Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6} = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1} $ là:
Trả lời bởi giáo viên
Điều kiện : $x + 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 1$
Ta có: $\sqrt {4{{\rm{x}}^2} + x + 6} = 4{\rm{x}} - 2 + 7\sqrt {x + 1} \Leftrightarrow \sqrt {4{{\rm{x}}^2} - 4x + 1 + 5{\rm{x}} + 5} = 2(2{\rm{x}} - 1) + 7\sqrt {x + 1} $
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}^2} + 5\left( {{\rm{x}} + 1} \right)} = 2\left( {2{\rm{x}} - 1} \right) + 7\sqrt {x + 1} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\dfrac{{\left( {2{\rm{x}} - 1} \right)}}{{x + 1}}}^2} + 5} = 2.\dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }} + 7\end{array}$
Đặt $t = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$, phương trình trở thành:$\sqrt {{t^2} + 5} = 2t + 7$
Điều kiện $2t + 7 \ge 0 \Leftrightarrow t \ge - \dfrac{7}{2}$
Phương trình:
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = {\left( {2t + 7} \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} + 5 = 4{t^2} + 28t + 49\\ \Leftrightarrow 3{t^2} + 28t + 44 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - \dfrac{{22}}{3}\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}$
+) Với $t = - 2 \Leftrightarrow - 2 = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$ $ \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} = - x + \dfrac{1}{2}\,\,\,\left( * \right)$
Điều kiện $ - x + \dfrac{1}{2} \ge 0 \Leftrightarrow x \le \dfrac{1}{2}$
Khi đó $\left( * \right) \Leftrightarrow x + 1 = {x^2} - x + \dfrac{1}{4} $ $\Leftrightarrow {x^2} - 2x - \dfrac{3}{4} =0$ $\Leftrightarrow 4{x^2} - 8x - 3 = 0$
$\Leftrightarrow x=\dfrac{2-\sqrt{7}}{2}$
Vậy tổng bình phương các nghiệm của phương trình ban đầu là $\dfrac{11-4\sqrt{7}}{4}$
Hướng dẫn giải:
+ Phân tích từng vế của phương trình để xuất hiện nhân tử chung
+ Chia cả $2$ vế của phương trình cho $\sqrt {x + 1} $ với điều kiện $x \ge- 1$
+ Đặt $t = \dfrac{{2{\rm{x}} - 1}}{{\sqrt {x + 1} }}$ được phương trình ẩn $t$