Tập nghiệm của phương trình ${x^2} + 3{\rm{x}} + 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} $ là:

Ta có: ${x^2} + 3{\rm{x}} + 1 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1}  $ $\Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right) + 3\left( {x + 3} \right) - 9 = \left( {x + 3} \right)\sqrt {{x^2} + 1} $       

Đặt $\sqrt {{x^2} + 1}  = u\left( {u \ge 0} \right);x + 3 = v$

Phương trình trở thành:

${u^2} + 3v - 9 = uv \Leftrightarrow {u^2} + 3v - 9 - uv = 0 \Leftrightarrow \left( {{u^2} - 9} \right) - v(u - 3) = 0 \Leftrightarrow \left( {u - 3} \right)\left( {u + 3 - v} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 3\,\,\,\left( {tm} \right)\\u + 3 - v = 0\end{array} \right.$

+) Với $u = 3 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = 9 $ $\Leftrightarrow {x^2} + 1 = 9 \Leftrightarrow x =  \pm 2\sqrt 2 $

+) Với $u + 3-v = 0$ $ \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  + 3 - (x + 3) = 0$ $ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 1}  = x \Leftrightarrow {x^2} + 1 = {x^2}$(vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S = \left\{ { \pm 2\sqrt 2 } \right\}$