Cho đường thẳng ${d_1}:x + 2y - 7 = 0$ và ${d_2}:2x - 4y + 9 = 0$. Tính cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho.
$\left\{ \begin{align} & {{d}_{1}}:x+2y-7=0\to {{{\vec{n}}}_{1}}=\left( 1;2 \right) \\ & {{d}_{2}}:2x-4y+9=0\to {{{\vec{n}}}_{2}}=\left( 1;-2 \right) \\ \end{align} \right.$ $\xrightarrow{\varphi =\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}\cos \varphi =\dfrac{\left| 1-4 \right|}{\sqrt{1+4}.\sqrt{1+4}}=\dfrac{3}{5}.$
Tính góc tạo bởi giữa hai đường thẳng \({d_1}:6x - 5y + 15 = 0\) và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right..$
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:6x - 5y + 15 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {6; - 5} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {5;6} \right)\end{array} \right. \to {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \varphi = {90^ \circ }.\)
Cho hai đường thẳng ${d_1}:3x + 4y + 12 = 0$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right.$. Tìm các giá trị của tham số \(a\) để \({d_1}\) và \({d_2}\) hợp với nhau một góc bằng \({45^0}.\)
Ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:3x + 4y + 12 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {3;4} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {2;a} \right)\end{array} \right.\)
\(\varphi = \left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^0} = \cos \varphi = \dfrac{{\left| {6 + 4a} \right|}}{{\sqrt {25} .\sqrt {{a^2} + 4} }}\)
\( \Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + 4} \right) = 8\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right) \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 14\\a = \dfrac{2}{7}\end{array} \right..\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$. Khoảng cách từ điểm \(M\) đến \(\Delta \) được tính bằng công thức:
Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:
\(d\left( {M,\Delta } \right) = \,\dfrac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.\)
Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng \(x - 3y + 4 = 0\) và \(2x + 3y - 1 = 0\) đến đường thẳng $\Delta :3x + y + 4 = 0$ bằng:
Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng x-3y+4=0 và 2x+3y-1=0 thỏa mãn hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right. \)
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 3y = - 4\\
2x + 3y = 1
\end{array} \right.$
\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 1\end{array} \right. \)
\(\to A\left( { - 1;1} \right) \)
\(\to d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {10} }}.\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có $A\left( {1;2} \right),$ $B\left( {0;3} \right)$ và $C\left( {4;0} \right)$. Chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh \(A\) bằng:
$\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;2} \right)\\B\left( {0;3} \right),\,\,C\left( {4;0} \right) \end{array} \right.\\\to BC:3(x-0) + 4(y - 3) =3x+4y-12= 0\\ \to {h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 8 - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \dfrac{1}{5}.$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(ABC\) có $A\left( {3; - 4} \right),$ $B\left( {1;5} \right)$ và $C\left( {3;1} \right)$. Tính diện tích tam giác \(ABC\).
Cách 1:
+) Viết phương trình \(BC\):
Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 4} \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC} = \left( {1; - 2} \right)\) là VTCP của \(BC\), do đó \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {2;1} \right)\).
Đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\left( {1;5} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {2;1} \right)\) làm VTPT nên: \(BC:2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0\) hay \(BC:2x + y - 7 = 0\).
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\B\left( {1;5} \right),\,C\left( {3;1} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\BC = 2\sqrt 5 \\BC:2x + y - 7 = 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}BC = 2\sqrt 5 \\{h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \sqrt 5 \end{array} \right.$
$ \to {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\sqrt 5 = 5.$
Cho $2$ đường thẳng : ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$ ; ${d_2}:\dfrac{{x + 3}}{3} = \dfrac{y}{1}$. Toạ độ giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$ là :
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là giao điểm của \({d_1}\) và \({d_2}\), khi đó \(M \in {d_1}\) nên tọa độ của \(M\) thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$
Thay vào ${d_2}$ ta có: $\dfrac{{ - 1 + 3t + 3}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1} $ $\Rightarrow \dfrac{{3t + 2}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1}$ $ \Rightarrow 3t + 2 = 6t + 3$ $ \Rightarrow 3t = - 1 $ $\Rightarrow t = \dfrac{{ - 1}}{3}$
Giao điểm của hai đường thẳng là $\left( { - 2;\dfrac{1}{3}} \right)$
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để khoảng cách từ điểm \(A\left( { - 1;2} \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :mx + y - m + 4 = 0\) bằng \(2\sqrt 5 \).
$d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 $ $ \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1} $ $ \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$
Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):mx + y = m + 1\,\,,\left( {{d_2}} \right):x + my = 2\,\) cắt nhau khi và chỉ khi :
Ta có:
\({d_1}\) cắt ${d_2}$ khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} \ne 0\\ \Leftrightarrow m.m - 1.1 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\end{array}\)
Cho đường thẳng $\left( \Delta \right):3x - 2y + 1 = 0$ . Viết PTĐT $\left( d \right)$ đi qua điểm $M\left( {1;2} \right)$ và tạo với $\left( \Delta \right)$ một góc ${45^0}$
+) TH1: \(\left( d \right)\) không có hệ số góc.
Khi đó phương trình \(\left( d \right)\) có dạng: \(x - c = 0\).
\(\left( d \right)\) đi qua \(M\left( {1;2} \right)\) nên \(x - 1 = 0\) nên có VTPT \(\overrightarrow n = \left( {1;0} \right)\).
\( \Rightarrow \cos \left( {d,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}\) \( = \dfrac{{\left| {3.1 - 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {13} }}\) \( \ne \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos {45^0}\).
Do đó đường thẳng này không thỏa mãn bài toán.
+) TH2: \(\left( d \right)\) có hệ số góc.
PTĐT $\left( d \right)$ được viết dưới dạng: \(y - 2 = k\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow kx - y + 2-k = 0\)
Vì $\left( d \right)$ hợp với $\left( \Delta \right)$ một góc ${45^0}$ nên: ${\rm{cos 4}}{{\rm{5}}^0} = \dfrac{{|3k + ( - 1).( - 2)|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}} }}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{|3k + 2|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{k^2} + 1} }}$ $ \Leftrightarrow \dfrac{2}{4} = \dfrac{{9{k^2} + 12k + 4}}{{13.({k^2} + 1)}}$
\( \Leftrightarrow 5{k^2} + 24k - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{5}\\k = - 5\end{array} \right.\)
Vậy phương trình $\left( d \right)$ là: \(\dfrac{1}{5}x - y + 2 - \dfrac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow x - 5y + 9 = 0\) hay \( - 5x - y + 2 - ( - 5) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 7 = 0\)
Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\): \(3x - 2y - 7 = 0\) cắt đường thẳng nào sau đây?
Ta thấy \(\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}\) nên hai đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) và \(\left( {{d_1}} \right)\) cắt nhau.
Lập phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right)$ đi qua $M\left( {2;7} \right)$ và cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1.$
+) TH1: \(\left( \Delta \right)\) không có hệ số góc, khi đó phương trình \(\left( \Delta \right)\) có dạng \(x = c\) hay \(x - c = 0\).
\(\left( \Delta \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;7} \right)\) nên \(2 - c = 0 \Leftrightarrow c = 2\) \( \Rightarrow \left( \Delta \right):x - 2 = 0\).
Khi đó \(d\left( {N,\left( \Delta \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 1\) (thỏa mãn).
Do đó ta có đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0\).
+) TH2: \(\left( \Delta \right)\) có hệ số góc.
PTĐT $\left( \Delta \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;7} \right)$ và có hệ số góc $k$ có dạng là:
$y - 7 = k\left( {x - 2} \right)$\( \Leftrightarrow \)\(kx - y + 7 - 2k = 0\)
Vì $\left( \Delta \right)$ cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1$ nên:
Ta có: $d(N, ∆) =1$
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{|k.1 - 2 + 7 - 2.k|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{| - k + 5|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {( - k + 5)^2} = {(\sqrt {{k^2} + 1} )^2}\\ \Leftrightarrow {k^2} - 10k + 25 = {k^2} + 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{{12}}{5}\end{array}$
Do đó ta có phương trình $\left( \Delta _2 \right)$ là: \(\dfrac{{12}}{5}x - y + 7 - 2.\dfrac{{12}}{5} = 0 \) \(\Leftrightarrow 12x - 5y + 11 = 0\)
Vậy có hai đường thẳng cần tìm là \(\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0\) và \(\left( \Delta _2 \right):12x - 5y + 11 = 0\).
Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng \(\left( d \right):\,y = 2x - 1\)?
Ta có \(\left( d \right):\,y = 2x - 1 \Rightarrow \left( d \right):2x - y - 1 = 0\).
Xét từng đáp án ta thấy:
Đáp án A: \(\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{5}\) nên hai đường thẳng song song.
Đáp án B: \(\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 5}}\) nên hai đường thẳng song song.
Đáp án C: \(\dfrac{{ - 2}}{2} = \dfrac{1}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}\) nên hai đường thẳng song song.
Đáp án D: \(\dfrac{2}{2} \ne \dfrac{{ - 1}}{1}\) nên đường thẳng ở đáp án D không song song với \(d\).
Cho đường thẳng \(d\) có ptts: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 2t\\y = 3 + t\end{array} \right.;t \in R\). Tìm điểm \(M \in d\) sao cho khoảng cách từ $M$ đến điểm \(A(0;1)\) một khoảng bằng $5.$
Điểm \(M \in d\) nên tọa độ của $M$ phải thỏa mãn phương trình của $d.$
Gọi \(M(2 + 2t;3 + t) \in d\).
Ta có:$\overrightarrow {AM} = (2 + 2t;2 + t)$.
Theo giả thiết: \(\overrightarrow {\left| {AM} \right|} = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{(2 + 2t)}^2} + {{(2 + t)}^2}} = 5\)\( \Leftrightarrow {(2 + 2t)^2} + {(2 + t)^2} = 25\)
\( \Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{{ - 17}}{5}\end{array} \right.\).
Vậy có $2$ điểm $M$ thỏa ycbt \({M_1}(4;4)\) và \({M_2}(\dfrac{{ - 24}}{5};\dfrac{{ - 2}}{5})\).
Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):mx + y = m + 1\,\,,\left( {{d_2}} \right):x + my = 2\,\)song song nhau khi và chỉ khi
+) Nếu \(m = 0\) thì \({d_1}:y = 1,{d_2}:x = 2\) cắt nhau tại \(\left( {2;1} \right)\).
+) Nếu \(m \ne 0\) thì \({d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m}\\\dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\1.2 \ne m\left( {m + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 1\\{m^2} + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \pm 1\\m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m = - 1\end{array}\)
Cho \(d:x + 3y - 6 = 0;d':3x + y + 2 = 0.\) Lập phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi $d$ và $d'$
Vì: \(\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{3}{1}\) nên $d$ cắt $d'$
Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi $d$ và $d'$ là:
\(\dfrac{{x + 3y - 6}}{{\sqrt {10} }} = \pm \dfrac{{3x + y + 2}}{{\sqrt {10} }}\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 6 = 3x + y + 2}\\{x + 3y - 6 = - \left( {3x + y + 2} \right)}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 4 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array}} \right.\)
Cho hai đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):11x - 12y + 1 = 0\) và \(\left( {{\Delta _2}} \right):12x + 11y + 9 = 0\). Khi đó hai đường thẳng này
Ta có: \(\left( {{\Delta _1}} \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {11; - 12} \right)\); \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {12;11} \right)\).
Xét \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 11.12 - 12.11 = 0\) \( \Rightarrow \left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right)\)
Lập phương trình đường phân giác trong của góc $A$ của \(\Delta ABC\) biết \(A\left( {2;0} \right);B\left( {4;1} \right);C\left( {1;2} \right)\)
+ Cạnh $AB$ đi qua hai điểm $A,B$ nên phương trình cạnh \(AB: x - 2y - 2 = 0\)
+ Cạnh $AC$ đi qua hai điểm $A,C$ nên phương trình cạnh \(AC: 2x + y - 4 = 0\)
+ Phương trình hai đường phân giác của góc $A$:
\(\dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt 5 }} = \pm \dfrac{{2x + y - 4}}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 2 = 0\quad \left( d \right)}\\{3x - y - 6 = 0\quad \left( {d'} \right)}\end{array}} \right.\)
+ Xét đường phân giác \(\left( d \right):x + 3y - 2 = 0\)
Thế tọa độ điểm $B$ vào vế trái của \(d\): \({t_1} = 4 + 3.1 - 2 = 5 > 0\)
Thế tạo độ điểm $C$ vào vế trái của \(d\): \({t_2} = 1 + 3.2 - 2 = 5 > 0\)
Vì \({t_1}.{t_2} > 0\) nên $B$ và $C$ nằm cùng phía đối với \(d \Rightarrow d\) là đường phân giác ngoài
Vậy đường phân giác trong của góc $A$ là: \(d':3x - y - 6 = 0\)
Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng sau đây vuông góc \(\left( {{\Delta _1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + \left( {{m^2} + 1} \right)t\\y = 2 - mt\end{array} \right.\) và \(\left( {{\Delta _2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t'\\y = 1 - 4mt'\end{array} \right.\)
\(\left( {{\Delta _1}} \right)\) có \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {{m^2} + 1; - m} \right)\); \(\left( {{\Delta _2}} \right)\) có \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 3; - 4m} \right)\)
\(\left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}} \bot \overrightarrow {{u_2}} \Leftrightarrow - 3\left( {{m^2} + 1} \right) + 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 3 \)
