Cho hai điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\), \(B\left( {3;1} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + t}\end{array}} \right.\). Tọa độ điểm \(C\) thuộc \(\Delta \) để tam giác \(ACB\) cân tại \(C\).
Ta có $C \in \Delta \Rightarrow C\left( {1 + t,2 + t} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CA} = \left( { - 2 - t; - t} \right)\\\overrightarrow {CB} = \left( {2 - t; - 1 - t} \right)\end{array} \right.$
Ta có \(\Delta ACB\) cân tại \(C\) \( \Leftrightarrow C{A^2} = C{B^2} \Leftrightarrow {\left( { - 2 - t} \right)^2} + {\left( { - t} \right)^2} = {\left( {2 - t} \right)^2} + {\left( { - 1 - t} \right)^2} \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{6}\)
Suy ra \(C\left( {\dfrac{7}{6};\dfrac{{13}}{6}} \right)\).
Cho hai điểm \(P\left( {1;6} \right)\) và \(Q\left( { - 3; - 4} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :2x - y - 1 = 0\). Tọa độ điểm N thuộc \(\Delta \) sao cho \(\left| {NP - NQ} \right|\) lớn nhất.
Ta thấy: \(\left( {2.1 - 6 - 1} \right)\left( {2.\left( { - 3} \right) - \left( { - 4} \right) - 1} \right) > 0\) nên \(P,Q\) cùng phía so với \(\Delta \).
Ta có \(\overrightarrow {PQ} = \left( { - 4; - 10} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{PQ}}} = \left( {10; - 4} \right)\)
Suy ra phương trình \(PQ:5x - 2y + 7 = 0\)
Ta có \(\left| {NP - NQ} \right| \le PQ\)
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(N,P,Q\) thẳng hàng
Ta có \(N = PQ \cap \Delta \)
\( \Rightarrow N\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y + 7 = 0\\2x - y - 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 9\\y = - 19\end{array} \right. \Rightarrow N\left( { - 9; - 19} \right)\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)\), đường thẳng \(d\) qua \(M\), \(d\) cắt tia \(Ox\), \(Oy\) lần lượt tại \(A\left( {a;{\rm{ 0}}} \right)\), \(B\left( {0;{\rm{ }}b} \right)\) sao cho tam giác \(ABO\) (\(O\) là gốc tọa độ) có diện tích nhỏ nhất. Giá trị \(a - 4b\) bằng
Ta có phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\) ( theo giả thiết ta có \(a > 0,{\mkern 1mu} b > 0\))
Do \(d\) đi qua \(M\left( {4;{\rm{ 1}}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\)
Mặt khác diện tích của tam giác vuông \(ABO\) là \({S_{ABO}} = \dfrac{1}{2}ab\)
Áp dụng BĐT Cô si cho hai số $\dfrac{4}{a}$ và $\dfrac{1}{b}$ ta có \(1 = \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{4}{a}.\dfrac{1}{b}} = \dfrac{4}{{\sqrt {ab} }}\)\( \Leftrightarrow \sqrt {ab} \ge 4 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ab \ge 8\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{4}{a} = \dfrac{1}{b}$
Vậy diện tích của tam giác vuông \(ABO\) nhỏ nhất bằng \(8\) khi \(a\), \(b\) thỏa mãn hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{4}{a} = \dfrac{1}{b}\\\dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 8\\b = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow a - 4b = 8 - 4.2 = 0\).
Cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( {2;4} \right),B\left( {5;0} \right),C\left( {2;1} \right).\) Điểm \(N\) thuộc đường trung tuyến \(BM\) của tam giác \(ABC\) và có hoành độ bằng \( - 1.\) Tung độ của điểm \(N\) bằng
Ta có: \(M\) là trung điểm của \(AC\) suy ra \(M\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right).\)
Phương trình đường trung tuyến \(BM\) đi qua hai điểm \(B\left( {5;0} \right)\) và \(M\left( {2;\dfrac{5}{2}} \right)\) là:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{x - 5}}{{2 - 5}} = \dfrac{y}{{\dfrac{5}{2}}} \Leftrightarrow \dfrac{5}{2}\left( {x - 5} \right) = - 3y\\ \Leftrightarrow 5x - 25 + 6y = 0 \Leftrightarrow 5x + 6y - 25 = 0.\end{array}\)
Điểm \(N\) thuộc đường trung tuyến \(BM\) của \(\Delta ABC\) và có hoành độ bằng \( - 1\)
\( \Rightarrow 5.\left( { - 1} \right) + 6{y_N} - 25 = 0 \Rightarrow {y_N} = 5.\)
