Xét sự biến thiên của hàm số \(y = \sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} \) trên tập xác định của nó. Áp dụng tìm số nghiệm của phương trình \(\sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} = 3\)
Trả lời bởi giáo viên
ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5 \ge 0}\\{x - 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge - \dfrac{5}{4}}\\{x \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 1\)
Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \left[ {1; + \infty } \right)$
Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left[ {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} \ne {x_2}$ ta có
\(\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \sqrt {4{x_2} + 5} + \sqrt {{x_2} - 1} - \sqrt {4{x_1} + 5} - \sqrt {{x_1} - 1} \\ = \dfrac{{4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\sqrt {4{x_2} + 5} + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 1} + \sqrt {{x_1} - 1} }}\\ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5} + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1} + \sqrt {{x_1} - 1} }}} \right)\end{array}\)
Suy ra \(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5} + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1} + \sqrt {{x_1} - 1} }} > 0\)
Nên hàm số \(y = \sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} \) đồng biến trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.
Vì hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {1; + \infty } \right)$ nên
Nếu \(x > 1 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right)\) hay \(\sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} > 3\)
Suy ra phương trình \(\sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} = 3\) vô nghiệm
Nếu $x < 1 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 1 \right)$ hay \(\sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} < 3\)
Suy ra phương trình \(\sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} = 3\) vô nghiệm
Với \(x = 1\) dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$.
Hướng dẫn giải:
- Lấy ${x_1},\,{x_2} \in \left[ {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} \ne {x_2}$, xét dấu tỉ số \(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}}\) và suy ra tính đồng biến nghịch biến của hàm số trên TXĐ.
- Chỉ ra một giá trị của \(x\) làm cho hai vế của phương trình bằng nhau, từ đó kết luận số nghiệm.