Bài tập cuối chương III

ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5 \ge 0}\\{x - 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - \dfrac{5}{4}}\\{x \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left[ {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} \ne {x_2}$ ta có

$\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {{x_2} - 1}  - \sqrt {4{x_1} + 5}  - \sqrt {{x_1} - 1} \\ = \dfrac{{4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}\\ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}} \right)\end{array}$

Suy ra $\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }} > 0$

Nên hàm số $y = \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}$ đồng biến trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Vì hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {1; + \infty } \right)$ nên

Nếu $x > 1 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  > 3$

Suy ra phương trình $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = 3$ vô nghiệm

Nếu $x < 1 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 1 \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  < 3$

Suy ra phương trình $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = 3$ vô nghiệm

Với $x = 1$ dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$.

ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5 \ge 0}\\{x - 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - \dfrac{5}{4}}\\{x \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left[ {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} \ne {x_2}$ ta có

$\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {{x_2} - 1}  - \sqrt {4{x_1} + 5}  - \sqrt {{x_1} - 1} \\ = \dfrac{{4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}\\ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}} \right)\end{array}$

Suy ra $\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }} > 0$

Nên hàm số $y = \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}$ đồng biến trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Xét phương trình đã cho:

Đặt ${x^2} + 1 = t,\,\,t \ge 1 \Rightarrow {x^2} = t - 1$  phương trình trở thành

$\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}  \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( t \right)$

Nếu $x > t \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( t \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}$

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu $x < t \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( t \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  < \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}$

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy $f\left( x \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow x = t$ hay ${x^2} + 1 = x \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Gọi $M,N$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$. $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow N\left( { - {x_0}; - {y_0}} \right)$

Vì $M,{\rm{ }}N$ thuộc đồ thị hàm số nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} =  - x_0^3 + x_0^2 + 3{x_0} - 4}\\{ - {y_0} = x_0^3 + x_0^2 - 3{x_0} - 4}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} =  - x_0^3 + x_0^2 + 3{x_0} - 4}\\{2x_0^2 - 8 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} =  - x_0^3 + x_0^2 + 3{x_0} - 4}\\{{x_0} =  \pm 2}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 2}\\{{y_0} =  - 2}\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} =  - 2}\\{{y_0} = 2}\end{array}} \right.$

Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là $\left( {2; - 2} \right)$ và $\left( { - 2;2} \right)$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ nên $3 = 16a + 4b + c$ (1)

Mặt khác $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ suy ra $0 = 9a + 3b + c$ (2), $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $P$ nên $P\left( {t;0} \right),\,\,t < 3$

Theo định lý Viét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 3 =  - \dfrac{b}{a}}\\{3t = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.$

Ta có ${S_{\Delta IPN}} = \dfrac{1}{2}IH.NP$ với $H$ là hình chiếu của $I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)$ lên $PN$ hay trục hoành

Do $IH = \left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|$, $NP = 3 - t$ nên ${S_{\Delta INP}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|.\left( {3 - t} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \dfrac{c}{a}} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\dfrac{{\left( {t + 3} \right)}}{4}}^2} - 3t} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{8}{{\left| a \right|}}$ (3)

Từ (1) và (2) ta có $7a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7a$ suy ra $t + 3 =  - \dfrac{{3 - 7a}}{a} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{{4 - t}}{3}>0$ do $t<3$

Thay vào (3) ta có ${\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{{8\left( {4 - t} \right)}}{3} \Leftrightarrow 3{t^3} - 27{t^2} + 73t - 49 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Suy ra $a = 1 \Rightarrow b =  - 4 \Rightarrow c = 3$.

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 3$.

Đặt $t = \sqrt[3]{{{x^2} + 1}},\,\,t \ge 1 \Rightarrow {t^2} = \sqrt[3]{{{x^4} + 2{x^2} + 1}}$

Khi đó hàm số trở thành $y = {t^2} - 3t + 1$ với $t \ge 1$.

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số  $y = \sqrt[3]{{{x^4} + 2{x^2} + 1}} - 3\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} + 1$ là $- \dfrac{5}{4}$ khi và chỉ khi $t = \dfrac{3}{2}$ hay  $\sqrt[3]{{{x^2} + 1}} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt {\dfrac{{19}}{8}}$