Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ lần lượt có trọng tâm G và G’. Đẳng thức nào dưới đây là sai?
Trả lời bởi giáo viên
Vì G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A’B’C’ nên ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {G'A'} + \overrightarrow {G'B'} + \overrightarrow {G'C'} = \overrightarrow 0 .\end{array}\)
Với điểm M bất kì khác điểm G ta chứng minh: \(3\overrightarrow {MG} = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} \) \(= \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GC} = 3\overrightarrow {MG} \)
Tương tự ta có: \(3\overrightarrow {MG'} = \overrightarrow {MA'} + \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {MC'} \)
Từ đó suy ra
\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'} = 3\left( {\overrightarrow {MG'} - \overrightarrow {MG} } \right) = 3\overrightarrow {MG'} - 3\overrightarrow {MG} \\ = \overrightarrow {MA'} + \overrightarrow {MB'} + \overrightarrow {MC'} - \overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} - \overrightarrow {MC} \\ = \left( {\overrightarrow {MA'} - \overrightarrow {MA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MB'} - \overrightarrow {MB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MC'} - \overrightarrow {MC} } \right)\\ = \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} .\end{array}\)
Nên A đúng.
Đáp án B:
\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} \\ = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {C'G'} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {A'G'} \\ + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CB'} + \overrightarrow {B'G'} \\ = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {CB'} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {C'G'} + \overrightarrow {A'G'} + \overrightarrow {B'G'} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {CB'} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AC'} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {CB'} \end{array}\)
Nên B đúng.
Đáp án C:
\(\begin{array}{l}3\overrightarrow {GG'} = \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} + \overrightarrow {GG'} \\ = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {C'G'} \\ + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CA'} + \overrightarrow {A'G'} \\ = \left( {\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CA'} } \right)\\ + \left( {\overrightarrow {B'G'} + \overrightarrow {C'G'} + \overrightarrow {A'G'} } \right)\\ = \overrightarrow 0 + \left( {\overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CA'} } \right) + \overrightarrow 0 \\ = \overrightarrow {AB'} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CA'} \end{array}\)
Nên C đúng.
D sai do A đúng.
Hướng dẫn giải:
Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 .\)