Một số khái niệm phương trình đường thẳng

Ta có $\overrightarrow n  = \left( {2; - 3} \right)$ là VTPT của $\left( \Delta  \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {3;2} \right)$ là VTCP của $\left( \Delta  \right)$

Đường thẳng $d:x - 5y + 3 = 0$  có $a = 1,b =  - 5$ nên nhận $\overrightarrow n  = \left( {1; - 5} \right)$ làm VTPT

Ta có: $\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}$  nên $\Delta$ và ${d_1}$ cắt nhau.

Đường thẳng $d:x + 2y - 1 = 0$ nhận $\overrightarrow u  = \left( {1;\,2} \right)$ làm VTPT

$\Rightarrow \overrightarrow u  = \left( {1;\,2} \right)$ không là VTCP của d.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}5 = 2 + 3t\\3 = 5 - 4t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.$     vô lý.

Vậy $A\left( {5;3} \right)$ không thuộc d.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua A, B nhận $\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\;1} \right)$ làm VTCP.

$\Rightarrow$Đường thẳng $\Delta$  nhận $\overrightarrow n  = \left( { - 1;\;2} \right)$ làm VTPT.

Phương trình tổng quát đường thẳng có vecto pháp tuyến $\overrightarrow n  = \left( {a;b} \right)$ là:

$ax + by + c = 0 \Leftrightarrow y =  - \dfrac{a}{b}x - \dfrac{c}{b}\left( {b \ne 0} \right)$

Suy ra hệ số góc $k =  - \dfrac{a}{b}$.

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {6;\,2} \right)$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB}$ làm một vectơ pháp tuyến, do đó $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow c  = \left( {1;\, - 3} \right)$.

Ta có: ${\Delta _1}$ nhận $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {m; - 5} \right)$ là một VTCP

${\Delta _2}$ nhận $\overrightarrow n  = \left( {m + 1;m} \right)$ là một VTPT $\Rightarrow \overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - m;m + 1} \right)$ là 1 VTCP của ${\Delta _2}$

${\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow  - {m^2} - 5\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - {m^2} - 5m - 5 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 5m + 5 = 0$

Tổng các giá trị của m là $- 5$  (hệ thức Vi-ét).

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( {6;\,2} \right)$. Đường thẳng $\Delta$ vuông góc với đường thẳng $AB$ nên nhận $\overrightarrow {AB}$ làm một vectơ pháp tuyến, do đó $\Delta$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow c  = \left( {1;\, - 3} \right)$.

Véctơ chỉ phương của đường thẳng $d$: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 3 - t\end{array} \right.$ là $\vec u = \left( {2;\; - 1} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của $d$ là $\overrightarrow n  = \left( {2;3} \right)$.

Suy ra vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow u  = \left( {3; - 2} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của $d$ là $\vec n = \left( {2;5} \right)$.

Vectơ chỉ phương của $d$ là $\vec u = \left( {5; - 2} \right)$.

$d:\,2x + 3y - 4 = 0$ có véctơ pháp tuyến là $\overrightarrow n  = \left( {2;\,3} \right)$.

Đường thẳng $d$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;3} \right)$.

Véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 2;\,4} \right)$.

Khi đó $k.\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 2k;\,4k} \right)$ với $k \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ cũng là véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$.

Đáp án D, $\overrightarrow u  = \left( {1;\, - 2} \right) =  - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {{u_\Delta }}$, nên đáp án này đúng.

Đường thẳng đi qua hai điểm $A$ và$B$ nhận vectơ $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;4} \right) =  - 4\left( {1; - 1} \right)$ làm một vectơ chỉ phương nên vectơ $\overrightarrow a  = \left( {1; - 1} \right)$ là một vectơ chỉ phương.

Ta có $\Delta :2x - y + 1 = 0$ nên thay lần lượt các tọa độ, ta thấy $B\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$ thỏa mãn.

Kiểm tra :

Đáp án A : $A\left( {1;1} \right)$ thì $2.1 - 1 + 1 = 2 \ne 0$ nên loại.

Đáp án B: $B\left( {\dfrac{1}{2};2} \right)$ thì $2.\dfrac{1}{2} - 2 + 1 = 0$ nên thỏa mãn.

Đáp án C: $C\left( {\dfrac{1}{2}; - 2} \right)$ thì $2.\dfrac{1}{2} - \left( { - 2} \right) + 1 = 4 \ne 0$ nên loại.

Đáp án D: $D\left( {0; - 1} \right)$ thì $2.0 - \left( { - 1} \right) + 1 = 2 \ne 0$ nên loại.

Toạ độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 26 = 0\\3x + 4y - 7 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y =  - 2\end{array} \right.$. Vậy toạ độ giao điểm là $\left( {5; - 2} \right)$.

Tọa độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 3y = 18}\\{3x + 5y = 19}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 2}\end{array}} \right.$.