Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Ta có $\overrightarrow a  = \left( {1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( { - 2; - 6} \right)$, suy ra $\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt 5 .\sqrt {40} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = {\rm{4}}{{\rm{5}}^{\rm{o}}}$

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1} \right)$, $\overrightarrow {AC}  = \left( {4;2} \right)$.

Suy ra $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {20} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {45^{\rm{o}}}$.

Ta có $A\left( { - 3,2} \right),{\rm{ }}B\left( {4,3} \right)$, gọi $M\left( {x;0} \right),x > 0$.

Khi đó $\overrightarrow {AM}  = \left( {x + 3; - 2} \right)$, $\overrightarrow {BM}  = \left( {x - 4; - 3} \right)$.

Theo YCBT $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\;\left( l \right)\\x = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;0} \right)$.

Gọi $K\left( {x;y} \right)$ với $x,y \in \mathbb{R}$.

Khi đó $\overrightarrow {AK}  = \left( {x - 2;y - 5} \right)$, $3\overrightarrow {BC}  = \left( {12; - 12} \right)$, $2\overrightarrow {CK}  = \left( {2x - 10;2y + 2} \right)$.

Theo YCBT $\overrightarrow {AK}  = 3\overrightarrow {BC}  + 2\overrightarrow {CK}$ nên $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 12 + 2x - 10\\y - 5 =  - 12 + 2y + 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow K\left( { - 4;5} \right)$

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1$,$\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 2 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1$, $\left( {3\overrightarrow a  - 4\overrightarrow b } \right)\left( {2\overrightarrow a  + 5\overrightarrow b } \right) = 6{\overrightarrow a ^2} - 20{\overrightarrow b ^2} + 7\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 7$.

Ta có: $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.$

Vậy $I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$.

Ta có $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{{\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)}^2}}} = \sqrt[{}]{{{{\overrightarrow a }^2} + {{\overrightarrow b }^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b }} = \sqrt[{}]{{{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} + 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\;cos\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)}} = \sqrt {7 - 2\sqrt 3 }$

Ta có:

Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là: $I = \left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{{1 + 0}}{2};\dfrac{{0 + ( - 2)}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$

Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_O} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_O} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{ - 2 + 3 + {x_C}}}{3}\\0 = \dfrac{{2 + 5 + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 1\\{y_C} =  - 7\end{array} \right.$

Ta có: $M\left( {2;0} \right)$ là trung điểm $BC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}2 = \dfrac{{{x_B} + ( - 2)}}{2}\\0 = \dfrac{{{y_B} + ( - 4)}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {6;4} \right)$

$G\left( {0;4} \right)$là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $\left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{{x_A} + 6 + ( - 2)}}{3}\\4 = \dfrac{{{y_A} + 4 + ( - 4)}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 4\\{y_A} = 12\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 4;12} \right)$

Ta có: $E$ đối xứng với $C$ qua $B \Leftrightarrow B$ là trung điểm đoạn thẳng $EC$

Do đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}5 = \dfrac{{{x_E} + 3}}{2}\\ - 4 = \dfrac{{{y_E} + 7}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 7\\{y_E} =  - 15\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {7; - 15} \right)$

Ta có: $A \in Ox,B \in Oy \Rightarrow A\left( {x;0} \right),B\left( {0;y} \right)$

$A$ là trung điểm $KB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + 0}}{2}\\0 = \dfrac{{ - 3 + y}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = 3\end{array} \right.$.Vậy $B\left( {0;3} \right)$.

Ta có: $P$ thuộc trục $Oy \Rightarrow P\left( {0;y} \right)$, $G$ nằm trên trục $Ox \Rightarrow G\left( {x;0} \right)$

$G$ là trọng tâm tam giác $MNP$nên ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \dfrac{{( - 1) + ( - 3) + y}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.$

Vậy $P\left( {0;4} \right)$.

Ta có $\overrightarrow a  = \left( {1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 2;1} \right)$, suy ra $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.\left( { - 2} \right) + 3.1 = 1$.

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow a  = 10$, $\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 13$ suy ra $\overrightarrow a \left( {\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right) =  - 16$.

$\overrightarrow a  = \left( {3;6} \right);\;\overrightarrow b  = \left( {8; - 4} \right)$

Phương án  A:$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 24 - 24 = 0$ nên loại  A

Phương án  B:$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0$ suy ra  $\overrightarrow a$ vuông góc $\overrightarrow b$nên loại  B

Phương án  C:$\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt[{}]{{{3^2} + {6^2}}}.\sqrt[{}]{{{8^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}} \ne 0$ nên chọn C.

Phương án A: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2.\left( { - 3} \right) + \left( { - 1} \right).4 =  - 10 \ne 0$ suy ra A sai.

Phương án B: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 3.\left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right).4 \ne 0$ suy ra B sai.

Phương án C: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 2.\left( { - 6} \right) - 3.4 = 0 \Rightarrow \overrightarrow a  \bot \overrightarrow b$ suy ra C đúng.

Phương án D: $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 7.3 + \left( { - 3} \right).\left( { - 7} \right) = 42 \ne 0$ suy ra D sai.

Phương án A : biểu thức tọa độ tích vô hướng $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = {a_1}.{b_1} + {a_2}.{b_2}$  A đúng.

Phương án B : Công thức tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$ nên B đúng.

Phương án C: $\dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{a^2}}  + \overrightarrow {{b^2}}  - {{\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)}^2}} \right] = \dfrac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {{a^2}}  + \overrightarrow {{b^2}}  - \left( {\overrightarrow {{a^2}}  + \overrightarrow {{b^2}}  + 2\overrightarrow a \overrightarrow b } \right)} \right] =  - \overrightarrow a \overrightarrow b$ nên C sai.

Phương án A: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 2} \right)$ và $\overrightarrow {AC}  = \left( {3; - \dfrac{9}{2}} \right)$ nên A đúng.

Phương án B: $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$ nên B đúng.

Phương án C : $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {13}$ nên C đúng.

Phương án D: Ta có $\overrightarrow {BC}  = \left( {6; - \dfrac{5}{2}} \right)$ suy ra $BC = \sqrt[{}]{{{6^2} + {{\left( {\dfrac{5}{2}} \right)}^2}}} = \dfrac{{13}}{2}$ nên D sai.