Parabol

Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với đỉnh anten và trục Ox đi qua đầu thu.

Giả sử phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = 2px{\rm{ }}\left( {p > 0} \right).\)

Theo hình vẽ, khi $x = p + 130$ thì $y = 120$ hoặc $y = –120$

Do đó \({120^2}\; = 2p\left( {\;\dfrac{p}{2}\; + {\rm{ }}130} \right) \Rightarrow \;p \approx 46,92.\)

Khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten là:

 \(\dfrac{p}{2} \approx \dfrac{{46,92}}{2} = 23,26\,\,\left( {cm} \right).\)

Có $2p=8 ⇒ p=4$ ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0).

Có 2p = 8 ⇒ p = 4 ⇒ Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.

Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có \({4^2}\; = 8x \Rightarrow \;x = 2.\)

Vậy M(2; 4).

Suy ra bán kính qua tiêu của điểm M là \(MF = x + \;\dfrac{p}{2} = 2 + \dfrac{4}{2} = 4.\)

Có $2p=12 ⇒ p=6$ ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(3; 0).

Có $2p = 12 ⇒ p = 6$ ⇒ Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –3.

Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là

\(MF = x + \;\dfrac{p}{2} = 5 + \dfrac{6}{2} = 8.\)

Có \(MA = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)}^2} + {{\left( {0 - y} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)}^2} + {y^2}} \)

Khoảng cách từ M đến d là: \(d\left( {M;{\rm{ }}d} \right) = \;\mid x + \dfrac{1}{4}\mid \)

Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d ⇔ MA = d(M; d)

\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \dfrac{1}{4}} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)^2} + {y^2} = {\left| {x + \dfrac{1}{4}} \right|^2}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{16}} - \dfrac{x}{2} + {x^2}} \right) + {y^2} = {x^2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{{16}}\\ \Leftrightarrow {y^2} = x\end{array}\)

Vậy (P) là một parabol có phương trình \({y^2}\; = x.\)

 Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.

Gọi phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right).\)

Gọi F là tiêu điểm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A.

Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là:

\(\;AF = \;x + \dfrac{p}{2} \ge \;\dfrac{p}{2}\;\)(vì \(x{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\))\(\)

⇒ khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là \(\dfrac{p}{2}\) (km)\(\)

\( \Rightarrow \dfrac{p}{2} = 112 \Rightarrow p = 224.\)

Vậy phương trình chính tắc của (P) là \({y^2}\; = 448x.\)

Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là \(x = \dfrac{p}{2}\)

Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là:

\(AF = \;x + \dfrac{p}{2} = \dfrac{p}{2} + \dfrac{p}{2} = p = 224\left( {km} \right).\)

Có $2p = 6$, suy ra $p = 3$.

Khoảng cách từ điểm \(M\left( {1;\sqrt 6 } \right)\) trên gương đến tiêu điểm của (P) là:

\(MF = \;x + \dfrac{p}{2} = 1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2} = 2,5\)(cm)

Ta chọn hai hệ trục toạ độ Oxy và O'xy' sao cho đỉnh của mỗi parabol trùng với O và O' (như hình vẽ, đơn vị trên các trục là mét).

Ta cần tính các đoạn \(OO',{\rm{ }}{A_1}{A_2},{\rm{ }}{B_1}{B_2},{\rm{ }}{C_1}{C_2}.\)

Dễ thấy \(OO' = {\rm{ }}AA' = {\rm{ }}BB' = CC' = 9.\)

- Xét trong hệ trục toạ độ Oxy:

Giả sử parabol (P) có phương trình: \({y^2}\; = 2px\left( {p > 0} \right).\)

Khi đó D có toạ độ (21; 40) thuộc (P) nên \({40^2} = 2p.21\)\( \Rightarrow 2p = \dfrac{{1600}}{{21}}\)

Vậy phương trình của (P) là \({y^2} = \dfrac{{1600}}{{21}}x\)

- Xét trong hệ trục toạ độ O'xy':

Giả sử parabol (P') có phương trình: \(y{'^2} = 2px\left( {p > 0} \right).\)

Khi đó D có toạ độ (12; 40) thuộc (P') nên \({40^2}\; = 2p.12 \Rightarrow 2p = \dfrac{{400}}{3}\)

Vậy phương trình của (P') là \(y{'^2} = \dfrac{{400}}{3}x\)

- Tính các đoạn \({A_1}{A_2},{\rm{ }}{B_1}{B_2},{\rm{ }}{C_1}{C_2}:\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1}{A_2}\; = A{A_2}\; - {\rm{ }}A{A_1}\; = \left( {AA' + A'{A_2}} \right)-A{A_1}\; = \left( {9 + 0,75} \right)-1,3125 = 8,3475.}\\{{B_1}{B_2}\; = B{B_2}\; - {\rm{ }}B{B_1}\; = \left( {BB' + B'{B_2}} \right)-B{B_1}\; = \left( {9 + 3} \right)-5,25 = 6,75.}\\{{C_1}{C_2}\; = C{C_2}\; - {\rm{ }}C{C_1}\; = \left( {CC' + C'{C_2}} \right)-C{C_1}\; = \left( {9 + 6,75} \right)-11,8125 = 3,9375.}\end{array}\)

Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{OO' + 2{A_1}{A_2}\; + {\rm{ }}2{B_1}{B_2}\; + 2{C_1}{C_2}}\\{ = {\rm{ }}9 + 2.8,3475 + 2.6,75 + 2{\rm{ }}.{\rm{ }}3,9375}\\{ = {\rm{ }}47,07.}\end{array}\)

Vậy tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là 47,07 mét.

Có 2p = 12, suy ra p = 6.

Bán kính qua tiêu của M là: \(FM\; = x + \;\dfrac{p}{2} = 3 + \;\dfrac{6}{2} = {\rm{ }}6.\)