Xác định parabol \(\left( P \right)\): \(y = a{x^2} + bx + c\), \(a \ne 0\) đỉnh \(I\) biết \(\left( P \right)\) đi qua \(M(4;3)\) cắt \(Ox\) tại \(N(3;0)\) và \(P\)  sao cho \(\Delta INP\) có diện tích bằng $1$, biết hoành độ điểm \(P\) nhỏ hơn \(3\).

Vì \(\left( P \right)\) đi qua \(M(4;3)\) nên \(3 = 16a + 4b + c\) (1)

Mặt khác \(\left( P \right)\) cắt \(Ox\) tại \(N(3;0)\) suy ra \(0 = 9a + 3b + c\) (2), \(\left( P \right)\) cắt \(Ox\) tại \(P\) nên \(P\left( {t;0} \right),\,\,t < 3\)

Theo định lý Viét ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t + 3 =  - \dfrac{b}{a}}\\{3t = \dfrac{c}{a}}\end{array}} \right.\)

Ta có \({S_{\Delta IPN}} = \dfrac{1}{2}IH.NP\) với \(H\) là hình chiếu của \(I\left( { - \dfrac{b}{{2a}}; - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right)\) lên $PN$ hay trục hoành

Do \(IH = \left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|\), \(NP = 3 - t\) nên \({S_{\Delta INP}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left| { - \dfrac{\Delta }{{4a}}} \right|.\left( {3 - t} \right) = 1\)

\( \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\left( {\dfrac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \dfrac{c}{a}} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow \left( {3 - t} \right)\left| {{{\dfrac{{\left( {t + 3} \right)}}{4}}^2} - 3t} \right| = \left| {\dfrac{2}{a}} \right| \Leftrightarrow {\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{8}{{\left| a \right|}}\) (3)

Từ (1) và (2) ta có \(7a + b = 3 \Leftrightarrow b = 3 - 7a\) suy ra \(t + 3 =  - \dfrac{{3 - 7a}}{a} \Leftrightarrow \dfrac{1}{a} = \dfrac{{4 - t}}{3}>0\) do $t<3$

Thay vào (3) ta có \({\left( {3 - t} \right)^3} = \dfrac{{8\left( {4 - t} \right)}}{3} \Leftrightarrow 3{t^3} - 27{t^2} + 73t - 49 = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Suy ra $a = 1 \Rightarrow b =  - 4 \Rightarrow c = 3$.

Vậy \(\left( P \right)\) cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 3$.