Các khái niệm mở đầu

Véc tơ là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa hai véc tơ đối nhau:

Hai vecto đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài.

Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Véc tơ $\overrightarrow {DE}$ và $\overrightarrow {ED}$ đều có độ dài là đoạn thẳng $DE$.

Ba điểm $A$,$B$,$C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai trong các véc tơ tạo thành từ $3$ điểm đó cùng phương.

Do đó cả ba đáp án A, B, C đều đúng.

Ta có vectơ $\overrightarrow 0$ cùng hướng với mọi vectơ nên nó cùng phương với mọi véc tơ.

Hai vectơ cùng phương với 1 vectơ thứ ba khác $\mathop 0\limits^ \to$thì cùng phương.

Cho vectơ $\overrightarrow a$, có vô số vectơ $\overrightarrow u$cùng hướng và cùng độ dài với vectơ $\overrightarrow a$. Nên có vô số vectơ $\overrightarrow u$ mà $\overrightarrow u  = \overrightarrow a$.

Quan sát hình vẽ ta thấy: $\overrightarrow {MN}$  và $\overrightarrow {MP}$  là hai vectơ cùng hướng.

Ta có $ABCD$ là hình vuông. Suy ra $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|$.

Ta có tam giác đều $ABC \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC}$ không cùng hướng $\Rightarrow \overrightarrow {AB}  \ne \overrightarrow {BC}$

Do đó A sai, B đúng và C, D cũng đúng.

Bước 1: 

Ta có $3$ điểm $A$,$B$,$C$ không thẳng hàng, $M$ là điểm bất kỳ.

Trước hết ta chứng tỏ :$\overrightarrow {MA}\ne\overrightarrow {MB}$ $\forall$ $M$ bằng phương pháp chứng minh phản chứng.

Giả sử $\exists M:$$\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB}$.

Khi đó  $\overrightarrow {MA}$ và  $\overrightarrow {MB}$ cùng hướng và cùng độ dài.

Suy ra $M, A, B$ thẳng hàng, $MA = MB$ và $M$ 

=>$M$ vừa là trung điểm của $AB$

=>$\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {BM}\ne \overrightarrow {MB}$ (vô lý)

Vậy $\overrightarrow {MA}\ne\overrightarrow {MB}$ $\forall$ $M$.

Bước 2: 

Do đó đáp án A sai.

Đáp án B sai vì: $\overrightarrow {MA}\ne\overrightarrow {MB}$ $\forall$ $M$, tức là không thể tồn tại điểm $M$ thỏa mãn $\overrightarrow {MA}=\overrightarrow {MB}$ thì cũng không thể tồn tại M thỏa mãn $\overrightarrow {MA}=\overrightarrow {MB}=\overrightarrow {MC}$ 

Đáp án C đúng vì:

$\overrightarrow {MA}\ne\overrightarrow {MB}$ $\forall$ $M$ 

Tương tự ta cũng có $\overrightarrow {MA}\ne\overrightarrow {MC}$ $\forall$ $M$.

=> Mọi điểm $M$ ta đều có $\overrightarrow {MA}  \ne \overrightarrow {MB}\ne \overrightarrow {MC}$

Đáp án D sai vì 

$\overrightarrow {MA}\ne\overrightarrow {MB}$ với mọi $M$ rồi thì không thể tồn tại $M$ để $\overrightarrow {MA}=\overrightarrow {MB}$

Ta có các vectơ đó là: $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB}$.

Ta có $C$ là trung điểm của đoạn $AB$ nên $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ cùng hướng.

Ba vectơ bằng vecto $\overrightarrow {BA}$ là $\overrightarrow {OF} ,\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {CO}$.

Ta có $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

Suy ra$MN = \dfrac{1}{2}AC$ hay $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \dfrac{1}{2}\left| {\overrightarrow {AC} } \right|$

Các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow {OD}$ là: $\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {DO} ,\overrightarrow {EF} ,\overrightarrow {CB}.$ 

Đáp án A sai do hai vectơ ngược hướng.

Đáp án B đúng vì: $ABC$ đều dẫn đến $H$ là trung điểm $BC$ và $\left| {\overrightarrow {AC} } \right|{\rm{ =  }}\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {HC} } \right|$ .

Đáp án C sai vì $\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = \left| {\overrightarrow {HC} } \right|\tan {60^0} = \sqrt 3 \left| {\overrightarrow {HC} } \right|$

Đáp án D sai vì hai véc tơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương.

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên độ dài các cạnh đối bằng nhau, do đó các đáp án A, B, D đều đúng.

$\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|$ sai do $ABCD$ là hình bình hành nên hai đường chéo chưa chắc bằng nhau.

Ta có$BD$ là đường kính$\Rightarrow \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow {DO}$.

Ta có $AH \bot BC,DC \bot BC \Rightarrow AH//DC(1)$

Ta lại có$CH \bot AB,DA \bot AB \Rightarrow CH//DA(2)$

Từ $\left( 1 \right)\left( 2 \right) \Rightarrow$tứ giác $HADC$ là hình bình hành$\Rightarrow \overrightarrow {HA}  = \overrightarrow {CD} ;\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {HC}$.