Gọi \(S\) là tập nghiệm của phương trình \(\sqrt {5{x^2} + 4x} - \sqrt {{x^2} - 3x - 18} = 5\sqrt x \). Số phần tử của \(S\) là:
\(\sqrt {5{x^2} + 4x} - \sqrt {{x^2} - 3x - 18} = 5\sqrt x \,\,\,\left( 1 \right)\)
(ĐK : \(\left\{ \begin{array}{l}5{x^2} + 4x \ge 0\\{x^2} - 3x - 18 \ge 0\\x \ge 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0,x \le - \dfrac{4}{5}\\x \ge 6,x \le - 3\\x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 6\))
Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \sqrt {5{x^2} + 4x} = 5\sqrt x + \sqrt {{x^2} - 3x - 18} \)
\( \Leftrightarrow 5{x^2} + 4x = 25x + {x^2} - 3x - 18 + 10\sqrt x .\sqrt {{x^2} - 3x - 18} \)
\( \Leftrightarrow 4{x^2} - 18x + 18 = 10\sqrt {x\left( {{x^2} - 3x - 18} \right)} \)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 9x + 9 = 5\sqrt {x\left( {x - 6} \right)\left( {x + 3} \right)} \)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 12x + 3x + 9 = 5\sqrt {\left( {{x^2} - 6x} \right)\left( {x + 3} \right)} \)
\( \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} - 6x} \right) + 3\left( {x + 3} \right) = 5\sqrt {{x^2} - 6x} .\sqrt {x + 3} \)
Dễ thấy \(x = 6\) không là nghiệm phương trình nên với \(x > 6\) ta chia cả hai vế cho \({x^2} - 6x > 0\) ta được :
\(2 + 3.\dfrac{{x + 3}}{{{x^2} - 6x}} = 5.\dfrac{{\sqrt {x + 3} }}{{\sqrt {{x^2} - 6x} }}\,\,\left( 2 \right)\)
Đặt \(\dfrac{{\sqrt {x + 3} }}{{\sqrt {{x^2} - 6x} }} = t > 0\) thì \(\left( 2 \right)\) trở thành \(3{t^2} - 5t + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\left( {TM} \right)\\t = \dfrac{2}{3}\left( {TM} \right)\end{array} \right.\)
+ Nếu \(t = 1\) thì \(\sqrt {x + 3} = \sqrt {{x^2} - 6x} \)\( \Leftrightarrow x + 3 = {x^2} - 6x\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 7x - 3 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{7 + \sqrt {61} }}{2}\left( {TM} \right)\\x = \dfrac{{7 - \sqrt {61} }}{2}\left( L \right)\end{array} \right.\)
+ Nếu $t = \dfrac{2}{3}$ thì \(\sqrt {x + 3} = \dfrac{2}{3}\sqrt {{x^2} - 6x} \) \( \Leftrightarrow x + 3 = \dfrac{4}{9}\left( {{x^2} - 6x} \right)\) \( \Leftrightarrow 4{x^2} - 33x - 27 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 9\left( {TM} \right)\\x = - \dfrac{3}{4}\left( L \right)\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm \(S = \left\{ {\dfrac{{7 + \sqrt {61} }}{2};9} \right\}\) hay \(S\) có \(2\) phần tử.
Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt {{x^2} - mx + 3} = \sqrt {2x - 1} \) có hai nghiệm phân biệt là
Bước 1:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} - mx + 3} = \sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - mx + 3 = 2x - 1\\2x - 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 4 = 0(*)\\x \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Bước 2:
Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} > {x_2} \ge \dfrac{1}{2}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\S = {x_1} + {x_2} > 1\\\left( {{x_1} - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} - \dfrac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} - 16 > 0\\m + 2 > 1\\4 - \dfrac{1}{2}\left( {m + 2} \right) + \dfrac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m + 2 > 4\\m + 2 < - 4\end{array} \right.\\m > - 1\\m \le \dfrac{{13}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < - 6\end{array} \right.\\m > - 1\\m \le \dfrac{{13}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m \le \dfrac{{13}}{2}\end{array}\)
Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;6} \right\}\).
Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
