Giải tam giác

Ta có \(\dfrac{1}{2}a.{h_a} = \dfrac{{abc}}{{4R}}\). Suy ra \({h_a} = \dfrac{{bc}}{{2R}}.\) hay \(bc = 2R.{h_a}\).

+ ) \(\dfrac{1}{2}a.{h_a} = \dfrac{1}{2}ab.\sin C = \dfrac{1}{2}ac.\sin B\)

Suy ra \({h_a} = b.\sin C = c.\sin B\). Suy ra mệnh đề đáp án A và B đúng.

+ ) \(\dfrac{1}{2}c.{h_c} = \dfrac{1}{2}ab.\sin C\). Suy ra \(c.{h_c} = ab.\sin C\). Suy ra mệnh đề đáp án D đúng.

+ Ta có \(p = \dfrac{{a + b + c}}{2} = \dfrac{{5 + 12 + 13}}{2} = 15\)

+ \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)}  = \sqrt {15.10.3.2}  = \sqrt {900}  = 30\)

+ Có \(S = \dfrac{1}{2}BC.CA.\sin C\)

+ Gọi $S'$  là diện tích tam giác khi tăng cạnh $BC$  lên $2$  lần đồng thời tăng cạnh $CA$  lên $3$  lần và giữ nguyên độ lớn của góc $C$ , ta có: \(S' = \dfrac{1}{2}.2BC.3CA.\sin C = 6S\)

Ta có \(S = \dfrac{1}{2}AB.AC.\sin A \Rightarrow \sin A = \dfrac{{2S}}{{AB.AC}} = \dfrac{{2.64}}{{8.18}} = \)\(\dfrac{8}{9}\)

+ Ta có \(p = \dfrac{{6 + 8 + 10}}{2} = 12\)

+ \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} \)=\(\sqrt {12.6.4.2}  = 24\)

+ \(r = \dfrac{S}{p} = \dfrac{{24}}{{12}} = 2\)

Sau \(2\) giờ tàu \(B\) đi được \(40\) hải lí, tàu \(C\) đi được \(30\) hải lí. Vậy tam giác \(ABC\) có \(AB = 40,\,\,\,AC = 30\) và \(\widehat A = {60^0}.\)

Áp dụng định lí côsin vào tam giác \(ABC,\) ta có

\({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\)\( = {30^2} + {40^2} - 2.30.40.\cos {60^0}\)\( = 900 + 1600 - 1200 = 1300\)

Vậy \(BC = \sqrt {1300}  \approx 36\) (hải lí).

Sau \(2\) giờ, hai tàu cách nhau khoảng \(36\) hải lí.

Trong tam giác \(AHB\), ta có \(\tan \widehat {ABH} = \dfrac{{AH}}{{BH}} = \dfrac{4}{{20}} = \dfrac{1}{5}\) \( \Rightarrow \widehat {ABH} \approx {11^0}19\)

Suy ra \(\widehat {ABC} = {90^0} - \widehat {ABH} = {78^0}41'\).

Suy ra \(\widehat {ACB} = {180^0} - \left( {\widehat {BAC} + \widehat {ABC}} \right) = {56^0}19'\).

Áp dụng định lý sin trong tam giác \(ABC\), ta được \(\dfrac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \dfrac{{CB}}{{\sin \widehat {BAC}}}\)\( \Rightarrow CB = \dfrac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} \approx 17{\rm{m}}\)

Ta có:

Công thức tính diện tích là: \( S = \dfrac{1}{2}ac.\sin B\)

Mà \( \widehat B = {135^o} \Rightarrow \sin B = \sin {135^o} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Thay vào công thức tính diện tích, ta được:

\( S = \dfrac{1}{2}ac.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.ac\)

Theo định lí sin, ta có: \( R = \dfrac{a}{{2\sin A}} = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{c}{{2\sin C}}\)

\( R = \dfrac{a}{{\sin A}}\) sai.

\( R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}b\)

Mà \( \sin B = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow R = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{b}{\sqrt 2} =\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}b \)

Vậy B đúng.

\( R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}c\) (Loại vì không có dữ kiện về góc C nên không thể tính R theo c.)

\( R = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}a\) (Loại vì không có dữ kiện về góc A nên không thể tính R theo a.)

\( {a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\) (Loại)

Vì: Theo định lí cos ta có: \( {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A\)

Không đủ dữ kiện để suy ra \( {a^2} = {b^2} + {c^2} + \sqrt 2 ab.\)

\( \dfrac{b}{{\sin A}} = \dfrac{a}{{\sin B}}\) (Loại)

Theo định lí sin, ta có: \( \dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}}\) 

\( \sin B = \dfrac{{ - \sqrt 2 }}{2}\)(sai vì theo câu a, \( \sin B = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\))

\( {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\cos {135^o}.\)

Theo định lý cos ta có:

\( {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca.\cos B\) (*)

Mà \( \widehat B = {135^o} \Rightarrow \cos B = \cos {135^o}\).

Thay vào (*) ta được: \( {b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca\;\cos {135^o}\)

Vậy D đúng.

A.\( S = \dfrac{{abc}}{{4r}}\)

Ta có: \( S = \dfrac{{abc}}{{4R}}\). Mà \( r < R\)nên suy ra \( S = \dfrac{{abc}}{{4R}} < \dfrac{{abc}}{{4r}}\)

Vậy A sai.

B.\( r = \dfrac{{2S}}{{a + b + c}}\)

Ta có: \( S = pr \Rightarrow r = \dfrac{S}{p}\)

Mà\( p = \dfrac{{a + b + c}}{2}\;\; \Rightarrow r = \dfrac{S}{p}\; = \dfrac{S}{{\dfrac{{a + b + c}}{2}}} = \dfrac{{2S}}{{a + b + c}}\;\)

Vậy B đúng

C.\( {a^2} = {b^2} + {c^2} + 2bc\;\cos A\)

Sai vì theo định lí cos ta có: \( {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\;\cos A\)

D.\( S = r\,(a + b + c)\)

Sai vì \( S = pr = r.\dfrac{{a + b + c}}{2}\)

+ \( \sin A = \sin \,(B + C)\)

Ta có: \( \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\)

\( \begin{array}{l} \Rightarrow \widehat B + \widehat C = {180^o} - \widehat A\\ \Rightarrow \sin \,(B + C) = \sin A\end{array}\)

Vậy A đúng.

+ \( \cos A = \cos \,(B + C)\)

Sai vì \( \cos \,(B + C) = - \cos A\)(Do \( \widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^o}\))

+ \( \;\cos A > 0\)

Không đủ dữ kiện để kết luận.

Nếu \( {0^o} < \widehat A < {90^o}\) thì \( \cos A > 0\)

Nếu \( {90^o} < \widehat A < {180^o}\) thì \( \cos A < 0\)

+ \( \sin A\,\, \le 0\)

Ta có \( S = \dfrac{1}{2}bc.\sin A > 0\)

Mà \( b,c > 0\)

\(  \Rightarrow \sin A > 0\)

Vậy D sai.

Theo định lí sin: \( \dfrac{a}{{2\sin A}} = \dfrac{b}{{2\sin B}} = \dfrac{c}{{2\sin C}} = R\)

+) Ta có: \( R = \dfrac{b}{{2\sin B}}\)

Mà \( b = AC = 10,\;\;\widehat B = {60^o}\)

\(  \Rightarrow R = \dfrac{{10}}{{2\sin {{60}^o}}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}.\)

Ta có: \( R = \dfrac{a}{{2\sin A}} \Rightarrow a =2R.\sin A\)

Mà \( R = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3},\) \(\widehat A = {180^o} - \left( {\widehat B + \;\widehat C} \right) \)\(= {180^o} - \left( {{{60}^o} + {{45}^o}} \right) = {75^o}\)

\(  \Rightarrow a = \dfrac{{2.10\sqrt 3 }}{3}.\sin {75^o} \approx 11,154\)

Gọi t (đơn vị: giờ) là thời gian đi cho đến khi hai tàu gặp nhau tại C.

Tàu B đi với vận tốc có độ lớn 30km/h nên quãng đường BC = 30t

Tàu A đi với vận tốc có độ lớn 50km/h nên quãng đường AC = 50t

Theo định lí sin, ta có: \( \dfrac{a}{{\sin \alpha }} = \dfrac{b}{{\sin B}}\)

Trong đó: \( \left\{ \begin{array}{l}a = BC = 30t\\b = AC = 50t\\\widehat B = {124^o}\end{array} \right.\)

\( \begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{30t}}{{\sin \alpha }} = \dfrac{{50t}}{{\sin {{124}^o}}}\\ \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{30t.\sin {{124}^o}}}{{50t}} = \dfrac{{30.\sin {{124}^o}}}{{50}} \approx 0,4974\end{array}\)

\(  \Leftrightarrow \alpha \approx {30^o}\) hoặc \( \alpha \approx {150^o}\)(loại)

Vậy tàu A chuyển động theo hướng tạo với vị trí ban đầu của tàu B góc \( {30^o}\).

Xét tam giác ABC, ta có:

\( \begin{array}{l}\widehat B = {124^o};\widehat A = {30^o}\\ \Rightarrow \widehat C = {180^o} - \left( {\widehat B + \widehat A} \right) = {180^o} - \left( {{{124}^o} + {{30}^o}} \right) = {26^o}\end{array}\)

Theo định lí sin, ta có

\( \dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{c}{{\sin C}} \Rightarrow a = \dfrac{{c.\sin A}}{{\sin C}}\)

Mà \( \left\{ \begin{array}{l}a = BC = 30t\\c = AB = 53\\\widehat A = {30^o};\widehat C = {26^o}\end{array} \right. \Rightarrow 30t = \dfrac{{53.\sin {{30}^o}}}{{\sin {{26}^o}}}\)

\( \begin{array}{l} \Leftrightarrow 30t \approx 60,45\\ \Leftrightarrow t \approx 2\;(h)\end{array}\)

Vậy sau khoảng 2 giờ thì tàu A đuổi kịp tàu B.

Kí hiệu gôn Nhà, gôn 1, gôn 2, gôn 3 và vị trí ném bóng lần lượt là các điểm A, B, C, D, O như hình vẽ.

Ta có: \( CD = 27,4 \Rightarrow AC = CD.\sqrt 2 = 27,4.\sqrt 2 \approx 38,75\)

\(  \Rightarrow OC = AC - OA \approx 38,75 - 18,44 = 20,31\)

Xét tam giác OCD ta có:

Định lí cos: \( O{D^2} = C{D^2} + C{O^2} - 2.CD.CO.\cos C\)

Trong đó \( \left\{ \begin{array}{l}CD = 27,4\\CO = 20,31\\\widehat C = {45^o}\end{array} \right.\)

\( \begin{array}{l} \Rightarrow O{D^2} = 27,{4^2} + 20,{31^2} - 2.27,4.20,31.\cos {45^o}\\ \Leftrightarrow O{D^2} \approx 376,255\\ \Leftrightarrow OD \approx 19,4\;(m)\end{array}\)

Dễ thấy \( \Delta \,COB = \Delta \,COD\)(c.g.c) \(  \Rightarrow OB = OD = 19,4\;(m)\)