Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm

Số lớn nhất là 172, số nhỏ nhất là 159

\(R=172-159=13\)

Sắp xếp lại:

7 9 9 10 10 10 11 12 12 14

Trung vị \({Q_2} = \dfrac{{10 + 10}}{2} = 10\)

Nửa trái \({Q_2}\): 7 9 9 10 10

\({Q_1} = 9\)

Nửa phải: 10 11 12 12 14

\({Q_3} = 12\)

Khoảng tứ phân vị: \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 12 - 9 = 3\)

Ta có giá trị trung bình:

\(\bar x = \dfrac{{0,398 + 0,399 + 0,408 + 0,410 + 0,406 + 0,405 + 0,402}}{7}\)

\( = 0,404\)

Ta có bảng sau:

Phương sai:

\[{s^2} = \dfrac{{12,{{2.10}^{ - 5}}}}{7} \approx 0,000017\]

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}} \approx 4,{17.10^{ - 3}}\)

Khẳng định (1): Nếu các giá trị của mẫu số liệu càng tập trung quanh giá trị trung bình thì độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình càng nhỏ (tức là \({x_i} - \bar x\) càng nhỏ, với \(i = 1;2;...;n\)), dẫn đến độ lệch chuẩn càng nhỏ.

=> Sai

Khẳng định (2): Khoảng biến thiên R bằng hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nên chỉ sử dụng thông tin của giá trị lớn nhất và bé nhất

=> Đúng.

Khẳng định (3): Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\), các giá trị \({Q_1},{Q_3}\) không bị ảnh hưởng bởi giá trị của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (với n>4)

=> Sai

Khẳng định (4): Khoảng tứ phân vị chính là khoảng biến thiên của 50% số liệu chính giữa của mẫu số liệu đã sắp xếp

=> Sai.

Khẳng định (5): Các số đo độ phân tán là

Khoảng biến thiên R=Số lớn nhất – Số nhỏ nhất > 0

Trước khi tính khoảng tứ phân vị thì mẫu số liệu được sắp xếp theo thứ tự không giảm

=>\({Q_3} > {Q_1}\) => \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} > 0\)

Phương sai

\[{s^2} = \dfrac{{{{\left( {{x_1} - \bar x} \right)}^2} + {{\left( {{x_2} - \bar x} \right)}^2} + ... + {{\left( {{x_n} - \bar x} \right)}^2}}}{n} > 0\]

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {{s^2}} > 0\)

=> Các số đo độ phân tán đều không âm

=> Đúng.

n=10

Giả sử sau khi sắp xếp 10 số dương theo thứ tự không giảm thì được:

=> Trung vị là giá trị trung bình của số thứ 5 và thứ 6.

=> \({Q_1}\) là số thứ 3 và \({Q_3}\) là số thứ 8.

 Khi nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:

+ Số lớn nhất tăng 2 lần và số nhỏ nhất tăng 2 lần

=> R tăng 2 lần

+ \({Q_1}\) và \({Q_3}\) tăng 2 lần

=> Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) tăng 2 lần.

+ Giá trị trung bình tăng 2 lần

=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(\left| {{x_i} - \bar x} \right|\) cũng tăng 2 lần

=> \({\left( {{x_i} - \bar x} \right)^2}\) tăng 4 lần

=> Phương sai tăng 4 lần

=> Độ lệch chuẩn tăng 2 lần.

Vậy R tăng 2 lần, khoảng tứ phân vị tăng 2 lần và độ lệch chuẩn tăng 2 lần.

n=10

Giả sử sau khi sắp xếp 10 số dương theo thứ tự không giảm thì được:

=> Trung vị là giá trị trung bình của số thứ 5 và thứ 6.

=> \({Q_1}\) là số thứ 3 và \({Q_3}\) là số thứ 8.

Cộng mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 thì:

+ Số lớn nhất tăng 2 đơn vị và số nhỏ nhất tăng 2 đơn vị

=> R không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

+ \({Q_1}\) và \({Q_3}\) tăng 2 đơn vị

=> Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1}\) không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

+ Giá trị trung bình tăng 2 đơn vị

=> Độ lệch của mỗi giá trị so với giá trị trung bình \(\left| {{x_i} - \bar x} \right|\) không đổi vì phần tăng thêm bị triệt tiêu cho nhau.

=> \({\left( {{x_i} - \bar x} \right)^2}\) không đổi

=> Phương sai không đổi.

=> Độ lệch chuẩn không đổi.

Vậy khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều không đổi.

Tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn 36 là tỉ lệ thành phố có thuế thuốc lá lớn hơn \({Q_1}\)

=> Có 75%

Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 100 - 36 = 64\)

Sắp xếp theo thứ tự không giảm.

2,593 2,977 3,155 3,270 3,387 3,412 3,813 3,920 4,042 4,236

Khoảng biến thiên \(R = 4,236 - 2,593 = 1,643\)

Vì n=10 nên ta có:

\({Q_1} = 3,155\); \({Q_3} = 3,920\)

Khoảng tứ phân vị \({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3,920 - 3,155\)\( = 0,765\)

\(\bar x \approx 3,481\)

Ta có:

Phương sai là: \({s_2} = \dfrac{{2,396}}{{10}} = 0,2396\)

Độ lệch chuẩn: \(s = \sqrt {0,2396} \approx 0,489\)_.

Sắp xếp theo thứ tự không giảm.:

3,2 3,6 4,4 4,5 5,0 5,4 6,0 6,7 7,0 7,2 7,7 7,8 8,4 8,6 8,7

Vì n=15 nên \({Q_2} = 6,7\)

\({Q_1} = 4,5;{Q_3} = 7,8\)

\({\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 7,8 - 4,5 = 3,3\)

\({Q_3} + 1,5.{\Delta _Q} = 12,75\)

\({Q_1} - 1,5{\Delta _Q} = - 0,45\)

Ta thấy không có giá trị nào dưới -0,45 và trên 12,75 nên không có giá trị bất thường.