Số giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\sqrt {{x^2} - mx + 3}  = \sqrt {2x - 1} \) có hai nghiệm phân biệt là

Bước 1:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt {{x^2} - mx + 3}  = \sqrt {2x - 1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - mx + 3 = 2x - 1\\2x - 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 4 = 0(*)\\x \ge \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Bước 2:

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn \({x_1} > {x_2} \ge \dfrac{1}{2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\S = {x_1} + {x_2} > 1\\\left( {{x_1} - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_2} - \dfrac{1}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 2} \right)^2} - 16 > 0\\m + 2 > 1\\4 - \dfrac{1}{2}\left( {m + 2} \right) + \dfrac{1}{4} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m + 2 > 4\\m + 2 <  - 4\end{array} \right.\\m >  - 1\\m \le \dfrac{{13}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 6\end{array} \right.\\m >  - 1\\m \le \dfrac{{13}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 < m \le \dfrac{{13}}{2}\end{array}\)

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;6} \right\}\).

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.