Phương trình đường thẳng

+ Phương trình \(\left( 1 \right)\) là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)\) nên A đúng.

+ Nếu \(a = 0\) thì \(by + c = 0 \Leftrightarrow y =  - \dfrac{c}{b}\) nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với \(Ox\left( {y = 0} \right)\) nên B đúng.

+ Nếu \(b = 0\) thì \(ax + c = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{c}{a}\) nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với \(Oy\left( {x = 0} \right)\) nên C đúng.

+ Ta có điểm \({M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đường thẳng \(\left( 1 \right)\) khi và chỉ khi \(a{x_0} + b{y_0} + c = 0\) nên D sai.

Gọi \(\left( d \right)\) là đường thẳng đi qua \(A\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {2; - 4} \right)\) hay \(\dfrac{1}{2}\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)\) làm VTPT

 \( \Rightarrow \left( d \right):x + 1 - 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0\) 

Nếu chỉ có vecto pháp tuyến hoặc một vecto chỉ phương thì thiếu điểm đi qua để viết phương trình đường thẳng.

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {3; - 4} \right)\) là 1 VTPT của AB.

Đường thẳng AB đi qua A(-2;4) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {3; - 4} \right)\) làm VTPT nên có phương trình:

\(3\left( {x + 2} \right) - 4\left( {y - 4} \right) = 0\) hay \(3x - 4y + 22 = 0\).

- Vì \(BC \bot AH\) nên \(\overrightarrow {BC} \) là một véc tơ pháp tuyến của \(AH\) nên A đúng.

- Véc tơ \(\overrightarrow {BC} \) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(BC\) nên B đúng.

- Không phải lúc nào các đường thẳng cũng có hệ số góc, vẫn xảy ra các trường hợp một trong ba đường thẳng đó không có hệ số góc nên C sai.

- Đường trung trực của \(AB\) vuông góc với \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm VTPT.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)\).

Ta có \(\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0\) thì có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right) \), khi đó nó cũng nhận $-2\overrightarrow n=\left( { - 4; - 6} \right)$ làm VTPT.

Ta có \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 6;8} \right)\)

Gọi \(AA'\) là đường cao của tam giác \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow AA'\) nhận \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  = \overrightarrow {BC}  = \left( { - 6;8} \right)\\A\left( {1; - 2} \right)\end{array} \right.\)

Suy ra \(AA': - 6\left( {x - 1} \right) + 8\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 6x + 8y + 22 = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 11 = 0\).

Đáp án A : \(\overrightarrow n  = \left( {3; - 7} \right)\) là VTPT của \(d\) nên \(\overrightarrow u  = \left( {7;3} \right)\) là VTCP của \(d\)

Đáp án B : \(\left( d \right):3x - 7y + 15 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{7}x + \dfrac{{15}}{7}\) nên có hệ số góc \(k = \dfrac{3}{7}\)

Đáp án C : Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc \(d\) vì \(3.0 - 7.0 + 15 \ne 0\)

Đáp án D : Giả sử $N\left( {5;0} \right) \in d:3x - 7y + 15 = 0 \Rightarrow 3.5 - 7.0 + 15 = 0\left( {vl} \right)$

\(P\left( {x;{\rm{ }}y} \right)\) là điểm trên trục hoành nên suy ra \(P\left( {x;{\rm{ 0}}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN}  = \left( { - 9;{\rm{ }}3} \right)\); \(\overrightarrow {MP}  = \left( {x - 6;{\rm{ }} - 3} \right)\).

Ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) thẳng hàng khi \(\overrightarrow {MP}  = k\overrightarrow {MN} \)\( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x - 6 = k.\left( { - 9} \right)\\ - 3 = k.3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\k =  - 1\end{array} \right.\).

Vậy \(P\left( {15;{\rm{ 0}}} \right)\), suy ra \(x + y = 15\).

Thay $x =  - 1;y =  - 3$  vào phương trình đường thẳng  $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\ - 3 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - 3\end{array} \right. (VN)$

$\Rightarrow ( - 1; - 3)$ không thuộc đường thẳng $d$ .

Thay $x =  - 1;y = 2$  vào phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\2 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.(VN) $

$\Rightarrow ( - 1;2)$ không thuộc đường thẳng \(d\).

Thay \(x=2; y=1\) vào phương trình đường thẳng d $\left\{ \begin{array}{l}2 = 1 - t\\1 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right.\Rightarrow t=-1 $

$\Rightarrow (2;1)$ thuộc đường thẳng \(d\).

Gọi \(M\) trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {6; - 4} \right)\)

Gọi \(d\) là đường thẳng trung trực của \(AB\).

Phương trình \(d\) nhận \(\overrightarrow n  = \left( {6; - 4} \right)\) làm VTPT và đi qua \(M\left( {1;1} \right)\)

Suy ra \(\left( d \right):6\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 4y - 2 = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 1 = 0\)

Gọi \(M\) là trung điểm \(AC\) \( \Rightarrow M\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\) . \(\overrightarrow {BM}  = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2}} \right)\)

 \(BM\) qua \(B\left( {0;2} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {5; - 3} \right)\) làm VTPT \( \Rightarrow BM:5x - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y + 6 = 0\)

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {2;\, - 1} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( { - 3;\,2} \right)\) làm vectơ chỉ phương có dạng: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y =  - 1 + 2t\end{array} \right.\)

Gọi $M\left( {2 + 3m;3 + m} \right)$ \( \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {2 + 3m - 9} \right)}^2} + {{\left( {3 + m - 1} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {10{m^2} - 38m + 53} \)

Theo YCBT ta có $AM = 5 \Leftrightarrow A{M^2} = 25$$ \Leftrightarrow 10{m^2} - 38m + 53 = 25$ $ \Leftrightarrow 10{m^2} - 38m + 28 = 0$\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 \Rightarrow M\left( {5;4} \right)\\m = \dfrac{{14}}{5} \Rightarrow M\left( {\dfrac{{52}}{5};\dfrac{{29}}{5}} \right)\end{array} \right.\)

Vậy có hai điểm $M$ thỏa YCBT.

Ta có: \(M\left( { - 1;4} \right);N\left( {4; - 1} \right)\).

\(MN\) đi qua \(M\left( { - 1;4} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {MN}  = \left( {5; - 5} \right)\) hay $\dfrac{1}{5}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 1} \right)$ làm \(VTCP\)

\( \Rightarrow MN:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 4 - t\end{array} \right.\)

Gọi \(A \in Ox \Rightarrow A\left( {{x_A};0} \right);B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;{y_B}} \right)\)

Ta có \(M\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 10\\{y_B} =  - 6\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left( {AB} \right):\dfrac{x}{{10}} + \dfrac{y}{{ - 6}} = 1 \Leftrightarrow 3x - 5y - 30 = 0\).

Gọi \(\left( d \right)\) là đường thẳng đi qua \(A\) và cách đều \(B,C\). Khi đó ta có các trường hợp sau

TH1: $d$ đi qua trung điểm của $BC$.

$I\left( {\dfrac{5}{2};2} \right)$ là trung điểm của $BC$.

$\overrightarrow {AI}  = \left( {\dfrac{3}{2};1} \right)$ là VTCP của đường thẳng $d$.

Khi đó \(\left( d \right): - 2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow  - 2x + 3y - 1 = 0\).

TH2: $d$ song song với $BC$, khi đó $d$ nhận $\overrightarrow {BC}  = \left( {1;4} \right)$ làm VTCP, phương trình đường thẳng \(\left( d \right): - 4\left( {x - 1} \right) + y - 1 = 0\)\( \Leftrightarrow  - 4x + y + 3 = 0\).

Gọi \(AI\) là đường cao kẻ từ đỉnh \(A\). Gọi \({H_1}\) là trực tâm của \(\Delta ABC\), khi đó tọa độ điểm \({H_1}\) thỏa mãn hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\x - y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{3}\\y =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\)  .

\( \Rightarrow \overrightarrow {A{H_1}}  = \left( { - \dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3}} \right)\)

\(AI\) qua \({H_1}\left( {\dfrac{7}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)\) và nhận \(\overrightarrow n  = \left( {4;5} \right)\) làm VTPT

 \( \Rightarrow AI:4\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right) + 5\left( {y + \dfrac{2}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 6 = 0\)

Phương trình đoạn chắn \(AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\)

Do \(\Delta OAB\) vuông cân tại \(O\) \( \Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\\b =  - a\end{array} \right.\)

TH1: \(b = a\) \( \Rightarrow \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow x + y = a\) mà \(M\left( {2; - 3} \right) \in \left( {AB} \right) \Rightarrow 2 - 3 = a \Leftrightarrow a =  - 1 \Rightarrow b =  - 1\)

Vậy \(\left( {AB} \right):x + y + 1 = 0\)

TH2:  \(b =  - a\) \( \Rightarrow \dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow x - y = a\) mà \(M\left( {2; - 3} \right) \in \left( {AB} \right) \Rightarrow 2 + 3 = a \Leftrightarrow a = 5 \Rightarrow b =  - 5\)

Vậy \(\left( {AB} \right):x - y - 5 = 0\)