Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho hai đường thẳng $\Delta :x + 3y + 8 = 0$, $\Delta ':\,3x - 4y + 10 = 0$ và điểm $A\left( { - 2;1} \right).$ Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng \(\Delta \), đi qua điểm $A$ và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta '\)
Trả lời bởi giáo viên
Tâm $I$ của đường tròn thuộc $\Delta $ nên $I(-3t – 8; t)$
Theo yc thì k/c từ $I$ đến $\Delta '$ bằng k/c $IA$ nên ta có $\dfrac{{\left| {3( - 3t - 8) - 4t + 10} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt {{{( - 3t - 8 + 2)}^2} + {{(t - 1)}^2}} $
\( \Leftrightarrow \left| { - 13t - 14} \right| = 5\sqrt {{{\left( {3t + 6} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2}} \)
\( \Leftrightarrow {\left( {13t + 14} \right)^2} = 25\left( {10{t^2} + 34t + 37} \right)\) \( \Leftrightarrow - 81{t^2} - 486t - 729 = 0\) \( \Leftrightarrow t = - 3\)
Khi đó $I(1; -3), R = 5$ và pt cần tìm: ${\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2} = {\rm{ }}25$
Hướng dẫn giải:
- Gọi tọa độ tâm đường tròn theo phương trình \(\Delta \)
- Đường tròn tiếp xúc đường thẳng \(\Delta '\) nếu và chỉ nếu \(d\left( {I,\Delta '} \right) = R = IA\)