2\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) + 7\sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\dfrac{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}{{x + 1}}}^2} + 5}  = 2.\dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }} + 7\end{array}$

Đặt $t = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$, phương trình trở thành:$\sqrt {{t^2} + 5}  = 2t + 7$

Điều kiện $2t + 7 \ge 0 \Leftrightarrow t \ge  - \dfrac{7}{2}$

Phương trình:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = {\left( {2t + 7} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = 4{t^2} + 28t + 49\\ \Leftrightarrow 3{t^2} + 28t + 44 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - \dfrac{{22}}{3}\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$

+) Với $t =  - 2 \Leftrightarrow  - 2 = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$ $\Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  =  - x + \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( * \right)$

Điều kiện $- x + \dfrac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{2}$

Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} - x + \dfrac{1}{4}$ $\Leftrightarrow {x^2} - 2x - \dfrac{3}{4} =0$ $\Leftrightarrow 4{x^2} - 8x - 3 = 0$

$\Leftrightarrow x=\dfrac{2-\sqrt{7}}{2}$

Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình ban đầu là $\dfrac{11-4\sqrt{7}}{4}$

Điều kiện: $x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge  - 1$

Ta có:

$\begin{array}{l}x + 5 - 4\sqrt {x + 1}  = x + 1 - 4\sqrt {x + 1}  + 4 = {\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)^2}\\x + 2 - 2\sqrt {x + 1}  = x + 1 - 2\sqrt {x + 1}  + 1 = {\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)^2}\end{array}$

Phương trình:

$\begin{array}{l}\sqrt {x + 5 - 4\sqrt {x + 1} }  + \sqrt {x + 2 - 2\sqrt {x + 1} }  = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 2} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x + 1}  - 1} \right)}^2}}  = 1\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x + 1}  - 2} \right| + \left| {\sqrt {x + 1}  - 1} \right| = 1\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}$

+) Trường hợp 1: Nếu $\sqrt {x + 1}  \ge 2 \Leftrightarrow x + 1 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 3$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\sqrt {x + 1}  - 2} \right| = \sqrt {x + 1}  - 2\\\left| {\sqrt {x + 1}  - 1} \right| = \sqrt {x + 1}  - 1\end{array} \right.$

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  - 2 + \sqrt {x + 1}  - 1 = 1$ $\Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = 2 \Leftrightarrow x + 1 = 4 \Leftrightarrow x = 3\left( {tm} \right)$

+) Trường hợp 2: Nếu $\sqrt {x + 1}  \le 1 \Leftrightarrow x + 1 \le 1 \Leftrightarrow x \le 0$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\sqrt {x + 1}  - 2} \right| = 2 - \sqrt {x + 1} \\\left| {\sqrt {x + 1}  - 1} \right| = 1 - \sqrt {x + 1} \end{array} \right.$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 - \sqrt {x + 1}  + 1 - \sqrt {x + 1}  = 1$ $\Leftrightarrow \sqrt {x + 1}  = 1 \Leftrightarrow x + 1 = 1 \Leftrightarrow x = 0\left( {tm} \right)$

+) Trường hợp 3: Nếu $1 < \sqrt {x + 1}  < 2$ $\Leftrightarrow 1 < x + 1 < 4$ $\Leftrightarrow 0 < x < 3$ thì: $\left\{ \begin{array}{l}\left| {\sqrt {x + 1}  - 2} \right| = 2 - \sqrt {x + 1} \\\left| {\sqrt {x + 1}  - 1} \right| = \sqrt {x + 1}  - 1\end{array} \right.$

$(1) \Leftrightarrow 2 - \sqrt {x + 1}  + \sqrt {x + 1}  - 1 = 1$

$\Leftrightarrow 1 = 1$ (luôn đúng với $\forall x \in (0; 3)$)

Vậy tập nghiệm của phương trình là $[0; 3]$

Điều kiện: $2{\rm{x}} - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$

Đặt $t = \sqrt {2{\rm{x}} - 1} \left( {t \ge 0} \right) \Rightarrow x = \dfrac{{{t^2} + 1}}{2}(*)$.Thay (*) vào phương trình, ta được:

$t + {\left( {\dfrac{{{t^2} + 1}}{2}} \right)^2} - 3\left( {\dfrac{{{t^2} + 1}}{2}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow {t^4} - 4{t^2} + 4t - 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2}\left( {{t^2} + 2t - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = \sqrt 2  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t =  - \sqrt 2  - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$

+) Với $t = 1 \Rightarrow 1 = \sqrt {2{\rm{x}} - 1}  \Leftrightarrow x = 1$

+) Với  $t = \sqrt 2  - 1 \Rightarrow \sqrt 2  - 1 = \sqrt {2{\rm{x}} - 1}  \Leftrightarrow x = 2 - \sqrt 2$

Vậy phương trình có 2 nghiệm