Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho hai vectơ \(\overrightarrow u = \dfrac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \) và \(\overrightarrow v = k\overrightarrow i - 4\overrightarrow j .\) Tìm \(k\) để vectơ \(\overrightarrow u \) vuông góc với \(\overrightarrow v .\)
Từ giả thiết suy ra \(\overrightarrow u = \left( {\dfrac{1}{2}; - 5} \right),\overrightarrow v = \left( {k; - 4} \right).\)
Yêu cầu bài toán: \(\overrightarrow u \bot \overrightarrow v \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}k + \left( { - 5} \right)\left( { - 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow k = - 40\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho ba vectơ \(\overrightarrow u = \left( {4;1} \right),{\rm{ }}\overrightarrow v = \left( {1;4} \right)\) và \(\overrightarrow a = \overrightarrow u + m.\overrightarrow v \) với \(m \in \mathbb{R}.\) Tìm \(m\) để \(\overrightarrow a \) vuông góc với trục hoành.
Ta có \(\overrightarrow a = \overrightarrow u + m.\overrightarrow v = \left( {4 + m;1 + 4m} \right).\) Trục hoành có vectơ đơn vị là \(\overrightarrow i = \left( {1;0} \right).\)
Vectơ \(\overrightarrow a \) vuông góc với trục hoành \( \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow i = 0 \Leftrightarrow 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 4.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) tính khoảng cách giữa hai điểm \(M\left( {1; - \,2} \right)\) và \(N\left( { - \,3;4} \right).\)
Ta có \(\overrightarrow {MN} = \left( { - \,4;6} \right)\) suy ra \(MN = \sqrt {{{\left( { - \,4} \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {42} = 2\sqrt {13} .\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho bốn điểm \(A\left( {7; - 3} \right),{\rm{ }}B\left( {8;4} \right),{\rm{ }}C\left( {1;5} \right)\) và \(D\left( {0; - 2} \right)\). Khẳng định nào sau đây đúng?
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {1;7} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {7^2}} = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {BC} = \left( { - 7;1} \right) \Rightarrow BC = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {CD} = \left( { - 1; - 7} \right) \Rightarrow CD = 5\sqrt 2 \\\overrightarrow {DA} = \left( {7; - 1} \right) \Rightarrow DA = 5\sqrt 2 \end{array} \right.\)\( \Rightarrow AB = BC = CD = DA = 5\sqrt 2 \)
Lại có \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 1\left( { - 7} \right) + 7.1 = 0\) nên \(AB \bot BC\).
Từ đó suy ra \(ABCD\) là hình vuông.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( { - 1;1} \right),{\rm{ }}B\left( {1;3} \right)\) và \(C\left( {1; - 1} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right),\,\,\,\overrightarrow {BC} = \left( {0; - \,4} \right)\) và \(\overrightarrow {AC} = \left( {2; - \,2} \right).\)
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AC = 2\sqrt 2 \\A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}\end{array} \right..\)
Vậy tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {4;3} \right),\,\,B\left( {2;7} \right)\) và \(C\left( { - \,3; - \,8} \right).\) Tìm toạ độ chân đường cao \(A'\) kẻ từ đỉnh \(A\) xuống cạnh \(BC.\)
Gọi \(A'\left( {x;y} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AA'} = \left( {x - 4;y - 3} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( { - \,5; - \,15} \right)\\\overrightarrow {BA'} = \left( {x - 2;y - 7} \right)\end{array} \right..\)
Từ giả thiết, ta có \(A'\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\) nếu \(AA' \bot BC\) và \(B,A',C\) thẳng hàng
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\overrightarrow {AA'} .\overrightarrow {BC} = 0}&{\left( 1 \right)}\\{\overrightarrow {BA'} = k\overrightarrow {BC} }&{\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)
\( \bullet \) \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow - \,5\left( {x - 4} \right) - 15\left( {y - 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y = 13\)
\( \bullet \) \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x - 2}}{{ - 5}} = \dfrac{{y - 7}}{{ - 15}}\)\( \Leftrightarrow 3x - y = - 1\)
Giải hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y = 13\\3x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'\left( {1;4} \right)\)
