Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6} \right)\). Khi đó góc giữa chúng là
Ta có \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( { - 2; - 6} \right)\), suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt 5 .\sqrt {40} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = {\rm{4}}{{\rm{5}}^{\rm{o}}}\)
Trong mặt phẳng $Oxy$ cho \(A\left( {1;2} \right),\;B\left( {4;1} \right),\;C\left( {5;4} \right)\). Tính \(\widehat {BAC}\)?
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( {4;2} \right)\).
Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {20} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {45^{\rm{o}}}\).
Cho hai điểm $A\left( { - 3,2} \right),{\rm{ }}B\left( {4,3} \right).$ Tìm điểm $M$ thuộc trục \(Ox\)và có hoành độ dương để tam giác $MAB$ vuông tại $M$
Ta có $A\left( { - 3,2} \right),{\rm{ }}B\left( {4,3} \right)$, gọi $M\left( {x;0} \right),x > 0$.
Khi đó $\overrightarrow {AM} = \left( {x + 3; - 2} \right)$, $\overrightarrow {BM} = \left( {x - 4; - 3} \right)$.
Theo YCBT $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\;\left( l \right)\\x = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;0} \right)$.
Cho$A\left( {2;\;5} \right),\;B\left( {1;\;3} \right),\;C\left( {5;\; - 1} \right)$. Tìm tọa độ điểm \(K\) sao cho \(\overrightarrow {AK} = 3\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CK} \)
Gọi $K\left( {x;y} \right)$ với $x,y \in \mathbb{R}$.
Khi đó $\overrightarrow {AK} = \left( {x - 2;y - 5} \right)$, $3\overrightarrow {BC} = \left( {12; - 12} \right)$, $2\overrightarrow {CK} = \left( {2x - 10;2y + 2} \right)$.
Theo YCBT \(\overrightarrow {AK} = 3\overrightarrow {BC} + 2\overrightarrow {CK} \) nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 12 + 2x - 10\\y - 5 = - 12 + 2y + 2\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 4\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow K\left( { - 4;5} \right)$
Cho $2$ vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) đều có độ dài bằng $1$ thỏa \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2\). Hãy xác định \(\left( {3\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right)\)
\(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1\),\(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 1\), \(\left( {3\overrightarrow a - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a + 5\overrightarrow b } \right) = 6{\overrightarrow a ^2} - 20{\overrightarrow b ^2} + 7\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 7\).
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right){\rm{,B}}\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Tọa độ trung điểm $I$ của đoạn thẳng $AB$ là:
Ta có: $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.$
Vậy $I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$.
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \)và \(\overrightarrow b \). Biết \(\left| {\overrightarrow a } \right|=2 ,\) \(\left| {\overrightarrow b } \right|=\sqrt 3\) và \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {120^{\rm{o}}}\). Tính\(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\)
Ta có \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}}} = \sqrt[{}]{{{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }} = \sqrt[{}]{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\;cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}} = \sqrt {7 - 2\sqrt 3 } \)
Cho hai điểm $A\left( {1;0} \right)$ và $B\left( {0; - 2} \right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là:
Ta có:
Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là: $I = \left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{{1 + 0}}{2};\dfrac{{0 + ( - 2)}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {{x_A};{y_A}} \right),{\rm{ }}B\left( {{x_B};{y_B}} \right) và {\rm{ }}C\left( {{x_C};{y_C}} \right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là:
Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$
Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm là gốc tọa độ $O$, hai đỉnh $A$ và $B$ có tọa độ là $A\left( { - 2;2} \right)$;$B\left( {3;5} \right)$. Tọa độ của đỉnh $C$ là:
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_O} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_O} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{ - 2 + 3 + {x_C}}}{3}\\0 = \dfrac{{2 + 5 + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 1\\{y_C} = - 7\end{array} \right.$
Tam giác \(ABC\) có \(C\left( { - 2; - 4} \right)\), trọng tâm \(G\left( {0;4} \right)\), trung điểm cạnh \(BC\) là \(M\left( {2;0} \right)\). Tọa độ \(A\) và \(B\) là:
Ta có: \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm \(BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \dfrac{{{x_B} + ( - 2)}}{2}\\0 = \dfrac{{{y_B} + ( - 4)}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {6;4} \right)\)
\(G\left( {0;4} \right)\)là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên $\left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{{x_A} + 6 + ( - 2)}}{3}\\4 = \dfrac{{{y_A} + 4 + ( - 4)}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = - 4\\{y_A} = 12\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 4;12} \right)$
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $B\left( {5; - 4} \right),C\left( {3;7} \right)$. Tọa độ của điểm $E$ đối xứng với $C$ qua $B$ là
Ta có: $E$ đối xứng với $C$ qua $B \Leftrightarrow B$ là trung điểm đoạn thẳng $EC$
Do đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}5 = \dfrac{{{x_E} + 3}}{2}\\ - 4 = \dfrac{{{y_E} + 7}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 7\\{y_E} = - 15\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {7; - 15} \right)$
Cho \(K\left( {1; - 3} \right)\). Điểm \(A \in Ox,B \in Oy\) sao cho \(A\) là trung điểm \(KB\). Tọa độ điểm \(B\) là:
Ta có: \(A \in Ox,B \in Oy \Rightarrow A\left( {x;0} \right),B\left( {0;y} \right)\)
\(A\) là trung điểm $KB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + 0}}{2}\\0 = \dfrac{{ - 3 + y}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = 3\end{array} \right.$.Vậy \(B\left( {0;3} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(MNP\) có \(M\left( {1; - 1} \right),\,N\left( {5; - 3} \right)\) và \(P\) thuộc trục \(Oy\),trọng tâm \(G\) của tam giác nằm trên trục \(Ox\).Toạ độ của điểm \(P\) là
Ta có: \(P\) thuộc trục \(Oy \Rightarrow P\left( {0;y} \right)\), \(G\) nằm trên trục \(Ox \Rightarrow G\left( {x;0} \right)\)
\(G\) là trọng tâm tam giác \(MNP\)nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \dfrac{{( - 1) + ( - 3) + y}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\)
Vậy \(P\left( {0;4} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho \(\overrightarrow a = \left( {1;3} \right),\;\overrightarrow b = \left( { - 2;1} \right)\). Tích vô hướng của 2 vectơ \(\overrightarrow a .\overrightarrow b \) là:
Ta có \(\overrightarrow a = \left( {1;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 2;1} \right)\), suy ra \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.\left( { - 2} \right) + 3.1 = 1\).
Cho các vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 3} \right),\,\,\overrightarrow b = \left( {2;5} \right)\). Tính tích vô hướng của \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right)\)
Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow a = 10\), \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 13\) suy ra \(\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a + 2\overrightarrow b } \right) = - 16\).
Trong mặt phẳng \(\left( {O;\overrightarrow i ,\overrightarrow j } \right)\) cho 2 vectơ : \(\overrightarrow a = 3\overrightarrow i + 6\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow b = 8\overrightarrow i - 4\overrightarrow {j.} \) Kết luận nào sau đây sai?
\(\overrightarrow a = \left( {3;6} \right);\;\overrightarrow b = \left( {8; - 4} \right)\)
Phương án A:\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 24 - 24 = 0\) nên loại A
Phương án B:\(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\) suy ra \(\overrightarrow a \) vuông góc \(\overrightarrow b \)nên loại B
Phương án C:\(\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{3^2} + {6^2}}}.\sqrt[{}]{{{8^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}} \ne 0\) nên chọn C.
Cặp vectơ nào sau đây vuông góc?
Phương án A: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).4 = - 10 \ne 0\) suy ra A sai.
Phương án B: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.\left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right).4 \ne 0\) suy ra B sai.
Phương án C: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 2.\left( { - 6} \right) - 3.4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \) suy ra C đúng.
Phương án D: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 7.3 + \left( { - 3} \right).\left( { - 7} \right) = 42 \ne 0\) suy ra D sai.
Cho 2 vec tơ \(\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),\;\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)\), tìm biểu thức sai:
Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}\) A đúng.
Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ nên B đúng.
Phương án C: \(\dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{a^2}} + \overrightarrow {{b^2}} - {{\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)}^2}} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{a^2}} + \overrightarrow {{b^2}} - \left( {\overrightarrow {{a^2}} + \overrightarrow {{b^2}} + 2\overrightarrow a \overrightarrow b } \right)} \right] = - \overrightarrow a \overrightarrow b \) nên C sai.
Trong mp \(Oxy\) cho \(A\left( {4;6} \right)\), \(B\left( {1;4} \right)\), \(C\left( {7;\dfrac{3}{2}} \right)\). Khẳng định nào sau đây sai
Phương án A: \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {3; - \dfrac{9}{2}} \right)\) nên A đúng.
Phương án B: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) nên B đúng.
Phương án C : \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {13} \) nên C đúng.
Phương án D: Ta có \(\overrightarrow {BC} = \left( {6; - \dfrac{5}{2}} \right)\) suy ra $BC = \sqrt[{}]{{{6^2} + {{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{13}}{2}$ nên D sai.
