Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow u  = \left( {\dfrac{1}{2}; - 5} \right),\overrightarrow v  = \left( {k; - 4} \right).$

Yêu cầu bài toán: $\overrightarrow u  \bot \overrightarrow v$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k + \left( { - 5} \right)\left( { - 4} \right) = 0$ $\Leftrightarrow k =  - 40$

Ta có $\overrightarrow a  = \overrightarrow u  + m.\overrightarrow v  = \left( {4 + m;1 + 4m} \right).$ Trục hoành có vectơ đơn vị là $\overrightarrow i  = \left( {1;0} \right).$

Vectơ $\overrightarrow a$ vuông góc với trục hoành $\Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow i  = 0 \Leftrightarrow 4 + m = 0 \Leftrightarrow m =  - 4.$

Ta có $\overrightarrow {MN}  = \left( { - \,4;6} \right)$ suy ra $MN = \sqrt {{{\left( { - \,4} \right)}^2} + {6^2}}  = \sqrt {42}  = 2\sqrt {13} .$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {1;7} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {7^2}}  = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {BC}  = \left( { - 7;1} \right) \Rightarrow BC = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {CD}  = \left( { - 1; - 7} \right) \Rightarrow CD = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {DA}  = \left( {7; - 1} \right) \Rightarrow DA = 5\sqrt 2 \end{array} \right.$$\Rightarrow AB = BC = CD = DA = 5\sqrt 2$

Lại có $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = 1\left( { - 7} \right) + 7.1 = 0$ nên $AB \bot BC$.

Từ đó suy ra $ABCD$ là hình vuông.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2} \right),\,\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - \,4} \right)$ và $\overrightarrow {AC}  = \left( {2; - \,2} \right).$

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}AB = AC = 2\sqrt 2 \\A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array} \right..$

Vậy tam giác $ABC$ vuông cân tại $A.$

Gọi $A'\left( {x;y} \right)$. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'}  = \left( {x - 4;y - 3} \right)\\\overrightarrow {BC}  = \left( { - \,5; - \,15} \right)\\\overrightarrow {BA'}  = \left( {x - 2;y - 7} \right)\end{array} \right..$

Từ giả thiết, ta có $A'$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$ nếu $AA' \bot BC$ và $B,A',C$ thẳng hàng

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC}  = 0}&{\left( 1 \right)}\\{\overrightarrow {BA'}  = k\overrightarrow {BC} }&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.$

$\bullet$ $\left( 1 \right) \Leftrightarrow  - \,5\left( {x - 4} \right) - 15\left( {y - 3} \right) = 0$ $\Leftrightarrow x + 3y = 13$

$\bullet$ $\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 7}}{{ - 15}}$$\Leftrightarrow 3x - y =  - 1$

Giải hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 13\\3x - y =  - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right.$ $\Rightarrow A'\left( {1;4} \right)$