Bài tập cuối chuyên đề 1

Tổng cường độ dòng điện ra vào vào tại điểm B bằng nhau nên ta có I = I₁ + I₂ (1).

Hiệu điện thế giữa hai điểm A và C được tính bởi:

U_AC = IR + I₁R₁ = 5I + 5I₁ suy ra 5I + 5I₁ = 4 (2).

Hiệu điện thế giữa hai điểm B và C được tính bởi:

U_BC = I₁R₁ = I₂R₂ suy ra 5I₁ = 5I₂ hay I₁ = I₂ (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I - {I_1} - {I_2} = 0,5}\\{5I + 5{I_1} = 4}\\{{I_1} - {I_2} = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được \(I = \dfrac{8}{{15}},{I_2} = \dfrac{4}{{15}},{I_3} = \dfrac{4}{{15}}.\)

+ Bộ ba số (–1; 0; 1) có là nghiệm của hệ (1).

Vì khi thay bộ số này vào từng phương trình thì chúng đều có nghiệm đúng:

2 . (–1) – 0 + 1 = –1;

–(–1) + 2 . 0 = 1;

3 . 0 – 2 . 1 = –2.

+ Bộ ba số (–1; 0; 1) không là nghiệm của hệ (2).

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 4 . (–1) – 2 . 0 + 1 = 2, đây là đẳng thức sai.

+ Bộ ba số (–1; 0; 1) không là nghiệm của hệ (3).

Vì khi thay bộ số này vào phương trình thứ nhất của hệ ta được 3 . (–1) – 2 . 0 + 1 = 2, đây là đẳng thức sai.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y + z = 3}\\{ - y + z = 2}\\{y + 2z = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2y + z = 3}\\{y = z - 2}\\{3z = 3}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2.( - 1) + 1 = 3}\\{y = 1 - 2}\\{z = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = - 1}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (0; –1; 1).

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y - 4z = 3}\\{4x + 6y - z = 17}\\{x + 2y = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y - 4z = 3}\\{16x - 24y - 4z = - 68}\\{x + 2y = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y - 4z = 3}\\{ - 13x - 26y = - 65}\\{x + 2y = 5}\end{array}} \right.} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y - 4z = 3}\\{x + 2y = 5}\\{x + 2y = 5}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x - 2y - 4z = 3}\\{x + 2y = 5}\end{array}} \right.\end{array}\)

Từ phương trình thứ hai ta có x = –2y + 5

Thay vào phương trình thứ nhất ta được z = –2y + 3.

Vậy hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm dạng (–2y + 5; y; –2y + 3).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1}\\{3x - y - z = 4}\\{x + 5y + 5z = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1}\\{4x + 4z = - 1}\\{x + 5y + 5z = - 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1}\\{4x + 4z = - 1}\\{ - 4y - 4z = 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1}\\{4x + 4z = - 1}\\{0y + 0z = 1}\end{array}} \right.\)

Vì phương trình thứ ba của hệ vô nghiệm nên hệ đã cho vô nghiệm.

(P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x = –2; x = 1

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 = a{{\left( { - 2} \right)}^2} + b\left( { - 2} \right) + c}\\{0 = a{{.1}^2} + b.1 + c}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a - 2b + c = 0\,\,\left( 1 \right)}\\{a + b + c = 0\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

(P) đi qua điểm M(–1; 3)

\( \Rightarrow 3 = a{\left( {-1} \right)^2}\; + b\left( {-1} \right) + c\,\,\, \Rightarrow \;a-b + c = 3{\rm{ }}\left( 3 \right).\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4a - 2b + c = 0}\\{a + b + c = 0}\\{a - b + c = 3}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được \(a{\rm{ }} = \;\dfrac{{ - 3}}{2},{\rm{ }}b = \dfrac{{ - 3}}{2},{\rm{ }}c = 3.\)

Vậy phương trình của (P) là \(y = \; - \dfrac{3}{2}{x^2} - \dfrac{3}{2}x + 3.\)

Gọi giá tiền mỗi viên ngọc lam, hoàng ngọc, ngọc bích lần lượt là x, y, z \(\left( {x,y,z > 0} \right)\)(triệu đồng).

Theo đề bài ta có:

- Một viên lam ngọc và hai viên hoàng ngọc trị giá gấp 3 lần một viên ngọc bích, suy ra:

$x + 2y = 3z$ hay $x + 2y –3z = 0 (1).$

- Bảy viên lam ngọc và một viên hoàng ngọc trị giá gấp 8 lần một viên ngọc bích, suy ra:

$7x + y = 8z$ hay $7x + y – 8z = 0 (2).$

- Giá tiền của bộ ba viên ngọc là 270 triệu đồng, suy ra $x + y + z = 270 (3).$

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y - 3z = 270}\\{7x + y - 8z = 0}\\{x + y + z = 270}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được $x = 90, y = 90, z = 90.$

Vậy giá tiền mỗi viên ngọc đều là 90 triệu đồng.

Gọi số tiền người thứ nhất, người thứ hai, người thứ ba đóng góp lần lượt là x, y,z\(\left( {x,y,z > 0} \right)\) (triệu đồng).

Theo đề bài ta có:

- Số tiền người đầu tiên đóng góp bằng một nửa tổng số tiền của những người còn lại, suy ra

\(x = \;\dfrac{1}{2}\left( {y + z + 130} \right)\) hay \(2x-y-z = 130{\rm{ }}\left( 1 \right).\)

- Người thứ hai đóng góp bằng \(\dfrac{1}{4}\) tổng số tiền của những người còn lại, suy ra:

\(y = \;1313\left( {x + z + 130} \right)\) hay \(-x + 3y-z = 130{\rm{ }}\left( 2 \right).\)

- Người thứ ba đóng góp bằng \(\dfrac{1}{4}\) tổng số tiền của những người còn lại, suy ra:

\(z = \;\dfrac{1}{4}\left( {x + y + 130} \right)\) hay \(-x-y + 4z = 130{\rm{ }}\left( 3 \right).\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y - z = 130}\\{ - x + 3y - z = 130}\\{ - x - y + 4z = 130}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được \(x = 200,\,\,y = 150,\,\,z = 120\).

Suy ra tổng số tiền là: $200 + 150 + 120 + 130 = 600$ (triệu đồng).

Vậy chiếc thuyền này được mua giá 600 triệu đồng.

Gọi số tiền nên đầu tư vào mỗi loại cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình và rủi ro thấp lần lượt là x, y, z\(\left( {x,y,z > 0} \right)\) (tỉ đồng).

Theo đề bài ta có:

- Tổng số tiền đầu tư là 1,2 tỉ suy ra x + y + z = 1,2 (1).

- Mục tiêu đầu tư có lợi nhuận trung bình là 9%/năm trên tổng số vốn đầu tư, suy ra

$15%x + 10%y + 6%z = 9%.1,2$ hay $15x + 10y + 6z = 10,8$ (2).

- Khoản đầu tư vào các cổ phiếu rủi ro thấp sẽ gấp đôi tổng các khoản đầu tư vào các cổ phiếu thuộc hai loại còn lại, suy ra

$z=2(x + y)$ hay $2x+2y - z = 0$ (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1,2}\\{15x + 10y + 6z = 10,8}\\{2x + 2y - z = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được $x=0,4, y=0, z=0,8.$

Vậy số tiền nên đầu tư vào mỗi loại cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình và rủi ro thấp lần lượt là 0,4 tỉ đồng, 0 đồng, 0,8 tỉ đồng.

Gọi số tế bào con ban đầu mỗi loại A, B, C lần lượt là x, y, z.\(\left( {x,y,z \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Theo đề bài ta có:

- Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3,4,5.

Suy ra số tế bào con mỗi loại A, B, C lần lượt là:

\({2^3}x,{2^4}y,{2^5}z\) hay \(8x,16y,32z.\)

- Tổng số tế bào con tạo ra là 216, suy ra

$8x + 16y + 32z = 216$ hay $x + 2y + 4z = 27$ (1).

- Khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại C bằng trung bình cộng số tế bào loại A và loại B, suy ra

$z = 1212(x + y)$ hay $x + y – 2z = 0$ (2).

- Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại B được tạo ra ít hơn số tế bào con loại C được tạo ra là 40, suy ra:

$8x + 16y = 32z – 40$ hay $x + 2y – 4z = –5$ (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y + 4z = 27}\\{x + y - 2z = 0}\\{x + 2y - 4z = - 5}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 5, y = 3, z = 4.

Vậy số tế bào con ban đầu mỗi loại A, B, C lần lượt là 5; 3; 4.

Gọi nồng độ của mỗi dung dịch A, B, C lần lượt là x, y, z (M).

Theo đề bài ta có:

- Nếu trộn ba dung dịch mỗi loại 100 ml thì được dung dịch nồng độ 0,4 M, suy ra

\(\dfrac{{0,1x + 0,1y + 0,1z}}{{0,1 + 0,1 + 0,1}} = 0,4 \Leftrightarrow x + y + z = 1,2\) (1)

- Nếu trộn 100 ml dung dịch A với 200 ml dung dịch B thì được dung dịch nồng độ 0,6 M, suy ra 

\(\dfrac{{0,1x + 0,2y}}{{0,1 + 0,2}} = 0,6 \Leftrightarrow x + 2y = 1,8\) (2)

- Nếu trộn 100 ml dung dịch B với 200 ml dung dịch C thì được dung dịch nồng độ 0,3 M, suy ra 

\(\dfrac{{0,1x + 0,2z}}{{0,1 + 0,2}} = 0,3 \Leftrightarrow y + 2y = 0,9\)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1,2}\\{x + 2y = 1,8}\\{y + 2z = 0,9}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được $x = 0,4; y = 0,7; z =0,1.$

Vậy nồng độ của mỗi dung dịch A, B, C lần lượt là 0,4 M; 0,7 M; 0,1 M.

\(x{C_2}{H_6}O{\rm{ }} + {\rm{ y}}{O_2}\;\mathop \to \limits^{{t^o}} zC{O_2}\; + {\rm{ t}}{H_2}O.\)

Số nguyên tử C ở hai vế bằng nhau, ta có 2x = z (1).

Số nguyên từ H ở hai vế bằng nhau, ta có 6x = 2t hay 3x = t (2).

Số nguyên từ O ở hai vế bằng nhau, ta có x + 2y = 2z + t (3).

Thay (1) và (2) vào (3) ta được x + 2y = 2 . 2x + 3x hay y = 3x.

Vậy y = 3x, z = 2x, t = 3x.

Để phương trình có hệ số đơn giản, ta chọn x = 1, khi đó y = 3, z = 2, t = 3.

\( \Rightarrow \,x + y + z + t = 1 + 2 + 3 + 2 = 8\)

Thị trường cân bằng khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{Q_{{S_A}}} = {Q_{{D_A}}}}\\{{Q_{{S_B}}} = {Q_{{D_B}}}}\\{{Q_{{S_C}}} = {Q_{{D_C}}}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 60 + 4x - 2z = 137 - 3x + y}\\{ - 30 - x + 5y - z = 131 + x - 4y + z}\\{ - 30 - 2x + 3z = 157 + y - 2z}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x - y - 2z = 197}\\{2x - 9y + 2z = - 161}\\{2x + y - 5z = - 187}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 54}\\{y = 45}\\{z = 68}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy giá của mỗi sản phẩm A, B, C lần lượt là 54, 45 và 68 triệu đồng.

Gọi số trâu đứng, trâu nằm, trâu già lần lượt là x, y, z (x, y, z là số nguyên dương).

Theo đề bài ta có hệ phương trình: 

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 100}\\{5x + 3y + \dfrac{1}{3}z = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 100 - z}\\{15x + 9y = 300 - z}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{ - 300 + 4z}}{3}}\\{y = \dfrac{{600 - 7z}}{3}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{4z}}{3} - 100}\\{y = 200 - \dfrac{{7z}}{3}}\end{array}} \right.\end{array}\)

Vì \(x > 0\) nên \(\dfrac{{4z}}{3} - 100 > 0 \Rightarrow z > 75\)

   \(y > 0\) nên \(200 - \dfrac{{7z}}{3} > 0 \Rightarrow z < 85\).

Mà \(z\) là số nguyên dương nên \(z \in \left\{ {76;77;...;84} \right\}\).

Lại có \(x\) là số nguyên dương nên \(\dfrac{{4z}}{3} - 100\) là số nguyên, suy ra \(z \vdots 3\)

\( \Rightarrow \left\{ {78;81;84} \right\}\).

+) Với z = 78 thì x = 4, y = 18.

+) Với z = 81 thì x = 8, y = 11.

+) Với z = 84 thì x = 12, y = 4.

Vậy có ba trường hợp thỏa mãn đề bài:

-Số trâu đứng là 4 con, trâu nằm là 18 con và trâu già là 78 con.

-Số trâu đứng là 8 con, trâu nằm là 11 con và trâu già là 81 con.

-Số trâu đứng là 12 con, trâu nằm là 4 con và trâu già là 84 con.

Giả sử đường tròn cần viết có phương trình \({x^2} + {y^2}-2ax-2by + c = 0{\rm{ }}\left( {{a^2} + {b^2}-c > 0} \right).\)

Vì đường tròn đi qua ba điểm A(0; 1), B(2; 3) và C(4; 1) nên ta có hệ:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{0^2} + {1^2} - 2a.0 - 2b.1 + c = 0}\\{{2^2} + {3^2} - 2a.2 - 2b.3 + c = 0}\\{{4^2} + {1^2} - 2a.4 - 2b.1 + c = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2b - c = 1}\\{4a + 6b - c = 13}\\{8a + 2b - c = 17}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được a = 2, b = 1, c = 1 (thoả mãn điều kiện).

Vậy đường tròn cần viết có phương trình \({x^2} + {y^2}-4x-2y + 1 = 0.\)

Gọi số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là x, y, z (quả) (x, y, z ∈ ℕ^*).

Theo đề bài, ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x + \dfrac{y}{5} + 5z = 60}\\{x + y + z = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + y + 25z = 300}\\{x + y + z = 100}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + y + 25z = 300}\\{14y + 10z = - 1200}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + y + 25z = 300}\\{ - 7y + 5z = - 600}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{15x + \dfrac{{5z + 600}}{7} + 25z = 300}\\{y = \dfrac{{5z + 600}}{7}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{{100 - 12z}}{7}}\\{y = \dfrac{{5z + 600}}{7}}\end{array}\,\,\,\left( * \right)} \right.} \right.\end{array}\)

Vì $x > 0$ nên $100 – 12z > 0$ \( \Rightarrow z{\rm{ }} < \dfrac{{100}}{{12}} < 9 \Rightarrow z \in \left\{ {1;2;..;8} \right\}.\)

Thay lần lượt các giá trị này của z vào phương trình thứ hai của (*) ta thấy chỉ có $z = 6$ thoả mãn (vì y ∈ ℕ^*).

=> z = 6, suy ra y = 90, x = 4.

Vậy số cam, quýt, thanh yên đã mua lần lượt là 4, 90 và 6 quả.

Gọi diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là x, y, z (ha)\(\left( {x;y;z > 0} \right)\)

Theo đề bài, ta có:

- Có tổng cộng 12 ha đất canh tác, suy ra x + y + z =12 (1).

- Diện tích trồng khoai tây gấp đôi diện tích trồng ngô, suy ra

$y = 2x$ hay $2x – y = 0$ (2).

- Tổng chi phí trồng ba loại cây trên là 45,25 triệu đồng, suy ra

$4x+3y+4,5z=45,25 (3).$

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 12}\\{2x - y = 0}\\{4x + 3y + 4,5z = 45,25}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được $x=2,5; y=5; z=4,5$.

Vậy diện tích trồng ngô, khoai tây, đậu tương lần lượt là 2,5 ha; 5 ha và 4,5 ha.