Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.
Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có \({4^2}\; = 8x \Rightarrow \;x = 2.\)
Vậy M(2; 4).
Suy ra bán kính qua tiêu của điểm M là \(MF = x + \;\dfrac{p}{2} = 2 + \dfrac{4}{2} = 4.\)
Tìm phương trình đường chuẩn của parabol.
Có 2p = 8 ⇒ p = 4 ⇒ Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.
Tìm toạ độ tiêu điểm của parabol.
Có $2p=8 ⇒ p=4$ ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0).
Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có hoành độ bằng 5.
Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là
\(MF = x + \;\dfrac{p}{2} = 5 + \dfrac{6}{2} = 8.\)
Tìm phương trình đường chuẩn của parabol.
Có $2p = 12 ⇒ p = 6$ ⇒ Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –3.
Tìm toạ độ tiêu điểm của parabol.
Có $2p=12 ⇒ p=6$ ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(3; 0).
Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).
Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là \(x = \dfrac{p}{2}\)
Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là:
\(AF = \;x + \dfrac{p}{2} = \dfrac{p}{2} + \dfrac{p}{2} = p = 224\left( {km} \right).\)
Viết phương trình chính tắc của parabol (P).
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.
Gọi phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right).\)
Gọi F là tiêu điểm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A.
Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là:
\(\;AF = \;x + \dfrac{p}{2} \ge \;\dfrac{p}{2}\;\)(vì \(x{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\))\(\)
⇒ khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là \(\dfrac{p}{2}\) (km)\(\)
\( \Rightarrow \dfrac{p}{2} = 112 \Rightarrow p = 224.\)
Vậy phương trình chính tắc của (P) là \({y^2}\; = 448x.\)
Tính bán kính qua tiêu của điểm trên parabol sau: Điểm \(M\left( {3;-6} \right)\) trên \(\left( P \right):{y^2}\; = 24x\)
Bán kính qua tiêu là:
Bán kính qua tiêu là:
Có 2p = 24, suy ra p = 12.
Bán kính qua tiêu của M là: \(FM\; = x + \;\dfrac{p}{2} = 3 + \;\dfrac{{12}}{2} = {\rm{9}}.\)
Tính bán kính qua tiêu của điểm trên parabol sau: Điểm \(M\left( {3;1} \right)\) trên \(\left( P \right):{y^2}\; = 8x\)
Bán kính qua tiêu là:
Bán kính qua tiêu là:
Có 2p = 8, suy ra p = 4.
Bán kính qua tiêu của M là: \(FM\; = x + \;\dfrac{p}{2} = 3 + \;\dfrac{4}{2} = 5.\)
Anten vệ tinh parabol ở sau có đầu thu đặt tại tiêu điểm, đường kính miệng anten là 240 cm, khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới miệng anten là 130 cm. Tính khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten.
B.\(23,26\) cm
B.\(23,26\) cm
B.\(23,26\) cm
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ trùng với đỉnh anten và trục Ox đi qua đầu thu.
Giả sử phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = 2px{\rm{ }}\left( {p > 0} \right).\)
Theo hình vẽ, khi $x = p + 130$ thì $y = 120$ hoặc $y = –120$
Do đó \({120^2}\; = 2p\left( {\;\dfrac{p}{2}\; + {\rm{ }}130} \right) \Rightarrow \;p \approx 46,92.\)
Khoảng cách từ vị trí đặt đầu thu tới đỉnh anten là:
\(\dfrac{p}{2} \approx \dfrac{{46,92}}{2} = 23,26\,\,\left( {cm} \right).\)
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = {\rm{ }}8x.\)
Tìm toạ độ tiêu điểm của parabol.
Có $2p=8 ⇒ p=4$ ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0).
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = {\rm{ }}8x.\)
Tìm phương trình đường chuẩn của parabol.
Có 2p = 8 ⇒ p = 4 ⇒ Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = {\rm{ }}8x.\)
Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có tung độ bằng 4.
Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có \({4^2}\; = 8x \Rightarrow \;x = 2.\)
Vậy M(2; 4).
Suy ra bán kính qua tiêu của điểm M là \(MF = x + \;\dfrac{p}{2} = 2 + \dfrac{4}{2} = 4.\)
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = 12x.\)
Tìm toạ độ tiêu điểm của parabol.
Có $2p=12 ⇒ p=6$ ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(3; 0).
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = 12x.\)
Tìm phương trình đường chuẩn của parabol.
Có $2p = 12 ⇒ p = 6$ ⇒ Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –3.
Cho parabol có phương trình \({y^2}\; = 12x.\)
Tính bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol biết điểm M có hoành độ bằng 5.
Bán kính qua tiêu của điểm M thuộc parabol và có hoành độ bằng 5 là
\(MF = x + \;\dfrac{p}{2} = 5 + \dfrac{6}{2} = 8.\)
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm \(A\left( {\dfrac{1}{4};0} \right)\) và đường thẳng \(d:x + \dfrac{1}{4} = 0\). Viết phương trình của đường (P) là tập hợp tâm M(x; y) của các đường tròn (C) di động nhưng luôn luôn đi qua A và tiếp xúc với d.
A.\({y^2} = x\)
A.\({y^2} = x\)
A.\({y^2} = x\)
Có \(MA = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)}^2} + {{\left( {0 - y} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)}^2} + {y^2}} \)
Khoảng cách từ M đến d là: \(d\left( {M;{\rm{ }}d} \right) = \;\mid x + \dfrac{1}{4}\mid \)
Đường tròn (C) luôn đi qua A và tiếp xúc với d ⇔ MA = d(M; d)
\(\begin{array}{l}\sqrt {{{\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)}^2} + {y^2}} = \left| {x + \dfrac{1}{4}} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{1}{4} - x} \right)^2} + {y^2} = {\left| {x + \dfrac{1}{4}} \right|^2}\\ \Leftrightarrow \left( {\dfrac{1}{{16}} - \dfrac{x}{2} + {x^2}} \right) + {y^2} = {x^2} + \dfrac{x}{2} + \dfrac{1}{{16}}\\ \Leftrightarrow {y^2} = x\end{array}\)
Vậy (P) là một parabol có phương trình \({y^2}\; = x.\)
Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.
Viết phương trình chính tắc của parabol (P).
Chọn hệ trục toạ độ sao cho gốc toạ độ O trùng với đỉnh của parabol, tâm Mặt Trời trùng với tiêu điểm của parabol, đơn vị trên các trục là kilômét.
Gọi phương trình chính tắc của (P) là \({y^2} = 2px\left( {p > 0} \right).\)
Gọi F là tiêu điểm của (P), (x; y) là toạ độ của sao chổi A.
Khi đó khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là:
\(\;AF = \;x + \dfrac{p}{2} \ge \;\dfrac{p}{2}\;\)(vì \(x{\rm{ }} \ge {\rm{ }}0\))\(\)
⇒ khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là \(\dfrac{p}{2}\) (km)\(\)
\( \Rightarrow \dfrac{p}{2} = 112 \Rightarrow p = 224.\)
Vậy phương trình chính tắc của (P) là \({y^2}\; = 448x.\)
Một sao chổi A chuyển động theo quỹ đạo có dạng một parabol (P) nhận tâm Mặt Trời là tiêu điểm. Cho biết khoảng cách ngắn nhất giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời là khoảng 112 km.
Tính khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P).
Khi sao chổi nằm trên đường thẳng đi qua tiêu điểm và vuông góc với trục đối xứng của (P) thì sao chổi có hoành độ là \(x = \dfrac{p}{2}\)
Khoảng cách giữa sao chổi A và tâm Mặt Trời khi đó là:
\(AF = \;x + \dfrac{p}{2} = \dfrac{p}{2} + \dfrac{p}{2} = p = 224\left( {km} \right).\)
