Ứng dụng của hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Đổi: 80 giờ = 4800 phút, 160 giờ = 9600 phút, 48 giờ = 2880 phút.

Nhà máy hoạt động hết công suất nghĩa là sử dụng được hết thời gian lao động tối đa.

Gọi số lượng áo thun, áo sơ mi, áo khoác cần sản xuất để nhà máy hoạt động hết công suất lần lượt là x, y, z (x, y, z nguyên dương).

Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{9x + 12y + 15z = 4800}\\{22x + 24y + 28z = 9600}\\{6x + 8y + 8z = 2880}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 80, y = 140, z = 160.

Giá trị biểu thức: \(D = 5.80 - 140 + 3.160 = 740\).

Gọi số bạn trong mỗi nhóm A, B, C lần lượt là x, y, z (\(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))(bạn)

Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1).

- Số bạn ở nhóm A sau khi chuyển là: \(x - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z\)

- Số bạn ở nhóm B sau khi chuyển là: \(y - \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z\)

Vì số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z = x}\\{y - \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z = y}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - z = 0}\\{2x - 3y + 2z = 0}\end{array}} \right.(2)\)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 100}\\{x - z = 0}\\{2x - 3y + 2z = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 30, y = 40, z = 30.

Ban tổ chức đã chia nhóm B 40 bạn.

Gọi số bạn trong mỗi nhóm A, B, C lần lượt là x, y, z (\(x,y,z \in {\mathbb{N}^*}\))(bạn)

Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1).

- Số bạn ở nhóm A sau khi chuyển là: \(x - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z\)

- Số bạn ở nhóm B sau khi chuyển là: \(y - \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z\)

Vì số bạn ở mỗi nhóm là không đổi qua hai trò chơi nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z = x}\\{y - \dfrac{1}{2}y + \dfrac{1}{3}x + \dfrac{1}{3}z = y}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - z = 0}\\{2x - 3y + 2z = 0}\end{array}} \right.(2)\)

Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 100}\\{x - z = 0}\\{2x - 3y + 2z = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 30, y = 40, z = 30.

Ban tổ chức đã chia nhóm C 30 bạn.

Gọi cường độ dòng điện qua điện trở R và các bóng đèn Đ₁, Đ₂ lần lượt là I, I₁, I₂ (ampe).

Cường độ dòng điện của đoạn mạch mắc song song là: I₁ + I₂.

Ta có: I = I₁ + I₂ hay I – I₁ – I₂ = 0 (1).

Hiệu điện thế ở đoạn mạch mắc song song là: U' = R₁ . I₁ = R₂ . I₂ nên

24 . I₁ = 12 . I₂ hay 2I₁ – I₂ = 0 (2).

Hiệu điện thế của đoạn mạch là: U = U_R + U' nên

24 = R . I + R₁ . I₁ suy ra 3I + 24I₁ = 24, hay I + 8I₁ = 8 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I - {I_1} - {I_2} = 0}\\{2{I_1} - {I_2} = 0}\\{I + 8{I_1} = 8}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được:

\(I = \dfrac{{24}}{{11}}\left( A \right),\,{I_1} = \dfrac{8}{{11}}\left( A \right),\,{I_2} = \dfrac{{16}}{{11}}\left( A \right).\)

Điện trở của Đ₁ là: R₁ = \(\dfrac{{{{12}^2}}}{6}\)=24(Ω).

Điện trở của Đ₂ là: R₂ = \(\dfrac{{{{12}^2}}}{{12}}\)=12(Ω).

Gọi số học sinh của ba lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là x, y, z (học sinh) (x, y, z ∈ ℕ^*).

Theo đề bài ta có:

- Số học sinh lớp 10A bằng trung bình cộng số học sinh lớp 10B và 10C, suy ra:

\(x = \;\dfrac{{y + z}}{2} \Rightarrow 2x-y-z = 0{\rm{ }}\left( 1 \right).\)

- Số cây bạch đàn mỗi học sinh lớp 10A, 10B trồng được lần lượt là: 3, 2. Suy ra:

\(3x + 2y = 164{\rm{ }}\left( 2 \right).\)

- Số cây thông mỗi học sinh lớp 10A, 10B, 10C trồng được lần lượt là: 2, 3, 5. Suy ra:

\(2x + 3y + 5z\; = 316{\rm{ }}\left( 3 \right).\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y - z = 0}\\{3x + 2y = 164}\\{2x + 3y + 5z = 316}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 32, y = 34, z = 30 (thoả mãn điều kiện).

Vậy số học sinh của ba lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là 32, 34, 30 học sinh.

=>Tổng số học sinh của ba lớp là: \(32 + 34 + 30 = 96\)(học sinh).

Gọi khối lượng dung dịch HCl có nồng độ 10%, 20% và 30% lần lượt là x, y, z (g).

Theo đề bài ta có: x + y + z = 1000 (1).

Vì dung dịch mới có nồng độ 25% nên ta có:

\(\dfrac{{10\% x + 20\% y + 30\% z}}{{1000}} = 25\% \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10x + 20y + 30z = 25\,\,000\\ \Leftrightarrow x + 2y + 3z = 2500\,\,(2)\end{array}\)

Lượng HCl có trong dung dịch 10% bằng lượng HCl có trong dung dịch 20%.

\( \Rightarrow 10\% x = \dfrac{1}{4}20\% y \Leftrightarrow 2x - y = 0\left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 1000}\\{x + 2y + 3z = 2500}\\{2x - y = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 125, y = 250, z = 625.

=> khối lượng dung dịch HCl có nồng độ 10%, 20% và 30% lần lượt là 125 g, 250 g, 625 g.

Vậy: \(P = x - 2y + z = 125 - 2.250 + 625 = 250\)

Gọi số tiền đầu tư trái phiếu, cho vay, bất động sản lần lượt là x, y, z (tỉ đồng).

Theo đề bài ta có: x + y + z = 100 (1).

Tổng số tiền đầu tư vào trái phiếu và cho vay gấp ba lần số tiền đầu tư vào bất động sản, do đó:

x + y = 3z hay x + y – 3z = 0 (2).

Lãi suất cho ba khoản đầu tư lần lượt là 8%, 10%, 12% và tổng số tiền lãi thu được là 9,6 tỉ đồng nên:

8%x + 10%y + 12%z = 9,6

suy ra 8x + 10y + 12z = 960 hay 4x + 5y + 6z = 480 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 100}\\{x + y - 3z = 0}\\{4x + 5y + 6z = 480}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 45, y = 30, z = 25.

Vậy số tiền đầu tư trái phiếu, cho vay, bất động sản lần lượt là 45 tỉ đồng, 30 tỉ đồng và 25 tỉ đồng.

=>\(P = 2.45 + 30 - 2.25 = 70\)

Theo định luật bảo toàn nguyên tố với K, Cl và O, ta có:

x = y hay x – y = 0 (1)

3x = 2z hay 3x – 2z = 0 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

Chọn z = 3. Khi đó hệ (1) trở thành.

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y = 0}\\{3x - 2z = 0}\end{array}} \right.\)

Vậy ta có phương trình sau cân bằng: \(2KCl{O_3}\;\mathop \to \limits^{{t^o}} \;2KCl + 3{O_2}\)

Giá trị biểu thức: \(A = 2.2 - 2 + 3.3 = 11\)

Theo định luật bảo toàn nguyên tố với Fe và Cl, ta có:

x = z hay x – z = 0

2x + 2y = 3z hay 2x + 2y – 3z = 0.

Ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - z = 0}\\{2x + 2y - 3z = 0}\end{array}} \right.\)

Chọn z = 2. Khi đó hệ (1) trở thành

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 2 = 0}\\{2x + 2y - 6 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.\)

Vậy ta có phương trình sau cân bằng: \(2FeC{l_2} + C{l_2}\;\mathop \to \limits^{{t^o}} \;2FeC{l_3}\).

Giá trị biểu thức: \(A = 2 - 2.1 + 2\) là: 2

Gọi Z_A, N_A lần lượt là số lượng hạt p, n của nguyên tử A.

Z_B, N_B lần lượt là số lượng hạt p, n của nguyên tử B.

Theo đề bài:

– Tổng số hạt p, n, e trong hai nguyên tử kim loại A và B là 177 nên ta có:

(2Z_A + N_A) + (2Z_B + N_B) = 177 (1).

– Số hạt mang điện nhiều hơn số hạt không mang điện là 47 nên ta có:

(2Z_A + 2Z_B) – (N_A + N_B) = 47 (2).

– Số hạt mang điện của nguyên tử B nhiều hơn của nguyên tử A là 8 nên ta có:

2Z_B – 2Z_A = 8 hay Z_B – Z_A = 4 (3).

Cộng theo từng vế của (1) với (2) ta được: 4Z_A + 4Z_B = 224 hay Z_A + Z_B = 56 (4).

Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{Z_B} - {Z_A} = 4}\\{{Z_A} + {Z_B} = 56}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được Z_A = 26, Z_B = 30.

Vậy số hạt proton trong một nguyên tử B là 30.

Gọi số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước lần lượt là x, y, z\((x,y,z \in {\mathbb{N}^*})\)

Theo đề bài ta có:

- Đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu, suy ra:

 x + y + z = 100 (1).

- Số tiền thu được là 980 triệu đồng, suy ra:

 8x + 10y + 12z = 980 hay 4x + 5y + 6z = 490 (2).

- Số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau, suy ra

8x = 12z hay 2x –3z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 100}\\{4x + 5y + 6z = 490}\\{2x - 3z = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 30, y = 50, z = 20.

Vậy \(B = 3.30 - 50 - 20 = 20\)

Gọi số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước lần lượt là x, y, z\((x,y,z \in {\mathbb{N}^*})\)

Theo đề bài ta có:

- Đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu, suy ra:

 x + y + z = 100 (1).

- Số tiền thu được là 980 triệu đồng, suy ra:

 8x + 10y + 12z = 980 hay 4x + 5y + 6z = 490 (2).

- Số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau, suy ra

8x = 12z hay 2x –3z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z = 100}\\{4x + 5y + 6z = 490}\\{2x - 3z = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 30, y = 50, z = 20.

Vậy\(B = 2.30 - 3.50 + 5.20 = 10\)

Gọi số tế bào con mỗi loại A, B, C lúc ban đầu lần lượt là x, y, z\((x,y,z \in {\mathbb{N}^*})\)

Theo đề bài ta có:

- Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3,4,7.

Suy ra số tế bào con mỗi loại A, B, C được tạo ra lần lượt là:

 2³x, 2⁴y và 2⁷z hay 8x, 16y và 128z.

- Tổng số tế bào con tạo ra là 480, suy ra:

 8x + 16y + 128z = 480 (1).

- Khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại B bằng tổng số tế bào loại A và loại C, suy ra:

 y = x + z hay x – y + z = 0 (2).

– Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp năm lần số tế bào con loại B được tạo ra, suy ra:

 \(8x + 128z = 2.16y{\rm{ }} \Leftrightarrow 8x-32y + 128z = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}x-4y + 16z = 0{\rm{ }}\left( 3 \right).\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x + 16y + 127z = 480}\\{x - y + z = 0}\\{x - 4y + 16z = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 8, y = 10, z = 2.

Vậy số tế bào con loại C lúc ban đầu là: 2

Gọi số tế bào con mỗi loại A, B, C lúc ban đầu lần lượt là x, y, z\((x,y,z \in {\mathbb{N}^*})\)

Theo đề bài ta có:

- Ba loại tế bào A, B, C thực hiện số lần nguyên phân lần lượt là 3,4,7.

Suy ra số tế bào con mỗi loại A, B, C được tạo ra lần lượt là:

 \(2^3x, 2^4y\) và $ 2^7z$ hay $8x, 16y$ và $128z$

- Tổng số tế bào con tạo ra là 480, suy ra:

$ 8x + 16y + 128z = 480 (1).$

- Khi chưa thực hiện nguyên phân, số tế bào loại B bằng tổng số tế bào loại A và loại C, suy ra:

 $y = x + z$ hay $x – y + z = 0 (2).$

– Sau khi thực hiện nguyên phân, tổng số tế bào con loại A và loại C được tạo ra gấp năm lần số tế bào con loại B được tạo ra, suy ra:

 \(8x + 128z = 2.16y{\rm{ }} \Leftrightarrow 8x-32y + 128z = 0{\rm{ }}\\ \Leftrightarrow {\rm{ }}x-4y + 16z = 0{\rm{ }}\left( 3 \right).\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{8x + 16y + 127z = 480}\\{x - y + z = 0}\\{x - 4y + 16z = 0}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 8, y = 10, z = 2.

Số tế bào con loại A lúc ban đầu là: 8

Gọi số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần lượt là x, y, z\((x,y,z \in {\mathbb{N}^*})\)

Theo đề bài ta có:

- Cửa hàng đã dùng hết 2 l hay 2000 ml sữa đặc, suy ra:

 20x + 10y + 20z = 2000 hay 2x + y + 2z = 200 (1).

- Cửa hàng đã dùng hết 12,8 l hay 12800 ml sữa tươi, suy ra:

 100x + 120y + 100z = 12800 hay 5x + 6y + 5z = 640 (2).

- Cửa hàng đã dùng hết 2,9 l hay 2900 ml sữa chua, suy ra:

 30x + 20y + 20z = 2900 hay 3x + 2y + 2z = 290 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y + 2z = 200}\\{5x + 6y + 5z = 640}\\{3x + 2y + 2z = 290}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 50, y = 40, z = 30.

Vậy số li sinh tố bơ cửa hàng bán được trong ngày hôm qua là 40.

Gọi số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần lượt là x, y, z (li)\((x,y,z \in {\mathbb{N}^*})\)

Theo đề bài ta có:

- Cửa hàng đã dùng hết 2 l hay 2000 ml sữa đặc, suy ra:

 20x + 10y + 20z = 2000 hay 2x + y + 2z = 200 (1).

- Cửa hàng đã dùng hết 12,8 l hay 12800 ml sữa tươi, suy ra:

 100x + 120y + 100z = 12800 hay 5x + 6y + 5z = 640 (2).

- Cửa hàng đã dùng hết 2,9 l hay 2900 ml sữa chua, suy ra:

 30x + 20y + 20z = 2900 hay 3x + 2y + 2z = 290 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: 

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y + 2z = 200}\\{5x + 6y + 5z = 640}\\{3x + 2y + 2z = 290}\end{array}} \right.\)

Giải hệ này ta được x = 50, y = 40, z = 30.

Vậy số li sinh tố mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần lượt là 30.

Cường độ dòng điện của đoạn mạch mắc song song là: \({I_1} + I\).

Ta có: \({I_2}\; = {I_1} + I\) hay \(I + {\rm{ }}{I_1}-{\rm{ }}{I_2}\; = 0\left( 1 \right).\)

Hiệu điện thế ở đoạn mạch mắc song song là: \(U' = {r_1}.{I_{1\;}} = R.I\) nên

\(1.{\rm{ }}{I_{1\;}} = 2.{\rm{ }}I\) hay \(2I-{I_1}\; = 0\left( 2 \right).\)

Hiệu điện thế của cả đoạn mạch là: \(U = {U_{2\;}} + U'\) nên:

\(20 = {r_2}.{\rm{ }}{I_2} + R.I\) hay \(2I + 0,5{I_2}\; = 20\left( 3 \right).\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I + {I_1} - {I_2} = 0}\\{2I - {I_1} = 0}\\{2I + 0,5{I_2} = 20}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được:

\(I = \dfrac{{40}}{7}\left( A \right),\,{I_1} = \dfrac{{80}}{7}\left( A \right),\,{I_2} = \dfrac{{120}}{7}\left( A \right)\).

Cường độ dòng điện của đoạn mạch mắc song song là: \({I_1} + I\).

Ta có: \({I_2}\; = {I_1} + I\) hay \(I + {\rm{ }}{I_1}-{\rm{ }}{I_2}\; = 0\left( 1 \right).\)

Hiệu điện thế ở đoạn mạch mắc song song là: \(U' = {r_1}.{I_{1\;}} = R.I\) nên

\(1.{\rm{ }}{I_{1\;}} = 2.{\rm{ }}I\) hay \(2I-{I_1}\; = 0\left( 2 \right).\)

Hiệu điện thế của cả đoạn mạch là: \(U = {U_{2\;}} + U'\) nên:

\(20 = {r_2}.{\rm{ }}{I_2} + R.I\) hay \(2I + 0,5{I_2}\; = 20\left( 3 \right).\)

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I + {I_1} - {I_2} = 0}\\{2I - {I_1} = 0}\\{2I + 0,5{I_2} = 20}\end{array}} \right.\)

Giải hệ phương trình, ta được:

\(I = \dfrac{{40}}{7}\left( A \right),\,{I_1} = \dfrac{{80}}{7}\left( A \right),\,{I_2} = \dfrac{{120}}{7}\left( A \right)\).

Điện trở của Đ₁ là: R₁ = \(\dfrac{{{{12}^2}}}{6}\)=24(Ω).

Điện trở của Đ₂ là: R₂ = \(\dfrac{{{{12}^2}}}{{12}}\)=12(Ω).