Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số y=2|x−1|+3|x|−2?
Đặt y=f(x)=2|x−1|+3|x|−2.
Ta có: f(2)=2|2−1|+3|2|−2=6 nên (2;6) thuộc đồ thị hàm số.
Cho hàm số y={2x−1,x∈(−∞;0)√x+1,x∈[0;2]x2−1,x∈(2;5]. Tính f(4), ta được kết quả:
Ta thấy x=4∈(2;5]⇒f(4)=42−1=15.
Tập xác định của hàm số y=x−1x2−x+3 là
x2−x+3=x2−2.12.x+14+114=(x−12)2+114>0,∀x∈R
Vậy tập xác định của hàm số là R.
Tập xác định của hàm số y={√3−x,x∈(−∞;0)√1x,x∈(0;+∞) là:
- Hàm số y=√3−x luôn xác định trên (−∞;0).
- Hàm số y=√1x xác định trên (0;+∞).
- Điểm x=0 không nằm trong tập xác định nào, do đó hàm số không xác định tại x=0.
Vậy tập xác định của hàm số là D=R∖{0}.
Hàm số y=x+1x−2m+1 xác định trên [0;1) khi:
Hàm số y=x+1x−2m+1 xác định trên [0;1) nếu:
x−2m+1≠0,∀x∈[0;1)⇔x≠2m−1,∀x∈[0;1) ⇔2m−1∉[0;1)⇔[2m−1<02m−1≥1⇔[m<12m≥1
Cho hai hàm số f(x) và g(x) cùng đồng biến trên khoảng (a;b). Có thể kết luận gì về chiều biến thiên của hàm số y=f(x)+g(x) trên khoảng (a;b)?
Vì f(x) và g(x) cùng đồng biến trên khoảng (a;b) nên với x1,x2∈(a;b) mà x1<x2 thì:
{f(x1)<f(x2)g(x1)<g(x2)⇒f(x1)+g(x1)<f(x2)+g(x2)
Do đó y=f(x)+g(x) cũng đồng biến trên (a;b).
Chọn A.
Trong các hàm số sau, hàm số nào tăng trên khoảng (−1;0)?
Lấy −1<x1<x2<0 thì x2−x1>0 ta có:
T=f(x2)−f(x1)x2−x1=x2−x1x2−x1=1>0,∀x1,x2∈(−1;0) nên đáp án A đúng.
T=f(x2)−f(x1)x2−x1=1x2−1x1x2−x1=x1−x2x1x2(x2−x1)=−1x1x2<0,∀x1,x2∈(−1;0) nên B sai.
T=f(x2)−f(x1)x2−x1=|x2|−|x1|x2−x1=−x2+x1x2−x1=−1<0,∀x1,x2∈(−1;0) nên C sai.
T=f(x2)−f(x1)x2−x1=x22−x21x2−x1=x2+x1<0,∀x1,x2∈(−1;0) nên D sai.
Cho hàm số: y=f(x)=|2x−3|. Tìm x đểf(x)=3.
Ta có: f(x)=|2x−3|=3⇔[2x−3=32x−3=−3⇔[x=3x=0
Vậy x=3 hoặc x=0.
Câu nào sau đây đúng?
+) Hàm số y=a2x+b đồng biến khi a2>0⇔a≠0 nên A, B và D sai.
+) Hàm số y=−a2x+b nghịch biến khi −a2<0⇔a≠0 nên C đúng.
Xét sự biến thiên của hàm số y=1x2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có:
T=f(x2)−f(x1)x2−x1=1x22−1x21x2−x1=x21−x22x21.x22(x2−x1)=−x1+x2x21.x22
+) Nếu x1,x2∈(−∞;0) thì T>0 nên hàm số đồng biến trên (−∞;0).
+) Nếu x1,x2∈(0;+∞) thì T<0 nên hàm số nghịch biến trên (0;+∞).
Vậy hàm số đồng biến trên (−∞;0) và nghịch biến trên (0;+∞).
Xét sự biến thiên của hàm số y=xx−1. Chọn khẳng định đúng.
Hàm số xác định trên R∖{1}=(−∞;1)∪(1;+∞).
Ta có: T=f(x2)−f(x1)x2−x1=x2x2−1−x1x1−1x2−x1=x1−x2(x2−1)(x1−1)(x2−x1)=−1(x2−1)(x1−1)
+) Nếu x1,x2∈(1;+∞) thì x1−1>0;x2−1>0⇒T<0 nên hàm số nghịch biến trên (1;+∞).
+) Nếu x1,x2∈(−∞;1) thì x1−1<0;x2−1<0⇒T<0 nên hàm số nghịch biến trên (−∞;1).
Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Cho hàm số:f(x)={xx+1,x≥01x−1,x<0. Giá trị f(0),f(2),f(−2) là
Ta thấy:
x = 0 \ge 0 nên f\left( 0 \right) = \dfrac{0}{{0 + 1}} = 0.
x = 2 \ge 0 nên f\left( 2 \right) = \dfrac{2}{{2 + 1}} = \dfrac{2}{3}.
x = - 2 < 0 \Rightarrow f\left( { - 2} \right) = \dfrac{1}{{ - 2 - 1}} = - \dfrac{1}{3}.
Hàm số y = \sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}}} có tập xác định là:
Hàm số y = \sqrt {\dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}}} xác định nếu \dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}} \ge 0.
Ta có: \left| x \right| - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right. ; x^3=0 \Leftrightarrow x=0
Xét dấu biểu thức \dfrac{{{x^3}}}{{\left| x \right| - 2}} ta có:
Khi đó tập xác định của hàm số là \left( { - 2;0} \right] \cup \left( {2; + \infty } \right).
Cho hàm số y = {x^3} - 3{x^2} + 1. Tịnh tiến đồ thị hàm số lên trên 3 đơn vị rồi qua phải 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số không đi qua điểm nào dưới đây?
Tịnh tiến đồ thị hàm số lên trên 3 đơn vị rồi qua phải 2 đơn vị ta được đồ thị hàm số:
y = {\left( {x - 2} \right)^3} - 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 + 3 hay y = {\left( {x - 2} \right)^3} - 3{\left( {x - 2} \right)^2} + 4.
Với x = 4 thì y = 0 nên A đúng.
Với x = 0 thì y = -16 nên B sai.
Với x = 2 thì y = 4 nên C đúng.
Với x = 3 thì y = 2 nên D đúng.
Cho hàm số y = m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 1\left( {m \ne 0} \right) có đồ thị \left( {{C_m}} \right). Tịnh tiến \left( {{C_m}} \right) qua trái 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số \left( {{C_m}'} \right). Giá trị của m để giao điểm của \left( {{C_m}} \right) và \left( {{C_m}'} \right) có hoành độ x = \dfrac{1}{4} thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?
Phương trình \left( {{C_m}'} \right): y = m{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 1
Phương trình hoành độ giao điểm:
\begin{array}{l}m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 1 = m{\left( {x + 1} \right)^2} - 2\left( {m - 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 1\\ \Leftrightarrow 2mx + m - 2\left( {m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2mx - m + 2 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{{m - 2}}{{2m}}\end{array}
Giao điểm có hoành độ x = \dfrac{1}{4} nên \dfrac{{m - 2}}{{2m}} = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow m = 4
Đối chiếu các đáp án ta thấy 1 < m < 5.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \left[ { - 3;3} \right] để hàm số f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right)x + m - 2 đồng biến trên \mathbb{R}.
Tập xác định {\rm{D}} = \mathbb{R}.
Hàm số đã cho đồng biến trên \mathbb{R} \Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > - 1.
Mà m \in \mathbb{Z} và m \in \left[ { - 3;3} \right] nên m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}.
Tìm tập xác định của hàm số y = \sqrt {x + 5} .
Ta có: y = \sqrt {x + 5} xác định khi và chỉ khi x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 5.
\Rightarrow TXĐ: D = \left[ { - 5; + \infty } \right)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc \left[ { - 100;100} \right] để hàm số y = \dfrac{{2x + 2}}{{{x^2} - 3x + 2m - 1}} có tập xác định là \mathbb{R}?
Để hàm số có tập xác định là \mathbb{R} thì điều kiện xác định {x^2} - 3x + 2m - 1 \ne 0\,\,\,\forall x \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2m - 1 = 0 vô nghiệm \Leftrightarrow \Delta < 0\,\,
\begin{array}{l} \Leftrightarrow 9 - 4\left( {2m - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 9 - 8m + 4 < 0\\ \Leftrightarrow 13 - 8m < 0 \Leftrightarrow m > \dfrac{{13}}{8}\end{array}
Lại có: \left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\m \in \left[ { - 100;100} \right]\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {2;\,\,3;\,\,4;...;\,\,100} \right\} \Rightarrow có 100-2+1=99 giá trị m thỏa mãn.
Cho hàm số f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left| x \right| + 1,x \ne 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2,\,\,x = 0\end{array} \right.. Chọn phát biểu đúng?
Xét hàm số: f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2\left| x \right| + 1,\,\,\,x \ne 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0\end{array} \right.
TXĐ : D = \mathbb{R} \Rightarrow đáp án C sai.
+) f\left( { - x} \right) = {\left( { - x} \right)^2} - 2\left| { - x} \right| + 1 = {x^2} - 2\left| x \right| + 1 = f\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) là hàm số chẵn \Rightarrow đáp án A sai.
+) f\left( { - 3} \right) + f\left( 3 \right) = {\left( { - 3} \right)^2} - 2\left| { - 3} \right| + 1 + {3^2} - 2\left| 3 \right| + 1 = 8 \Rightarrow Đáp án B sai.
+) Lấy {x_1};{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right), có
\begin{array}{l}\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{x_2^2 - 2\left| {{x_2}} \right| + 1 - \left( {x_1^2 - 2\left| {{x_1}} \right| + 1} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{x_2^2 - x_1^2 - 2\left| {{x_2}} \right| + 2\left| {{x_1}} \right| + 1 - 1}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = \dfrac{{x_2^2 - x_1^2 - 2{x_2} + 2{x_1}}}{{{x_2} - {x_1}}}\,\,\,\,\left( {{x_1};{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right)} \right)\\ = \dfrac{{\left( {x_2^{} - x_1^{}} \right)\left( {x_2^{} + x_1^{}} \right) - 2\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\\ = {x_2} + {x_1} - 2\end{array}
Mà {x_1};{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow {x_2} + {x_1} - 2 > 0
\Rightarrow Hàm số đồng biến trên \left( {1; + \infty } \right) \Rightarrow Đáp án D đúng.