Bài tập cuối chương IX

Sách kết nối tri thức với cuộc sống

Đổi lựa chọn

Câu 1 Trắc nghiệm

Từ thành phố \(A\) đến thành phố $B$ có $6$ con đường, từ thành phố $B$ đến thành phố $C$  có $7$ con đường. Có bao nhiêu cách đi từ thành phố $A$ đến thành phố $C$ , biết phải đi qua thành phố $B$ .

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Để đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ ta có $6$ con đường để đi. Với mỗi cách đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ ta có $7$ cách đi từ thành phố $B$ đến thành phố $C.$

Vậy có \(6.7 = 42\) cách đi từ thành phố A đến B.

Câu 2 Trắc nghiệm

Từ các số $0,1,2,3,4,5$ có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có $6$ chữ số khác nhau và chữ số $2$ đứng cạnh chữ số $3?$

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Đặt \(y = 23\), xét các số \(x = \overline {abcde} \) trong đó \(a,b,c,d,e\) đôi một khác nhau và thuộc tập \(\left\{ {0,1,y,4,5} \right\}\). Có \({P_5} - {P_4} = 96\) số như vậy

Khi ta hoán vị \(2,3\) trong \(y\) ta được hai số khác nhau

Nên có \(96.2 = 192\) số thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 3 Trắc nghiệm

Có bao nhiêu số chẵn gồm $4$ chữ số đôi một khác nhau được lập từ các số $0,1,2,4,5,6,8$

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Gọi \(x = \overline {abcd} ;{\rm{ }}a,b,c,d \in \left\{ {0,1,2,4,5,6,8} \right\}\).

Vì \(x\) là số chẵn nên \(d \in \left\{ {0,2,4,6,8} \right\}\).

TH 1: \(d = 0 \Rightarrow \) có $1$ cách chọn \(d\).

Với mỗi cách chọn \(d\) ta có $6$ cách chọn \(a \in \left\{ {1,2,4,5,6,8} \right\}\)

Với mỗi cách chọn \(a,d\) ta có $5$ cách chọn \(b \in \left\{ {1,2,4,5,6,8} \right\}\backslash \left\{ a \right\}\)

Với mỗi cách chọn \(a,b,d\) ta có \(4\) cách chọn \(c \in \left\{ {1,2,4,5,6,8} \right\}\backslash \left\{ {a,b} \right\}\)

Suy ra trong trường hợp này có \(1.6.5.4 = 120\) số.

TH 2: \(d \ne 0 \Rightarrow d \in \left\{ {2,4,6,8} \right\} \Rightarrow \) có $4$ cách chọn $d$

Với mỗi cách chọn \(d\), do \(a \ne 0\) nên ta có $5$ cách chọn

\(a \in \left\{ {1,2,4,5,6,8} \right\}\backslash \left\{ d \right\}\).

Với mỗi cách chọn \(a,d\) ta có $5$ cách chọn \(b \in \left\{ {0,1,2,4,5,6,8} \right\}\backslash \left\{ a,d \right\}\)

Với mỗi cách chọn \(a,b,d\) ta có \(4\) cách chọn \(c \in \left\{ {0,1,2,4,5,6,8} \right\}\backslash \left\{ {a,b,d} \right\}\)

Suy ra trong trường hợp này có $4.5.5.4 = 400$ số.

Vậy có tất cả \(120 + 400 = 520\) số cần lập.

Câu 4 Trắc nghiệm

Cho \(C_n^{n - 3} = 1140\). Tính \(A = \dfrac{{A_n^6 + A_n^5}}{{A_n^4}}\)

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}n \in \mathbb{N}\\n \ge 6\end{array} \right.\)

Ta có: \(C_n^{n - 3} = 1140 \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{3!(n - 3)!}} = 1140 \Leftrightarrow n = 20\)

Khi đó: \(A = \dfrac{{A_{20}^6 + A_{20}^5}}{{A_{20}^4}}=256\)

Câu 5 Trắc nghiệm

Tính \(M = \dfrac{{A_{n + 1}^4 + 3A_n^3}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\), biết \(C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 2}^2 + 2C_{n + 3}^2 + C_{n + 4}^2 = 149\).

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}n \in \mathbb{N}\\n \ge 3\end{array} \right.\)

Ta có: \(C_{n + 1}^2 + 2C_{n + 2}^2 + 2C_{n + 3}^2 + C_{n + 4}^2 = 149\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2!\left( {n - 1} \right)!}} + 2\dfrac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!n!}} + 2\dfrac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{2!\left( {n + 1} \right)!}} + \dfrac{{\left( {n + 4} \right)!}}{{2!\left( {n + 2} \right)!}} = 149\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 1} \right)n}}{2} + \dfrac{{2\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}{2}\)\( + \dfrac{{2\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2} + \dfrac{{\left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)}}{2} = 149\)

\( \Leftrightarrow {n^2} + n + 2\left( {{n^2} + 3n + 2} \right)\)\( + 2\left( {{n^2} + 5n + 6} \right) + {n^2} + 7n + 12 = 298\)

\( \Leftrightarrow 6{n^2} + 24n - 270 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\left( {TM} \right)\\n =  - 9\left( L \right)\end{array} \right.\)

Do đó: \(M = \dfrac{{A_6^4 + 3A_5^3}}{{6!}} = \dfrac{3}{4}\).

Câu 6 Trắc nghiệm

Giải phương trình \({P_x}A_x^2 + 72 = 6(A_x^2 + 2{P_x})\) ta được nghiệm:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{N}\\x \ge 2\end{array} \right.\)

Phương trình

$ \Leftrightarrow {P_x}A_x^2 + 72 - 6A_x^2 - 12{P_x} = 0$

\( \Leftrightarrow \left( {{P_x}A_x^2 - 6A_x^2} \right) - \left( {12{P_x} - 72} \right) = 0\) 

\( \Leftrightarrow A_x^2\left( {{P_x} - 6} \right) - 12({P_x} - 6) = 0\)

\( \Leftrightarrow ({P_x} - 6)(A_x^2 - 12) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{P_x} = 6\\A_x^2 = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x! = 6\\x(x - 1) = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 4\end{array} \right.\)

Câu 7 Trắc nghiệm

Giải bất phương trình \(C_{n + 2}^{n - 1} + C_{n + 2}^n > \dfrac{5}{2}A_n^2\) ta được:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Với \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\) ta có:

$C_{n + 2}^{n - 1} + C_{n + 2}^n > \dfrac{5}{2}A_n^2 \Leftrightarrow C_{n + 3}^n > \dfrac{5}{2}A_n^2 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n + 3} \right)!}}{{n!3!}} > \dfrac{5}{2}\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}$

\( \Leftrightarrow n\left( {{n^2} - 9n + 26} \right) + 6 > 0\)  luôn đúng với mọi \(n \ge 2\).

Vậy nghiệm của bất phương trình \(n \ge 2,n \in \mathbb{N}\).

Câu 8 Trắc nghiệm

Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2A_y^x + 5C_y^x = 90\\5A_y^x - 2C_y^x = 80\end{array} \right.\) ta được nghiệm \(\left( {x;y} \right)\). Khi đó giá trị biểu thức \(x - y\) là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Điều kiện \(x,y \in \mathbb{N};\,x \le y\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2A_y^x + 5C_y^x = 90\\5A_y^x - 2C_y^x = 80\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A_y^x = 20\\C_y^x = 10\end{array} \right.\)

Từ \(A_y^x = x!C_y^x\) suy ra \(x! = \dfrac{{20}}{{10}} = 2 \Leftrightarrow x = 2\)

Từ \(A_y^2 = 20 \Leftrightarrow y\left( {y - 1} \right) = 20\)\( \Leftrightarrow {y^2} - y - 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y =  - 4\,\,(L)\\y = 5\end{array} \right.\)

Vậy \(x = 2;y = 5\).

Câu 9 Trắc nghiệm

Có bao nhiêu số tự nhiên gồm $7$ chữ số, biết rằng chữ số $2$ có mặt hai lần, chữ số $3$ có mặt ba lần và các chữ số còn lại có mặt nhiều nhất một lần?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Gọi số tự nhiên thỏa mãn bài toán có dạng \(\overline {abcdefg} \).

Xét trường hợp có cả chữ số \(0\) đứng đầu.

Số cách chọn vị trí cho chữ số \(2\) là \(C_7^2\).

Số cách chọn vị trí cho chữ số \(3\) là \(C_5^3\).

Số cách chọn \(2\) chữ số còn lại trong tập hợp \(\left\{ {0;1;4;5;6;7;8;9} \right\}\) để xếp vào hai vị trí cuối là \(A_8^2\).

Do đó có \(C_7^2.C_5^3.A_8^2 = 11760\) số.

Xét trường hợp chữ số \(0\) đứng đầu.

\(a = 0\) nên có \(1\) cách chọn.

Số cách chọn vị trí cho chữ số \(2\) là \(C_6^2\).

Số cách chọn vị trí cho chữ số \(3\) là \(C_4^3\).

Số cách chọn chữ số cuối trong tập hợp \(\left\{ {1;4;5;6;7;8;9} \right\}\) là \(7\) cách.

Do đó có \(1.C_6^2.C_4^3.7 = 420\) số.

Vậy có \(11760 - 420 = 11340\) số.

Câu 10 Trắc nghiệm

Gieo một đồng tiền và một con súc sắc. Số phần tử của không gian mẫu là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Mô tả không gian mẫu ta có: $\Omega  = \left\{ {S1;\,S2;\,S3;\,S4;\,S5;S6;} \right.\left. {N1;N2;N3;N4;N5;N6} \right\}$

Câu 11 Trắc nghiệm

Cho phép thử có không gian mẫu \(\Omega  = \left\{ {1,2,3,4,5,6} \right\}\). Các cặp biến cố không đối nhau là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Cặp biến cố không đối nhau là $E = \left\{ {1,\,4,\,6} \right\}$ và $F = \left\{ {2,\,3} \right\}$ do $E \cap F = \emptyset $ và $E \cup F \ne \Omega $.

Câu 12 Trắc nghiệm

Gieo một đồng tiền 5 lần. Xác định và tính số phần tử của biến cố  $C:$ “ Số lần mặt sấp xuất hiện nhiều hơn mặt ngửa”

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Số trường hợp xuất hiện mặt sấp \(3\) lần là \(C_5^3 = 10\)

Số trường hợp xuất hiện mặt sấp \(4\) lần là \(C_5^4 = 5\)

Số trường hợp xuất hiện mặt sấp \(5\) lần là \(C_5^5 = 1\)

Vậy số phần tử của biến cố  $C:$ “ Số lần mặt sấp xuất hiện nhiều hơn mặt ngửa” là:

\(10 + 5 + 1 = 16\)

Câu 13 Trắc nghiệm

Có $100$ tấm thẻ được đánh số từ $1$ đến $100.$ Lấy ngẫu nhiên $5$ thẻ. Tính số phần tử của biến cố  $B:$ “ Có ít nhất một số ghi trên thẻ được chọn chia hết cho $3$ ”.

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: d
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: d
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: d

Từ $1$ đến $100$ có $33$ số chia hết cho $3.$  Do đó có \(67\) tấm thẻ không chia hết cho \(3\)

Vậy, số cách chọn $5$ tấm thẻ mà không có tấm thẻ nào ghi số chia hết cho $3$ là số cách chọn \(5\) trong \(67\) tấm thẻ: \(C_{67}^5\) (cách)

Vậy \(n(B) = C_{100}^5 - C_{67}^5\).

Câu 14 Trắc nghiệm

Gieo đồng tiền cân đối và đồng chất $5$ lần. Xác suất để được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

\(n\left( \Omega  \right) = {2^5} = 32\).

$A:$ “được ít nhất một đồng tiền xuất hiện mặt sấp”.

Xét biến cố đối \(\bar A\): “không có đồng tiền nào xuất hiện mặt sấp”.

\(\bar A = \left\{ {\left( {N,N,N,N,N} \right)} \right\}\), có \(n\left( {\bar A} \right) = 1\) suy ra \(P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{1}{{32}}\).

KL: \(P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = \dfrac{{31}}{{32}}\).

Câu 15 Trắc nghiệm

Một con súc sắc cân đối đồng chất được gieo $5$ lần. Xác suất để tổng số chấm ở hai lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: b
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: b
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: b

Số phần tử không gian mẫu:$n\left( \Omega  \right) = 6.6.6.6.6 = {6^5}$

Bộ kết quả của $3$ lần gieo thỏa yêu cầu là:

$\begin{array}{l}\left( {1;1;2} \right);\left( {1;2;3} \right);\left( {2;1;3} \right);\left( {1;3;4} \right);\left( {3;1;4} \right);\left( {2;2;4} \right);\\\left( {1;4;5} \right);\left( {4;1;5} \right);\left( {2;3;5} \right);\left( {3;2;5} \right);\left( {1;5;6} \right);\left( {5;1;6} \right);\\\left( {2;4;6} \right);\left( {4;2;6} \right);\left( {3;3;6} \right)\end{array}$

Nên $n\left( A \right) = 15.6.6$.

Suy ra $P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{{15.6.6}}{{{6^5}}} = \dfrac{{15}}{{216}}$.

Câu 16 Trắc nghiệm

Một con súc sắc đồng chất được đổ \(6\) lần. Xác suất để được một số lớn hơn hay bằng \(5\) xuất hiện ít nhất \(5\) lần là

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Ta có \(n\left( \Omega  \right) = 6.6.6.6.6.6 = {6^6}.\)

Có các trường hợp sau:

Số bằng \(5\) xuất hiện đúng \(5\) lần, lần còn lại xuất hiện $1$ trong $5$ số $1,2,3,4,6$

\( \Rightarrow \) có $C_6^5.C_5^1 = 30$ kết quả thuận lợi.

Số bằng \(5\) xuất hiện đúng \(6\) lần \( \Rightarrow \) có \(1\) kết quả thuận lợi.

Số bằng \(6\) xuất hiện đúng \(5\) lần, lần còn lại xuất hiện $1$ trong $5$ số $1,2,3,4,5$

\( \Rightarrow \) có $C_6^5.C_5^1 = 30$ kết quả thuận lợi.

Số bằng \(6\) xuất hiện đúng \(6\) lần \( \Rightarrow \) có \(1\) kết quả thuận lợi.

Vậy xác suất để được một số lớn hơn hay bằng \(5\) xuất hiện ít nhất \(5\) lần là

\(P = \dfrac{{30 + 1 + 30 + 1}}{{{6^6}}} = \dfrac{{31}}{{23328}}.\)

Câu 17 Trắc nghiệm

Một bình đựng $5$ quả cầu xanh và $4$ quả cầu đỏ và $3$ quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên $3$ quả cầu. Xác suất để được $3$ quả cầu khác màu là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: c
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: c
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: c

Phép thử: Lấy ngẫu nhiên ba quả cầu

Ta có \(n\left( \Omega  \right) = C_{12}^3 = 220\)

Biến cố \(A\) : Lấy được ba qua cầu khác màu

\(n\left( A \right) = 5.4.3 = 60\)

\( \Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \dfrac{3}{{11}}\).

Câu 18 Trắc nghiệm

Một bình đựng \(5\) viên bi xanh và \(3\) viên bi đỏ (các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc). Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi nữa. Khi tính xác suất của biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”, ta được kết quả

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Gọi \(A\) là biến cố “Lấy lần thứ hai được một viên bi xanh”. Có hai trường hợp xảy ra

Trường hợp 1. Lấy lần thứ nhất được bi xanh, lấy lần thứ hai cũng được một bi xanh. Xác suất trong trường hợp này là \({P_1} = \dfrac{5}{8}.\dfrac{4}{7} = \dfrac{5}{{14}}.\)

Trường hợp 2. Lấy lần thứ nhất được bi đỏ, lấy lần thứ hai được bi xanh. Xác suất trong trường hợp này là \({P_2} = \dfrac{3}{8}.\dfrac{5}{7} = \dfrac{{15}}{{56}}.\)

Vậy \(P\left( A \right) = {P_1} + {P_2} = \dfrac{5}{{14}} + \dfrac{{15}}{{56}} = \dfrac{{35}}{{56}} = \dfrac{5}{8}.\)

Câu 19 Trắc nghiệm

Có hai hộp đựng bi. Hộp $I$ có $9$ viên bi được đánh số $1,{\rm{ }}2,{\rm{ }} \ldots ,{\rm{ }}9$. Hộp \(II\) có một số bi cũng được đánh số. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi. Biết rằng xác suất để lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp $II$ là $\dfrac{3}{{10}}$. Xác suất để lấy được cả hai viên bi mang số chẵn là:

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Gọi $X$ là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “

Gọi $A$ là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “

=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{C_4^1}}{{C_9^1}} = \dfrac{4}{9}.\)

Gọi $B$ là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp $II$ “\(P\left( B \right) = \dfrac{3}{{10}}.\)

Ta thấy biến cố $A, B$ là $2$ biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( X \right) = P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \dfrac{4}{9}.\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{2}{{15}}.\)

Câu 20 Trắc nghiệm

Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5,6$ có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có $5$  chữ số khác nhau trong đó có đúng hai chữ số lẻ và $2$ chữ số lẻ đứng cạnh nhau?

Bạn đã chọn sai | Đáp án đúng: a
Bạn đã chọn đúng | Đáp án đúng: a
Bạn chưa làm câu này | Đáp án đúng: a

Gọi \(A\) là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số \(0,1,2,3,4,5,6\) số cách chọn được \(A\) là \(A_3^2 = 6\). Số chẵn có $5$ chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa \(A\) và ba trong $4$ chữ số $0;2;4;6.$ Gọi \(\overline {abcd} ;a,b,c,d \in \{ A,0,2,4,6\} \) là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH1: Nếu \(a = A\) có $1$ cách chọn \(a\) và \(A_4^3\) cách chọn \(b,c,d\).

* TH2: \(a \ne A\) có $3$ cách chọn \(a\)

+ Nếu \(b = A\) có $1$ cách chọn \(b\) và \(A_3^2\) cách chọn \(c,d\).

+ Nếu \(c = A\) có $1$ cách chọn \(c\) và \(A_3^2\) cách chọn \(b,d\).

Vậy có \(A_3^2\left( {A_4^3 + 3\left( {1.A_3^2 + 1.A_3^2} \right)} \right) = 360\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.