Phương trình đường thẳng

+ Phương trình $\left( 1 \right)$ là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ nên A đúng.

+ Nếu $a = 0$ thì $by + c = 0 \Leftrightarrow y =  - \dfrac{c}{b}$ nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với $Ox\left( {y = 0} \right)$ nên B đúng.

+ Nếu $b = 0$ thì $ax + c = 0 \Leftrightarrow x =  - \dfrac{c}{a}$ nên nó là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với $Oy\left( {x = 0} \right)$ nên C đúng.

+ Ta có điểm ${M_0}\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ thuộc đường thẳng $\left( 1 \right)$ khi và chỉ khi $a{x_0} + b{y_0} + c = 0$ nên D sai.

Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua $A$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {2; - 4} \right)$ hay $\dfrac{1}{2}\overrightarrow n  = \left( {1; - 2} \right)$ làm VTPT

 $\Rightarrow \left( d \right):x + 1 - 2\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 5 = 0$ 

Nếu chỉ có vecto pháp tuyến hoặc một vecto chỉ phương thì thiếu điểm đi qua để viết phương trình đường thẳng.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {3; - 4} \right)$ là 1 VTPT của AB.

Đường thẳng AB đi qua A(-2;4) và nhận $\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {3; - 4} \right)$ làm VTPT nên có phương trình:

$3\left( {x + 2} \right) - 4\left( {y - 4} \right) = 0$ hay $3x - 4y + 22 = 0$.

- Vì $BC \bot AH$ nên $\overrightarrow {BC}$ là một véc tơ pháp tuyến của $AH$ nên A đúng.

- Véc tơ $\overrightarrow {BC}$ là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng $BC$ nên B đúng.

- Không phải lúc nào các đường thẳng cũng có hệ số góc, vẫn xảy ra các trường hợp một trong ba đường thẳng đó không có hệ số góc nên C sai.

- Đường trung trực của $AB$ vuông góc với $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB}$ làm VTPT.

Một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\overrightarrow u  = \left( {2; - 5} \right)$.

Ta có $\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0$ thì có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right)$, khi đó nó cũng nhận $-2\overrightarrow n=\left( { - 4; - 6} \right)$ làm VTPT.

Ta có $\overrightarrow {BC}  = \left( { - 6;8} \right)$

Gọi $AA'$ là đường cao của tam giác $\Delta ABC$ $\Rightarrow AA'$ nhận $\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow n  = \overrightarrow {BC}  = \left( { - 6;8} \right)\\A\left( {1; - 2} \right)\end{array} \right.$

Suy ra $AA': - 6\left( {x - 1} \right) + 8\left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 6x + 8y + 22 = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y - 11 = 0$.

Đáp án A : $\overrightarrow n  = \left( {3; - 7} \right)$ là VTPT của $d$ nên $\overrightarrow u  = \left( {7;3} \right)$ là VTCP của $d$

Đáp án B : $\left( d \right):3x - 7y + 15 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{7}x + \dfrac{{15}}{7}$ nên có hệ số góc $k = \dfrac{3}{7}$

Đáp án C : Điểm $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc $d$ vì $3.0 - 7.0 + 15 \ne 0$

Đáp án D : Giả sử $N\left( {5;0} \right) \in d:3x - 7y + 15 = 0 \Rightarrow 3.5 - 7.0 + 15 = 0\left( {vl} \right)$

$P\left( {x;{\rm{ }}y} \right)$ là điểm trên trục hoành nên suy ra $P\left( {x;{\rm{ 0}}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MN}  = \left( { - 9;{\rm{ }}3} \right)$; $\overrightarrow {MP}  = \left( {x - 6;{\rm{ }} - 3} \right)$.

Ba điểm $M$, $N$, $P$ thẳng hàng khi $\overrightarrow {MP}  = k\overrightarrow {MN}$$\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x - 6 = k.\left( { - 9} \right)\\ - 3 = k.3\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}x = 15\\k =  - 1\end{array} \right.$.

Vậy $P\left( {15;{\rm{ 0}}} \right)$, suy ra $x + y = 15$.

Thay $x =  - 1;y =  - 3$  vào phương trình đường thẳng  $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\ - 3 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - 3\end{array} \right. (VN)$

$\Rightarrow ( - 1; - 3)$ không thuộc đường thẳng $d$ .

Thay $x =  - 1;y = 2$  vào phương trình đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} - 1 = 1 - t\\2 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 2\\t =  - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.(VN)$

$\Rightarrow ( - 1;2)$ không thuộc đường thẳng $d$.

Thay $x=2; y=1$ vào phương trình đường thẳng d $\left\{ \begin{array}{l}2 = 1 - t\\1 = 3 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}t =  - 1\\t =  - 1\end{array} \right.\Rightarrow t=-1$

$\Rightarrow (2;1)$ thuộc đường thẳng $d$.

Gọi $M$ trung điểm $AB$ $\Rightarrow M\left( {1;1} \right)$

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {6; - 4} \right)$

Gọi $d$ là đường thẳng trung trực của $AB$.

Phương trình $d$ nhận $\overrightarrow n  = \left( {6; - 4} \right)$ làm VTPT và đi qua $M\left( {1;1} \right)$

Suy ra $\left( d \right):6\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 6x - 4y - 2 = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 1 = 0$

Gọi $M$ là trung điểm $AC$ $\Rightarrow M\left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$ . $\overrightarrow {BM}  = \left( { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{5}{2}} \right)$

 $BM$ qua $B\left( {0;2} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {5; - 3} \right)$ làm VTPT $\Rightarrow BM:5x - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 3y + 6 = 0$

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $A\left( {2;\, - 1} \right)$ và nhận $\overrightarrow u  = \left( { - 3;\,2} \right)$ làm vectơ chỉ phương có dạng: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y =  - 1 + 2t\end{array} \right.$

Gọi $M\left( {2 + 3m;3 + m} \right)$ $\Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {2 + 3m - 9} \right)}^2} + {{\left( {3 + m - 1} \right)}^2}}$ $= \sqrt {10{m^2} - 38m + 53}$

Theo YCBT ta có $AM = 5 \Leftrightarrow A{M^2} = 25$$\Leftrightarrow 10{m^2} - 38m + 53 = 25$ $\Leftrightarrow 10{m^2} - 38m + 28 = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 \Rightarrow M\left( {5;4} \right)\\m = \dfrac{{14}}{5} \Rightarrow M\left( {\dfrac{{52}}{5};\dfrac{{29}}{5}} \right)\end{array} \right.$

Vậy có hai điểm $M$ thỏa YCBT.

Ta có: $M\left( { - 1;4} \right);N\left( {4; - 1} \right)$.

$MN$ đi qua $M\left( { - 1;4} \right)$ và nhận $\overrightarrow {MN}  = \left( {5; - 5} \right)$ hay $\dfrac{1}{5}\overrightarrow {MN} = \left( {1; - 1} \right)$ làm $VTCP$

$\Rightarrow MN:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + t\\y = 4 - t\end{array} \right.$

Gọi $A \in Ox \Rightarrow A\left( {{x_A};0} \right);B \in Oy \Rightarrow B\left( {0;{y_B}} \right)$

Ta có $M$ là trung điểm $AB$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = 2{y_M}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 10\\{y_B} =  - 6\end{array} \right.$

Suy ra $\left( {AB} \right):\dfrac{x}{{10}} + \dfrac{y}{{ - 6}} = 1 \Leftrightarrow 3x - 5y - 30 = 0$.

Gọi $\left( d \right)$ là đường thẳng đi qua $A$ và cách đều $B,C$. Khi đó ta có các trường hợp sau

TH1: $d$ đi qua trung điểm của $BC$.

$I\left( {\dfrac{5}{2};2} \right)$ là trung điểm của $BC$.

$\overrightarrow {AI}  = \left( {\dfrac{3}{2};1} \right)$ là VTCP của đường thẳng $d$.

Khi đó $\left( d \right): - 2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0$$\Leftrightarrow  - 2x + 3y - 1 = 0$.

TH2: $d$ song song với $BC$, khi đó $d$ nhận $\overrightarrow {BC}  = \left( {1;4} \right)$ làm VTCP, phương trình đường thẳng $\left( d \right): - 4\left( {x - 1} \right) + y - 1 = 0$$\Leftrightarrow  - 4x + y + 3 = 0$.

Gọi $AI$ là đường cao kẻ từ đỉnh $A$. Gọi ${H_1}$ là trực tâm của $\Delta ABC$, khi đó tọa độ điểm ${H_1}$ thỏa mãn hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\x - y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{7}{3}\\y =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.$  .

$\Rightarrow \overrightarrow {A{H_1}}  = \left( { - \dfrac{5}{3};\dfrac{4}{3}} \right)$

$AI$ qua ${H_1}\left( {\dfrac{7}{3}; - \dfrac{2}{3}} \right)$ và nhận $\overrightarrow n  = \left( {4;5} \right)$ làm VTPT

 $\Rightarrow AI:4\left( {x - \dfrac{7}{3}} \right) + 5\left( {y + \dfrac{2}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 6 = 0$

Phương trình đoạn chắn $AB:\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$

Do $\Delta OAB$ vuông cân tại $O$ $\Leftrightarrow \left| a \right| = \left| b \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = a\\b =  - a\end{array} \right.$

TH1: $b = a$ $\Rightarrow \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow x + y = a$ mà $M\left( {2; - 3} \right) \in \left( {AB} \right) \Rightarrow 2 - 3 = a \Leftrightarrow a =  - 1 \Rightarrow b =  - 1$

Vậy $\left( {AB} \right):x + y + 1 = 0$

TH2:  $b =  - a$ $\Rightarrow \dfrac{x}{a} - \dfrac{y}{a} = 1 \Leftrightarrow x - y = a$ mà $M\left( {2; - 3} \right) \in \left( {AB} \right) \Rightarrow 2 + 3 = a \Leftrightarrow a = 5 \Rightarrow b =  - 5$

Vậy $\left( {AB} \right):x - y - 5 = 0$