Tổng và hiệu của hai vectơ

$\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {AC}$.

Ta có: $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA}$ (qui tắc 3 điểm).

Ta có: $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {IB}\ne \overrightarrow {BI}$ nên A sai.

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}\ne \overrightarrow {BD}$ nên B sai.

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  =\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA}= \vec 0$ nên C đúng.

Theo qui tắc $3$ điểm ta có: $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow {CA}  - \overrightarrow {CO}$.

Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \vec 0$.

Ta có: $\overrightarrow {IA}  - \overrightarrow {IB}  = \overrightarrow {BA}  \ne \overrightarrow 0$ nên A sai.

Vì $\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {IA}  = \overrightarrow {BA}  \ne \vec 0$ nên A sai.

Ta có: $\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {BO}  = \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD}$.

Dựng hình bình hành $ABDC$ và gọi $M$ là trung điểm của $BC$.

Ta có: $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = AD = 2AM$

Trong tam giác đều $ABC$ có $AM$ là trung tuyến cũng là đường cao nên $AM \bot BC,MB = MC = \dfrac{a}{2}$

Ta có:

$A{M^2} + M{B^2} = A{B^2}$ $\Leftrightarrow A{M^2} + {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = {a^2}$ $\Leftrightarrow A{M^2} = {a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}$ $\Leftrightarrow A{M^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}$ $\Leftrightarrow AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Vậy $AD = 2AM = 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC$

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2}$ $= {\left( {4a} \right)^2} + {\left( {3a} \right)^2} = {\left( {5a} \right)^2}$ $\Rightarrow AC = 5a$

Vậy $\left| {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right| = 5a$

Ta có: $\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {CG}  = \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = 2\overrightarrow {GE}  = \dfrac{2}{3}\overrightarrow {AE}$ (Vì $\overrightarrow {GE}  = \dfrac{1}{3}\overrightarrow {AE}$).

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {CG} } \right| = \dfrac{2}{3}\left| {\overrightarrow {AE} } \right| = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{BC}}{3} = 4$

Ta có:

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {FA}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DE}  + \overrightarrow {EF}  + \overrightarrow {FA}  = \overrightarrow 0$

Ta có:

$\left| {\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  + \overrightarrow {CG} } \right| = \left| {\overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {CB} } \right| = \left| {2\overrightarrow {GH}  + 2\overrightarrow {HB} } \right|$

$= 2\left| {\overrightarrow {GH}  + \overrightarrow {HB} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {GB} } \right| = 2GB = 2GA = 2.\dfrac{2}{3}AH = \dfrac{4}{3} .\dfrac{a\sqrt 3}{2}= \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}$.

Dựng hình bình hành $GBDC$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$.

Tam giác $ABC$ có trung tuyến $AM$ nên $AM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.12 = 6$

$\Rightarrow GM = \dfrac{1}{3}AM = \dfrac{1}{3}.6 = 2$ $\Rightarrow GD = 2GM = 2.2 = 4$

Vậy $\left| {\overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right| = \left| {\overrightarrow {GD} } \right| = GD = 4$

Ta có: $\overrightarrow {MN}  + \overrightarrow {NP}  + \overrightarrow {PQ}  + \overrightarrow {QR}  + \overrightarrow {RN}  = \overrightarrow {MN}$.

Do $AB = AD$ và $\widehat A = {60^0}$ nên tam giác $ABD$ đều.

Do đó $\left| {\overrightarrow {OA} } \right| = OA = \sqrt {A{B^2} - B{O^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Ta có: $\overrightarrow u  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BD}  + \overrightarrow {DB}  = \overrightarrow 0$

Vì $ANPM$ là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow {MP}  + \overrightarrow {NP}  = \overrightarrow {AN}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AP}$

Ta có: $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0$.

Dựng hình bình hành $OAEB$ và gọi $M$ là giao điểm của $AB$ và $OE$.

Ta có: $\left| {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE = 2OM = a$