Ta có \(\overrightarrow n = \left( {2; - 3} \right)\) là VTPT của \(\left( \Delta \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {3;2} \right)\) là VTCP của \(\left( \Delta \right)\)
Đường thẳng \(d:x - 5y + 3 = 0\) có \(a = 1,b = - 5\) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 5} \right)\) làm VTPT
Ta có: \(\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}\) nên \(\Delta \) và \({d_1}\) cắt nhau.
Đường thẳng \(d:x + 2y - 1 = 0\) nhận \(\overrightarrow u = \left( {1;\,2} \right)\) làm VTPT
\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1;\,2} \right)\) không là VTCP của d.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 5 - 4t\end{array} \right.\). Điểm nào sau đây không thuộc \(d\)?
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}5 = 2 + 3t\\3 = 5 - 4t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) vô lý.
Vậy \(A\left( {5;3} \right)\) không thuộc d.
Đường thẳng \(\Delta \) đi qua A, B nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\;1} \right)\) làm VTCP.
\( \Rightarrow \)Đường thẳng \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow n = \left( { - 1;\;2} \right)\) làm VTPT.
Đường thẳng \(\left( d \right)\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\). Mệnh đề nào sau đây sai ?
Phương trình tổng quát đường thẳng có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\) là:
\(ax + by + c = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}\left( {b \ne 0} \right)\)
Suy ra hệ số góc \(k = - \dfrac{a}{b}\).
Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(AB\), với \(A\left( { - 2;\,1} \right)\) và \(B\left( {4;\,3} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;\,2} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm một vectơ pháp tuyến, do đó \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow c = \left( {1;\, - 3} \right)\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + mt\\y = 3 - 5t\end{array} \right.\) và \({\Delta _2}:\left( {m + 1} \right)x + my - 5 = 0\) (\(m\) là tham số). Tìm tổng tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \({\Delta _1}\) vuông góc với \({\Delta _2}\).
Ta có: \({\Delta _1}\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {m; - 5} \right)\) là một VTCP
\({\Delta _2}\) nhận \(\overrightarrow n = \left( {m + 1;m} \right)\) là một VTPT \( \Rightarrow \overrightarrow {{u_2}} = \left( { - m;m + 1} \right)\) là 1 VTCP của \({\Delta _2}\)
\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow - {m^2} - 5\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - {m^2} - 5m - 5 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 5m + 5 = 0\)
Tổng các giá trị của m là \( - 5\) (hệ thức Vi-ét).
Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(AB\), với \(A\left( { - 2;\,1} \right)\) và \(B\left( {4;\,3} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là
Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {6;\,2} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(AB\) nên nhận \(\overrightarrow {AB} \) làm một vectơ pháp tuyến, do đó \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow c = \left( {1;\, - 3} \right)\).
Cho đường thẳng \(d\) có phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\), tọa độ véctơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là
Véctơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.\) là \(\vec u = \left( {2;\; - 1} \right)\).
Cho đường thẳng \(\left( d \right):2x + 3y - 4 = 0\). Véc tơ nào sau đây là véc tơ chỉ phương của $\left( d \right)$?
Vectơ pháp tuyến của $d$ là \(\overrightarrow n = \left( {2;3} \right)\).
Suy ra vectơ chỉ phương của $d$ là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 2} \right)\).
Cho đường thẳng $d$ có: $2x + 5y - 6 = 0$. Tìm tọa đô một vectơ chỉ phương \(\vec u\) của $d$.
Vectơ pháp tuyến của $d$ là \(\vec n = \left( {2;5} \right)\).
Vectơ chỉ phương của $d$ là \(\vec u = \left( {5; - 2} \right)\).
Cho đường thẳng \(d:\,2x + 3y - 4 = 0\). Véctơ nào sau đây là véctơ pháp tuyến của \(d\)?
\(d:\,2x + 3y - 4 = 0\) có véctơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {2;\,3} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:2x + 3y + 1 = 0\). Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của \(d?\)
Đường thẳng \(d\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;3} \right)\).
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng \(\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 2 + 4t\end{array} \right.\), \(\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Một véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là
Véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 2;\,4} \right)\).
Khi đó \(k.\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( { - 2k;\,4k} \right)\) với \(k \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) cũng là véctơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \).
Đáp án D, \(\overrightarrow u = \left( {1;\, - 2} \right) = - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {{u_\Delta }} \), nên đáp án này đúng.
Đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( {1;1} \right)\) và \(B\left( { - 3;5} \right)\) nhận vectơ nào sau đây làm vectơ chỉ phương?
Đường thẳng đi qua hai điểm \(A\) và\(B\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;4} \right) = - 4\left( {1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương nên vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 1} \right)\) là một vectơ chỉ phương.
Cho đường thẳng $\Delta :2x - y + 1 = 0$. Điểm nào sau đây nằm trên đường thẳng $\Delta $?
Ta có $\Delta :2x - y + 1 = 0$ nên thay lần lượt các tọa độ, ta thấy $B\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$ thỏa mãn.
Kiểm tra :
Đáp án A : \(A\left( {1;1} \right)\) thì $2.1 - 1 + 1 = 2 \ne 0$ nên loại.
Đáp án B: $B\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$ thì $2.\dfrac{1}{2} - 2 + 1 = 0$ nên thỏa mãn.
Đáp án C: $C\left( {\dfrac{1}{2}; - 2} \right)$ thì $2.\dfrac{1}{2} - \left( { - 2} \right) + 1 = 4 \ne 0$ nên loại.
Đáp án D: $D\left( {0; - 1} \right)$ thì $2.0 - \left( { - 1} \right) + 1 = 2 \ne 0$ nên loại.
Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng \(4x - 3y - 26 = 0\) và \(3x + 4y - 7 = 0\).
Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 26 = 0\\3x + 4y - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 2\end{array} \right.\). Vậy toạ độ giao điểm là \(\left( {5; - 2} \right)\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), hai đường thẳng \({d_1}:4\,x + 3y - 18 = 0\); \({d_2}:3x + 5y - 19 = 0\) cắt nhau tại điểm có toạ độ
Tọa độ giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 3y = 18}\\{3x + 5y = 19}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.\).
