Tích của một số với một vectơ

Ta có ba điểm phân biệt $A,{\rm{ }}B,{\rm{ }}C$ thẳng hàng khi và chỉ khi các véc tơ $\overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC},\overrightarrow {BC}$ cùng phương, hay $\exists {\rm{ }}k \in \mathbb{R},k \ne 0$ sao cho $\overrightarrow {AB} {\rm{  =  }}k\overrightarrow {AC} $ hoặc $\overrightarrow {AB} {\rm{  =  }}k\overrightarrow {BC} $ hoặc $\overrightarrow {AC} {\rm{  =  }}k\overrightarrow {BC} $

Chú ý rằng hệ số $k$ phải khác $0$ nên chỉ có đáp án D sai.

Ta có $\overrightarrow a  =  - 2\overrightarrow b {\rm{ }} $ $\Rightarrow {\rm{ }}\overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  $ $=  - 2\overrightarrow b  + \overrightarrow b  =  - \overrightarrow b $

Vậy hai vectơ $\overrightarrow b ,\overrightarrow c $ đối nhau.

Do đó chúng cùng phương, ngược hướng nên các đáp án B, C, D đúng.

Đáp án A sai vì hai véc tơ đó không bằng nhau.

Ta có $GA = \dfrac{2}{3}AM$

Mặt khác $\overrightarrow {GA} $ và $\overrightarrow {AM} $ ngược hướng $\overrightarrow {GA}  =  - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AM} $.

Ta có $AM = 3MG$

Mặt khác $\overrightarrow {AM} $ và $\overrightarrow {MG} $ ngược hướng

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  =  - 3\overrightarrow {MG} \).

Ta có \(\overrightarrow {MN}  =  - 3\overrightarrow {MP} \) nên \(MN = 3MP\) và\(\overrightarrow {MN} \) và \(\overrightarrow {MP} \) ngược hướng.

Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có $\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} )$.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ nên ta có

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2\overrightarrow {AM} $

Mà \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG} \)$ \Rightarrow \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = 2.\dfrac{3}{2}\overrightarrow {AG}  = 3\overrightarrow {AG} $$ \Rightarrow \overrightarrow {AG}  = \dfrac{{\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} }}{3}$.

Ta có $AB = 3AI;\,\,\,\overrightarrow {AI} $ và $\overrightarrow {AB} $ ngược hướng nên $\overrightarrow {AB}  =  - 3\overrightarrow {AI}  \Leftrightarrow $$3\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow 0 $

Vậy $3\overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow 0 $.

Ta có

$S = \left| {2\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DB} } \right|$$ = \left| {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = a\sqrt 2 .\sqrt 2  = 2a$.

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CD} $ thì \(\left[ \begin{array}{l}AB//CD\\AB \equiv CD\end{array} \right.\).

Nên đáp án B SAI.

Do $G$ và $G'$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $ABC$và $A'B'C'$ nên

$\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow 0 $ và $\overrightarrow {A'G'}  + \overrightarrow {B'G'}  + \overrightarrow {C'G'}  = \overrightarrow 0 $

Đáp án A: $\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'}  = \left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'} } \right) = \overrightarrow 0  + 3\overrightarrow {GG'} $

Đáp án B: $\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CA'}  = \left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'} } \right) = \overrightarrow 0  + 3\overrightarrow {GG'} $

Đáp án C: $\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {CB'}  = \left( {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {CG} } \right) + \left( {\overrightarrow {GA'}  + \overrightarrow {GB'}  + \overrightarrow {GC'} } \right) = \overrightarrow 0  + 3\overrightarrow {GG'} $

Đáp án D: $\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {B'B} + \overrightarrow {C'C}  = \left( {\overrightarrow {A'G'}  + \overrightarrow {B'G'}  + \overrightarrow {C'G'} } \right) + \left( {\overrightarrow {G'A}  + \overrightarrow {G'B}  + \overrightarrow {G'C} } \right) = \overrightarrow 0  + 3\overrightarrow {G'G} $ (SAI)

Ta có\(\dfrac{1}{2}\overrightarrow a  - \overrightarrow b  =  - \left( { - \dfrac{1}{2}\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)\) nên chọn đáp án C.

Ta có \(2\overrightarrow a  - 3\overrightarrow b \) và \(\overrightarrow a  + \left( {x - 1} \right)\overrightarrow b \) cùng phương nên có tỉ lệ:\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} \Rightarrow x =  - \dfrac{1}{2}\).

Ta có

$5\overrightarrow {MA}  = 2\overrightarrow {MB}  \Leftrightarrow 5\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) = 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) \Leftrightarrow 5\overrightarrow {IA}  = 3\overrightarrow {IM}  + 2\overrightarrow {IB}  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  = \dfrac{3}{5}\overrightarrow {IM}  + \dfrac{2}{5}\overrightarrow {IB} $

Ta có:

$\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM}  $ $= \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right) $ $= \dfrac{1}{4}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {AC} $

Ta có

$\overrightarrow {IM}  = \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {BM}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {BC}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) $ $= \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB}  + \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AC} $.

Ta có \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB} } \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \Leftrightarrow 2MI = BA \Leftrightarrow MI = \dfrac{{BA}}{2}\)

Vậy tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn đường kính \(AB\).

Vẽ $\overrightarrow {AB'}  = 4\overrightarrow {AB} ;\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {AC'}  =  - \overrightarrow {AC} $. Vẽ hình bình hành $AC'DB'$

Ta có: $\left| {4\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB'}  + \overrightarrow {AC'} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD$

Do đó $AD = \sqrt {A{{B'}^2} + A{{C'}^2}}  = \sqrt {{8^2} + {2^2}}  = 2\sqrt {17} $.

Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

Ta có \(2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} \)\( = 2\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right) + 4\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)\)

Chọn điểm \(I\) sao cho \(2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow 3\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) + \overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow 0 .\)

Mà \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 3\,\overrightarrow {IG} .\)

Khi đó \(9\,\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {IC}  - \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 9\overrightarrow {IG}  + \overrightarrow {AI}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) \( \Leftrightarrow 9\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow {CA} \) \(\left(  *  \right)\)

Do đó \(\left| {2\overrightarrow {MA}  + 3\overrightarrow {MB}  + 4\overrightarrow {MC} } \right| = \left| {\overrightarrow {MB}  - \overrightarrow {MA} } \right|\)\( \Leftrightarrow \left| {9\overrightarrow {MI}  + 2\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IB}  + 4\overrightarrow {IC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right|\) \( \Leftrightarrow 9MI = AB\)

Vì \(I\) là điểm cố định thỏa mãn \(\left(  *  \right)\) nên tập hợp các điểm \(M\) cần tìm là đường tròn tâm \(I,\) bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{9} = \dfrac{a}{9}.\)

Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ , ta có $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} $.

Thay vào ta được : $\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = 6 \Leftrightarrow \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 6 \Leftrightarrow MG = 2$, hay tập hợp các điểm $M$là đường tròn có tâm là trọng tâm của tam giác $ABC$  và bán kính bằng $2$ .