Elip

Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

Vì ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ và $a,b,c > 0$ nên ta có  ${a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c$. Hiển nhiên $b < a$

Elip (E) có hai tiêu điểm là ${F_1},{F_2}$ ta có $2c = {F_1}{F_2}$ .

Vì ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ và $a,b,c > 0$ nên ta có  ${a^2} > {c^2} \Leftrightarrow a > c$. Do đó $2a > {F_1}{F_2}$

Ta có: $(E):{x^2} + 4{y^2} - 40 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{40}} + \dfrac{{{y^2}}}{{10}} = 1$. Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 2\sqrt {10} \\b = \sqrt {10} \end{array} \right.$

Chu vi hình chữ nhật cơ sở là: $2\left( {2a + 2b} \right) = 2\left( {4\sqrt {10}  + 2\sqrt {10} } \right) = 12\sqrt {10}$

Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có $b = c$

Mặt khác ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ , suy ra ${a^2} = 2{c^2}$ hay $a = \sqrt 2 c$

Tâm sai của elip là: $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{c}{{\sqrt 2 c}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

Từ phương trình elip $(E):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$ ta có $\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\\c = \sqrt {{a^2} - {b^2}}  = 4\end{array} \right.$

Suy ra ta có:

1. $(E)$ có các tiêu điểm ${F_1}( - 4;0)$ và ${F_2}(4;0)$ nên (1) sai.

2. $(E)$ có tỉ số $\dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}$ nên (2) đúng.

3. $(E)$ có đỉnh ${A_1}( - 5;0)$ nên (3) đúng.

4. $(E)$ có độ dài trục nhỏ bằng $2b = 6$ nên (4) sai.

Vậy các mệnh đề sai là (1) và (4).

Độ dài trục lớn là $12,$ suy ra $2a = 12$  hay $a = 6$

Độ dài trục nhỏ là $8,$ suy ra $2b = 8$  hay $b = 4$

Vậy elip cần tìm là $\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

Độ dài trục lớn là $12,$ suy ra $2a = 12$  hay $a = 6$

Tiêu cự là $10,$ suy ra $2c = 10$  hay $c = 5$

Mặt khác, ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$, suy ra ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 36 - 25 = 11$

Độ dài trục lớn là $20,$ suy ra $2a = 20$  hay $a = 10$

Tâm sai $e = \dfrac{3}{5}$, suy ra $\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}$  suy ra $c = 6$

Mặt khác, ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$, suy ra ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 100 - 36 = 64$

Tiêu cự elip bằng 6, suy ra $2c = 6$  hay $c = 3$

Tâm sai $e = \dfrac{3}{5}$ , suy ra $\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}$  suy ra $a = 5$

Mặt khác, ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ , suy ra ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 9 = 16$

Elip có  hai đỉnh là $A(5;0)$ và $B(0;3)$ suy ra $a = 5$ và $b = 3$. Do đó, phương trình chính tắc của elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$

Elip có tiêu điểm ${F_1}(4;0)$suy ra $c = 4$, elip có một đỉnh là  $A(5;0)$ suy ra $a = 5$

Mặt khác ta có ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 16 = 9$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$

Elip có  hai tiêu điểm là ${F_1}( - 1;0),{F_2}(1;0)$ suy ra $c = 1$

 Elip có tâm sai $e = \dfrac{1}{5}$ suy ra $\dfrac{c}{a} = \dfrac{1}{5} \Rightarrow a = 5$

Mặt khác ta có ${b^2} = {a^2} - {c^2} = 25 - 1 = 24$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{24}} = 1$

Elip có một đỉnh là $A(0; - 4)$suy ra $b = 4$.

Tâm sai  $e = \dfrac{3}{5}$ suy ra ta có $\dfrac{c}{a} = \dfrac{3}{5}$. Vì $a,c > 0$ nên ta có  $\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{9}{{25}} \Leftrightarrow 25{c^2} - 9{a^2} = 0$

Mặt khác ta có ${a^2} - {c^2} = {b^2} = 16$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 25{c^2} = 0\\{a^2} - {c^2} = 16\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{c^2} = 9\end{array} \right.$

Vậy phương trình của elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Elip có tiêu cự là $4$ suy ra $2c = 4 \Leftrightarrow c = 2$. Mặt khác ta có: ${a^2} - {b^2} = {c^2} = 4$

Vì elip qua $M\left( {1;\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}} \right)$ nên ta có $\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 4\\\dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right.$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{1}{{{b^2} + 4}} + \dfrac{4}{{5{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\dfrac{{5{b^2} + 4\left( {{b^2} + 4} \right)}}{{5{b^2}\left( {{b^2} + 4} \right)}} = 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\9{b^2} + 16 = 5{b^4} + 20{b^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\5{b^4} + 11{b^2} - 16 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = {b^2} + 4\\\left[ \begin{array}{l}{b^2} = 1\\{b^2} = \dfrac{{ - 16}}{5}\left( L \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 5\\{b^2} = 1\end{array} \right.\end{array}$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{5} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Diện tích hình chữ nhật cơ sở  bằng  $4ab$

Theo bài ra ta có $4ab = 8 \Leftrightarrow ab = 2 \Leftrightarrow {a^2}{b^2} = 4$

Elip có $e = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}$ suy ra $\dfrac{c}{a} = \dfrac{{\sqrt {12} }}{4}$. Vì $c,a > 0$ nên ta có $\dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{{12}}{{16}} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow 3{a^2} - 4{c^2} = 0$

 Mặt khác ta có: ${a^2} - {b^2} = {c^2}$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\3{a^2} - 4{c^2} = 0\\{a^2} - {b^2} = {c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - {b^2} = \dfrac{3}{4}{a^2}\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2}{b^2} = 4\\{a^2} - 4{b^2} = 0\\3{a^2} = 4{c^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\\{c^2} = 3\end{array} \right.$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$