Bài tập cuối chương VI

ĐKXĐ: ${x^3} + {x^2} - 5x - 2 \ne 0$$\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2}\\{x \ne \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2;\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 4 > 0\\x + 2 \ge 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} > 0\\x \ge  - 2\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}x \ne 2\\x \ge  - 2\end{array}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}$.

Khi $x \ge 1$ thì hàm số là $y = \dfrac{1}{x}$ luôn xác định với $x \ge 1$.

$=>$ ${D_1} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Khi $x < 1$ thì hàm số là $y = \sqrt {x + 1}$ xác định khi

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x \ge  - 1}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow  - 1 \le x < 1$

$=>$${D_2} = \left[ { - 1;1} \right)$

Do đó hàm số đã cho có tập xác định $D = \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left[ { - 1;1} \right) = \left[ { - 1; + \infty } \right)$

ĐKXĐ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - m + 2 \ge 0}\\{\sqrt {x - m + 2}  \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge m - 2}\\{x \ne m - 1}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {m - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {m - 1} \right\}$.

Hàm số xác định trên $\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right) \cup \left( {m - 1; + \infty } \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right)}\\{\left( {0;1} \right) \subset \left( {m - 1; + \infty } \right)}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m - 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m \le 1}\end{array}} \right.$

Vậy $m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\}$ là giá trị cần tìm.

Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} > {x_2}$ ta có $f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \dfrac{3}{{{x_2} - 1}} - \dfrac{3}{{{x_1} - 1}} = \dfrac{{3\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)}}$

Vì ${x_1} > 1,\,\,{x_2} > 1 \Rightarrow {x_1} - 1 > 0;{x_2} - 1 > 0$

Mà ${x_1} > {x_2}$ nên ${x_1} - {x_2} > 0$

Do đó $f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) > 0$ hay $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0$ với ${x_1} > {x_2}$nên hàm số $y = \dfrac{3}{{x - 1}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Điểm $M\left( { - 1;2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi

$2 =  - m - 2({m^2} + 1) + 2{m^2} - m \Leftrightarrow m =  - 2$

Vậy $m =  - 2$ là giá trị cần tìm.

Để $N\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua, điều kiện cần và đủ là $y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m,\,\,\forall m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{m^2}\left( {1 - {x^2}} \right) + m\left( {{x^3} - 1} \right) - 2{x^2} - y = 0,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = 0\\{x^3} - 1\\2{x^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm $N\left( {1; - 2} \right)$.

Ta tịnh tiến đồ thị hàm số $y = {x^2} + 1$ sang phải $2$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1$ rồi tịnh tiến lên trên $1$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1+1$ hay $y = {x^2} - 4x + 6$.

Vậy hàm số cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 6$.

Ta có $- 2{x^2} - 6x + 3 =  - 2{\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{2}$

Do đó tịnh tiến đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2}$ để được đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2} - 6x + 3$ ta làm như sau

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2}$ đi sang bên trái $\dfrac{3}{2}$ đơn vị và lên trên đi $\dfrac{{15}}{2}$ đơn vị.

Vì $A \in \left( P \right)$ nên $3 = 4a + 2b + c$ (1).

Mặt khác $\left( P \right)$ có đỉnh $I(1;2)$ nên $- \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0$ (2) và $I \in \left( P \right)$ suy ra $2 = a + b + c$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\2a + b = 0\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 3\end{array} \right.$

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - 2x + 3$.

Ta có $c = 2$ và $\left( P \right)$ đi qua $B\left( {3; - 4} \right)$ nên $- 4 = 9a + 3b + 2 \Leftrightarrow 3a + b =  - 2$ (*)

$\left( P \right)$ có trục đối xứng là $x =  - \dfrac{3}{2}$ nên $- \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow b = 3a$ thay vào (*) ta được $3a + 3a =  - 2 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow b =  - 1$ .

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y =  - \dfrac{1}{3}{x^2} - x + 2$.

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{3}{4}$ khi $x = \dfrac{1}{2}$ nên ta có

$- \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0$ (5)

$\dfrac{3}{4} = a{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + c$ $\Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3$ (6) và $a > 0$

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ nhận giá trị bằng $1$ khi $x = 1$ nên $a + b + c = 1$(7)

Từ (5), (6) và (7) ta có $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - x + 1$.

Parabol cắt $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $2$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$

Ta có: $0 = a{.2^2} + 3.2 - 2 \Leftrightarrow a =  - 1$

Vậy parabol $y =  - {x^2} + 3x - 2$

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} = 3,\,\, - \dfrac{\Delta }{{4a}} =  - 1$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y = {x^2} - 6x + 8$ có đỉnh là $I\left( {3; - 1} \right)$, đi qua các điểm $A\left( {2;0} \right),\,\,B\left( {4;0} \right)$

Nhận đường thẳng $x = 3$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

Đường thẳng $y = m\left( { - 1 < m < 0} \right)$ song song với trục hoành nên ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại $2$ điểm phân biệt.

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} =  - 1,\,\, - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 4$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y =  - {x^2} - 2x + 3$ có đỉnh là $I\left( { - 1;4} \right)$, đi qua các điểm $A\left( {1;0} \right),\,\,B\left( { - 3;0} \right)$

Nhận đường thẳng $x =  - 1$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Trên đoạn $\left[ { - 3;1} \right]$thì hàm số đạt GTNN $y = 0$

Ta có $\Delta ' = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) = 6m + 12$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 6m + 12 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 2$

Theo định lý Viét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 3} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 3}\end{array}} \right.$

$P =  - 10\left( {m + 3} \right) - 2\left( {{m^2} - 3} \right) =  - 2{m^2} - 10m - 24$

Xét hàm số $y =  - 2{x^2} - 10x - 24$ với $x \in \left[ { - 2; + \infty } \right)$

Bảng biến thiên

Suy ra $\mathop {max}\limits_{\left[ { - 2; + \infty } \right)} y =  - 12$ khi và chỉ khi $x =  - 2$

Vậy $m =  - 2$ là giá trị cần tìm.

ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5 \ge 0}\\{x - 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - \dfrac{5}{4}}\\{x \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left[ {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} \ne {x_2}$ ta có

$\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {{x_2} - 1}  - \sqrt {4{x_1} + 5}  - \sqrt {{x_1} - 1} \\ = \dfrac{{4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}\\ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}} \right)\end{array}$

Suy ra $\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }} > 0$

Nên hàm số $y = \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}$ đồng biến trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Vì hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {1; + \infty } \right)$ nên

Nếu $x > 1 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  > 3$

Suy ra phương trình $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = 3$ vô nghiệm

Nếu $x < 1 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 1 \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  < 3$

Suy ra phương trình $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = 3$ vô nghiệm

Với $x = 1$ dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$.

ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5 \ge 0}\\{x - 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - \dfrac{5}{4}}\\{x \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left[ {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} \ne {x_2}$ ta có

$\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {{x_2} - 1}  - \sqrt {4{x_1} + 5}  - \sqrt {{x_1} - 1} \\ = \dfrac{{4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}\\ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}} \right)\end{array}$

Suy ra $\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }} > 0$

Nên hàm số $y = \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}$ đồng biến trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Xét phương trình đã cho:

Đặt ${x^2} + 1 = t,\,\,t \ge 1 \Rightarrow {x^2} = t - 1$  phương trình trở thành

$\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}  \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( t \right)$

Nếu $x > t \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( t \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}$

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu $x < t \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( t \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  < \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}$

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy $f\left( x \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow x = t$ hay ${x^2} + 1 = x \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Gọi $M,N$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$. $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow N\left( { - {x_0}; - {y_0}} \right)$

Vì $M,{\rm{ }}N$ thuộc đồ thị hàm số nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} =  - x_0^3 + x_0^2 + 3{x_0} - 4}\\{ - {y_0} = x_0^3 + x_0^2 - 3{x_0} - 4}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} =  - x_0^3 + x_0^2 + 3{x_0} - 4}\\{2x_0^2 - 8 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} =  - x_0^3 + x_0^2 + 3{x_0} - 4}\\{{x_0} =  \pm 2}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 2}\\{{y_0} =  - 2}\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} =  - 2}\\{{y_0} = 2}\end{array}} \right.$

Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là $\left( {2; - 2} \right)$ và $\left( { - 2;2} \right)$.

Vì $\left( P \right)$ đi qua $M(4;3)$ nên $3 = 16a + 4b + c$ (1)

Mặt khác $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $N(3;0)$ suy ra $0 = 9a + 3b + c$ (2), $\left( P \right)$ cắt $Ox$ tại $P$ nên $P\left( {t;0} \right),\,\,t < 3$

Theo định lý Viét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 3 =  - \dfrac{b}{a}}\\{3t = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.$

Ta có ${S_{\Delta IPN}} = \dfrac{1}{2}IH.NP$ với $H$ là hình chiếu của $I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)$ lên $PN$ hay trục hoành

Do $IH = \left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|$, $NP = 3 - t$ nên ${S_{\Delta INP}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|.\left( {3 - t} \right) = 1$

$\Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \dfrac{c}{a}} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\dfrac{{\left( {t + 3} \right)}}{4}}^2} - 3t} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{8}{{\left| a \right|}}$ (3)

Từ (1) và (2) ta có $7a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7a$ suy ra $t + 3 =  - \dfrac{{3 - 7a}}{a} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{{4 - t}}{3}>0$ do $t<3$

Thay vào (3) ta có ${\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{{8\left( {4 - t} \right)}}{3} \Leftrightarrow 3{t^3} - 27{t^2} + 73t - 49 = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Suy ra $a = 1 \Rightarrow b =  - 4 \Rightarrow c = 3$.

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 3$.