Mệnh đề nào sau đây sai?
Đáp án A: Hai tam giác có diện tích bằng nhau chưa chắc bằng nhau nên A sai.
Ví dụ:
Hai tam giác ABC và DEF đều có diện tích bằng 6 nhưng 2 tam giác này không bằng nhau.
Đáp án B: Hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau nên B đúng.
Đáp án C: Tam giác có ba cạnh bằng nhau là tam giác đều nên có ba góc bằng nhau nên C đúng.
Tương tự đáp án D cũng là tam giác đều nên D đúng.
Cho hai mệnh đề \(P,Q\). Phủ định của mệnh đề \(Q\) là:
Cho mệnh đề \(Q\), khi đó mệnh đề “Không phải \(Q\)” được gọi là mệnh đề phủ định của \(Q\).
Cho hai mệnh đề \(P\) và \(Q\) là các mệnh đề phủ định của nhau. Chọn mệnh đề đúng:
Vì \(P\) là phủ định của \(Q\) nên \(Q = \overline P \) và \(P = \overline Q \).
Kí hiệu \(\overline{\overline P} \) là mệnh đề phủ định của \(\overline P \). Khi đó:
Vì \(\overline{\overline P} \) là mệnh đề phủ định của \(\overline P \)
Mà \(\overline P \) là mệnh đề phủ định của \(P \) $=>$ \(P \) cũng là mệnh đề phủ định của \(\overline P \)
$=>$ $P$ và \(\overline{\overline P} \) cùng là mệnh đề phủ định của \(\overline P \).
Vậy \(P = \overline{\overline P} \).
Phủ định của mệnh đề “\(9\) không phải số nguyên tố” là:
Phủ định của mệnh đề “\(9\) không phải số nguyên tố” là: “\(9\) là số nguyên tố”.
Cho các mệnh đề:
(1) “\(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ”.
(2) “\(5\) không chia hết cho \(3\)”.
(3) “Tam giác có tổng số đo các góc bằng \({180^0}\)”.
(4) “Hình vuông có bốn góc bằng nhau”.
Số mệnh đề có mệnh đề phủ định là mệnh đề đúng là:
(1) “\(\sqrt 2 \) là số hữu tỉ” là mệnh đề sai nên phủ định của nó là một mệnh đề đúng.
(2) “\(5\) không chia hết cho \(3\)” là mệnh đề đúng nên phủ định của nó là mệnh đề sai.
(3) “Tam giác có tổng số đo các góc bằng \({180^0}\)” là mệnh đề đúng nên phủ định của nó là mệnh đề sai.
(4) “Hình vuông có bốn góc bằng nhau” là mệnh đề đúng nên mệnh đề phủ định của nó là sai.
Vậy chỉ có \(1\) mệnh đề mà phủ định của nó là mệnh đề đúng.
Mệnh đề \(P\) kéo theo \(Q\) kí hiệu là:
Mệnh đề \(P\) kéo theo \(Q\) kí hiệu là \(P \Rightarrow Q\).
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi:
Mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi \(P\) đúng, \(Q\) sai.
Cho mệnh đề \(P\): “\(35\) là số có hai chữ số”. Mệnh đề \(Q\) nào dưới đây thỏa mãn \(P \Rightarrow {\rm{Q}}\) là mệnh đề sai?
Dễ thấy mệnh đề \(P\): “\(35\) là số có hai chữ số” là mệnh đề đúng nên ta chỉ cần tìm mệnh đề sai trong các đáp án.
Từ các đáp án bài cho ta thấy chỉ có mệnh đề \(Q\): “\(4\) là số nguyên tố” là mệnh đề sai.
Cho hai mệnh đề \(P,Q\), chọn mệnh đề đúng:
Vì mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) chỉ sai khi \(P\) đúng, \(Q\) sai nên:
+) Nếu \(P\) đúng, \(Q\) đúng thì \(P \Rightarrow Q\) đúng, do đó A sai.
+) Nếu \(P\) sai thì \(P \Rightarrow Q\) luôn đúng nên B đúng.
+) Nếu \(P\) đúng thì \(P \Rightarrow Q\) sẽ sai khi \(Q\) sai nên nó không thể luôn đúng được, do đó C sai.
+) Nếu \(Q\) sai thì \(P \Rightarrow Q\) vẫn có thể đúng nếu \(P\) sai, do đó nó không thể luôn sai được, nên D sai.
Mệnh đề đảo của mệnh đề “Ba số tự nhiên liên tiếp thì có tổng chia hết cho \(3\)” được phát biểu là:
Mệnh đề \(P\): “Ba số tự nhiên là ba số tự nhiên liên tiếp”.
Mệnh đề \(Q\): “Ba số tự nhiên có tổng chia hết cho \(3\)”.
Khi đó, \(Q \Rightarrow P\) được phát biểu là:
“Nếu ba số tự nhiên có tổng chia hết cho \(3\) thì ba số tự nhiên đó là ba số tự nhiên liên tiếp”.
Nói gọn: “Ba số tự nhiên có tổng chia hết cho \(3\) thì liên tiếp”.
Cho mệnh đề \(P \Rightarrow Q\): “Vì \({3^2} + 1\) là số chẵn nên \(3\) là số lẻ”. Chọn mệnh đề đúng:
Xét \(P\): “\({3^2} + 1\) là số chẵn”.
\(Q\): “\(3\) là số lẻ”.
Vì cả \(P,Q\) đều là các mệnh đề đúng nên các mệnh đề \(P \Rightarrow Q,Q \Rightarrow P\) đều đúng.
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào có mệnh đề đảo đúng?
Xét mệnh đề đảo của đáp án A: “Nếu số tự nhiên \(n\) chia hết cho \(3\) thì số nguyên \(n\) có tổng các chữ số bằng \(9\)”.
Mệnh đề này sai, chẳng hạn số 12 chia hết cho 3 nhưng có tổng các chữ số bằng 3 chứ không bằng 9.
Xét mệnh đề đảo của đáp án B: “Nếu \({x^2} > {y^2}\) thì \(x > y\)” sai vì \({x^2} > {y^2} \Leftrightarrow \left| x \right| > \left| y \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > y\\x < - y\end{array} \right.\).
Chẳng hạn \((-3)^2>2^2\) nhưng \(-3 < 2\)
Xét mệnh đề đảo của đáp án C: “Nếu \(t.x = t.y\) thì \(x = y\)” sai với \(t = 0 \Rightarrow x,\,y \in \mathbb{R}.\)
Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) chỉ đúng khi nào?
Mệnh đề \(P \Leftrightarrow Q\) chỉ đúng khi cả \(P\) và \(Q\) đều cùng đúng hoặc cùng sai.
Chọn mệnh đề đúng:
Lý thuyết tính đúng sai của mệnh đề tương đương:
Mệnh đề tương đương \(P \Leftrightarrow Q\) chỉ đúng khi \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) cùng đúng nên nếu \(P \Leftrightarrow Q\) đúng thì \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) cùng đúng.
Do đó A,B sai.
Đáp án C sai vì nếu \(P \Leftrightarrow Q\) sai thì có thể một trong hai mệnh đề \(P \Rightarrow Q\) và \(Q \Rightarrow P\) sai chứ không chắc cả hai mệnh đề đều sai.
Cho các mệnh đề:
(1) “\(\sqrt 3 \) là số vô tỉ nếu và chỉ nếu \(3\) là số hữu tỉ”.
(2) “Tứ giác là hình bình hành nếu và chỉ nếu nó là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau”.
(3) “Tứ giác là hình thoi nếu và chỉ nếu nó là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau ”.
(4) “\(3 > 4\) khi và chỉ khi \(1 > 2\)”.
Số mệnh đề sai là:
Mệnh đề \(\left( 1 \right)\):
“\(\sqrt 3 \) là số vô tỉ nếu và chỉ nếu \(3\) là số hữu tỉ” đúng vì cả hai mệnh đề “\(\sqrt 3 \) là số vô tỉ” và “\(3\) là số hữu tỉ” đều đúng.
Mệnh đề $(1)$ đúng.
Mệnh đề (2): “Tứ giác là hình bình hành nếu và chỉ nếu nó là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau” sai vì
Mệnh đề “Nếu tứ giác là hình thang có hai cạnh bên bằng nhau thì nó là hình bình hành” là sai, có thể xảy ra trường hợp nó là hình thang cân.
Mệnh đề $(2)$ sai.
Mệnh đề (3): “Tứ giác là hình thoi nếu và chỉ nếu nó là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau” đúng vì cả hai mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo có được từ mệnh đề tương đương trên đều đúng.
Mệnh đề $(3)$ đúng.
Mệnh đề (4) “\(3 > 4\) khi và chỉ khi \(1 > 2\)” đúng vì cả hai mệnh đề “\(3 > 4\)” và “\(1 > 2\)” đều sai.
Mệnh đề $(4)$ đúng.
Vậy có \(3\) mệnh đề đúng và $1$ mệnh đề sai.
Trên một tấm bìa cac-tông có ghi 4 mệnh đề sau:
I. Trên tấm bìa này có đúng một mệnh đề sai.
II. Trên tấm bìa này có đúng hai mệnh đề sai.
III. Trên tấm bìa này có đúng ba mệnh đề sai.
IV. Trên tấm bìa này có đúng bốn mệnh đề sai.
Hỏi trên tấm bìa trên có bao nhiêu mệnh đề sai?
- Giả sử mệnh đề I đúng. Tức là trên tấm bìa chỉ có 1 mệnh đề I là đúng, 3 mệnh đề còn lại là sai. Tức là mệnh đề II sai. Hay nói cách khác, trên tấm bìa phải có 2 mệnh đề đúng. Điều này mâu thuẫn với điều giả sử. Nên mệnh đề I sai.
- Giả sử mệnh đề II đúng. Tức là trên tấm bài này có 2 mệnh đề đúng và 2 mệnh đề sai. Mà theo trên thì mệnh đề I sai. Nên hai mệnh còn lại là mệnh đề III, mệnh đề IV phải có 1 mệnh đề sai và 1 mệnh đề đúng.
Nếu mệnh đề III đúng thì mệnh đề II sai, nếu mệnh đề IV đúng thì mệnh đề II cũng sai nên mâu thuẫn với giả thiết. Hay mệnh đề II sai.
- Giả sử mệnh đề III đúng. Nghĩa là có 3 mệnh đề sai I, II, IV. Điều này thỏa mãn vì mệnh đề I, II đã sai (theo trên), mệnh đề IV sai vì mệnh đề III đã đúng nên IV phải là mệnh đề sai.
- Giả sử mệnh đề IV đúng thì điều này mâu thuẫn với chính nó vì mệnh đề IV nói có 4 mệnh đề sai nên IV phải là mệnh đề sai.
Vậy có 3 mệnh đề sai và 1 mệnh đề đúng.
