Cho tam giác \(ABC\). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,CA,\,\,AB\), \(O\) là điểm bất kì. Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?
Trả lời bởi giáo viên
Theo quy tắc ba điểm ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \left( {\overrightarrow {OP} + \overrightarrow {PA} } \right) + \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {ON} + \overrightarrow {NC} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} } \right) + \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {NC} \\ = \left( {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} } \right) - \left( {\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {AP} } \right)\end{array}\)
Vì \(PN,\,MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên
\(PN//BM,\,\,MN//BP\) suy ra tứ giác \(BMNP\) là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {PN} \)
\(N\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow \overrightarrow {CN} = \overrightarrow {NA} \)
Do đó theo quy tắc ba điểm ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BM} + \overrightarrow {CN} + \overrightarrow {AP} = \left( {\overrightarrow {PN} + \overrightarrow {NA} } \right) + \overrightarrow {AP} \\ = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AP} = \overrightarrow 0 \end{array}\)
Do đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP} \)
Hướng dẫn giải:
Tính tổng các véc tơ \(\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} ,\overrightarrow {OC} \) bằng cách xen các điểm \(M,N,P\) vào mỗi vec tơ và dựa vào các mối quan hệ hình học để nhận xét.