Tổng bình phương các nghiệm của phương trình $\dfrac{2}{{\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x} }} = 1 + \sqrt {3 + 2{\rm{x}} - {x^2}} $ là:

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x + 1 \ge 0\\3 - x \ge 0\\\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge  - 1\\x \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 1 \le x \le 3$

Đặt: $\sqrt {x + 1}  + \sqrt {3 - x}  = t(t > 0)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 1 + 3 - x + 2\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  = {t^2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  = \dfrac{{{t^2} - 4}}{2}\end{array}$

Khi đó, phương trình trở thành: $\dfrac{2}{t} = 1 + \dfrac{{{t^2} - 4}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{2}{t} = \dfrac{{{t^2} - 2}}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {t^3} - 2t - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {t - 2} \right)\left( {{t^2} + 2t + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\end{array}$

+) Với $t = 2$ $ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)}  = 0 \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.$

Tổng bình phương các nghiệm là $10$ .