Các vật liệu xây dựng đều có hệ số dãn nở. Vì thế, khi đặt dầm cầu, người ta thường đặt cố định một đầu dầm, đầu còn lại đặt trên một con lăn có thể di động được nhằm giải quyết sự dãn nở của vật liệu. Hình 21 minh hoạ một dầm cầu được đặt ở hai bờ kênh, giới hạn bởi hai cung parabol có cùng trục đối xúmg. Người ta thiết kế các thanh giằng nối hai cung parabol đó sao cho các thanh giằng theo phương thẳng đứng cách đều nhau và cách đều hai đầu dầm.

Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng bằng:

Ta chọn hai hệ trục toạ độ Oxy và O'xy' sao cho đỉnh của mỗi parabol trùng với O và O' (như hình vẽ, đơn vị trên các trục là mét).

Ta cần tính các đoạn \(OO',{\rm{ }}{A_1}{A_2},{\rm{ }}{B_1}{B_2},{\rm{ }}{C_1}{C_2}.\)

Dễ thấy \(OO' = {\rm{ }}AA' = {\rm{ }}BB' = CC' = 9.\)

- Xét trong hệ trục toạ độ Oxy:

Giả sử parabol (P) có phương trình: \({y^2}\; = 2px\left( {p > 0} \right).\)

Khi đó D có toạ độ (21; 40) thuộc (P) nên \({40^2} = 2p.21\)\( \Rightarrow 2p = \dfrac{{1600}}{{21}}\)

Vậy phương trình của (P) là \({y^2} = \dfrac{{1600}}{{21}}x\)

- Xét trong hệ trục toạ độ O'xy':

Giả sử parabol (P') có phương trình: \(y{'^2} = 2px\left( {p > 0} \right).\)

Khi đó D có toạ độ (12; 40) thuộc (P') nên \({40^2}\; = 2p.12 \Rightarrow 2p = \dfrac{{400}}{3}\)

Vậy phương trình của (P') là \(y{'^2} = \dfrac{{400}}{3}x\)

- Tính các đoạn \({A_1}{A_2},{\rm{ }}{B_1}{B_2},{\rm{ }}{C_1}{C_2}:\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{A_1}{A_2}\; = A{A_2}\; - {\rm{ }}A{A_1}\; = \left( {AA' + A'{A_2}} \right)-A{A_1}\; = \left( {9 + 0,75} \right)-1,3125 = 8,3475.}\\{{B_1}{B_2}\; = B{B_2}\; - {\rm{ }}B{B_1}\; = \left( {BB' + B'{B_2}} \right)-B{B_1}\; = \left( {9 + 3} \right)-5,25 = 6,75.}\\{{C_1}{C_2}\; = C{C_2}\; - {\rm{ }}C{C_1}\; = \left( {CC' + C'{C_2}} \right)-C{C_1}\; = \left( {9 + 6,75} \right)-11,8125 = 3,9375.}\end{array}\)

Tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{OO' + 2{A_1}{A_2}\; + {\rm{ }}2{B_1}{B_2}\; + 2{C_1}{C_2}}\\{ = {\rm{ }}9 + 2.8,3475 + 2.6,75 + 2{\rm{ }}.{\rm{ }}3,9375}\\{ = {\rm{ }}47,07.}\end{array}\)

Vậy tổng độ dài của các thanh giằng theo phương thẳng đứng là 47,07 mét.