Tích vô hướng của hai vectơ

Vì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ \(\overrightarrow 0 \) suy ra \(\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = {0^0}\)

Do đó \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos {0^{\rm{o}}} = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\) nên chọn A.

Ta có \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 2} \right),\,\,\overrightarrow b  = \left( { - 2; - 6} \right)\), suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \dfrac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt 5 .\sqrt {40} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = {\rm{4}}{{\rm{5}}^{\rm{o}}}\)

Phương án A:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB} $ ngược hướng suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {AB}  = MA.AB.\cos {180^{\rm{o}}} =  - MA.AB$ nên loại A.

Phương án B:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} $ ngược hướng suy ra  $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = MA.MB.\cos {180^{\rm{o}}} =  - MA.MB$ nên loại B.

Phương án C: $\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} $ cùng hướng suy ra $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AB}  = AM.AB.\cos {0^{\rm{o}}} = AM.AB$ nên loại C.

Phương án D:$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {MB} $ ngược hướng suy ra $\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MB}  = MA.MB.\;\cos {180^{\rm{o}}} =  - MA.MB$ nên chọn D.

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {AC}  = \left( {4;2} \right)\).

Suy ra \(\cos \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{AB.AC}} = \dfrac{{10}}{{\sqrt {10} .\sqrt {20} }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right) = {45^{\rm{o}}}\).

Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \) \(\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) =  - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \) \(\Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) =  - 1\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) ngược  hướng.

Ta có $A\left( { - 3,2} \right),{\rm{ }}B\left( {4,3} \right)$, gọi $M\left( {x;0} \right),x > 0$.

Khi đó $\overrightarrow {AM}  = \left( {x + 3; - 2} \right)$, $\overrightarrow {BM}  = \left( {x - 4; - 3} \right)$.

Theo YCBT $\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {BM}  = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\;\left( l \right)\\x = 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {3;0} \right)$.

Ta có:

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = \left( {\overrightarrow {AH}  + \overrightarrow {HB} } \right).\overrightarrow {BC} \)\( = \overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC} \) \( = \overrightarrow {HB} .\overrightarrow {BC}  = HB.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) \( = \dfrac{2}{3}BC.BC.\cos \left( {\overrightarrow {HB} ,\overrightarrow {BC} } \right)\) \( = \dfrac{2}{3}.6.6.\cos {180^0} =  - 24\)

Ta đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phải.

Phương án  A:\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC\cos {60^{\rm{o}}} = 2 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BC} \) nên loại A.

Phương án B:\(\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA}  = BC.AC\cos {120^{\rm{o}}} =  - 2\) nên loại B.

Phương án C:\(\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = 4\) nên chọn C.

Phương án D: $\left( {\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( { - \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {CA} - \overrightarrow {CB} } \right).\overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BA} = B{A^2} = 4$ nên loại D.

Ta có \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA}  = BA.CA.\cos {120^{\rm{o}}} =  - \dfrac{1}{2}{a^2}\).

Phương án  A:\(\overrightarrow {OA}  \bot \overrightarrow {OB} \) suy ra \(\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0\) nên loại A.

Phương án  B: $\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} .\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} } \right) = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {AC} $ nên loại B.

Phương án  C:  \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos {45^{\rm{o}}} \) \(= AB.AB\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = A{B^2}\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = AB.DC.\cos {180^0} =  - A{B^2}\)\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  \ne \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} \) nên chọn C.

Phương án  A: Do \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {CB}  = DA.CB.\cos {0^0} = {a^2}\) nên loại A đúng, loại A.

Phương án  B: Do \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = AB.CD.\cos {180^{\rm{o}}} =  - {a^2}\) nên B đúng, loại B.

Phương án C: \(\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right).\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AC}  = A{C^2} = {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 2{a^2}\) nên C sai, chọn C.

Phương án D: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CD}  = 0\) đúng vì \(AB \bot AD,CB \bot CD\)

Phương án  A:\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {DC}  = AB.DC.\cos {0^{\rm{o}}} = 8{a^2}\)nên loại A.

Phương án  B:\(\overrightarrow {AD}  \bot \overrightarrow {CD} \) suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {CD}  = 0\) nên loại B.

Phương án  C:\(\overrightarrow {AD}  \bot \overrightarrow {AB} \) suy ra \(\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB}  = 0\)nên loại C.

Phương án  D:\(\overrightarrow {DA} \) không vuông góc với \(\overrightarrow {DB} \)suy ra \(\overrightarrow {DA} .\overrightarrow {DB}  \ne 0\) nên chọn D .

Ta có:

\(\left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB} } \right).\overrightarrow {ID}  \) \(= \left( {\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {ID}  =\) \( 2\overrightarrow {IA} .\overrightarrow {ID}  \) \(=  - \dfrac{{9{a^2}}}{2}\) 

(do \(AB \bot ID\) nên \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {ID}  = 0\))

Nên chọn B.

Phương án  A:$\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BH}  \Rightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BH} $ nên đẳng thức ở phương án A là đúng.

Phương án  B:\(\overrightarrow {CA}  = 4\overrightarrow {CI}  \Rightarrow \overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CA}  = 4\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CI} \) nên đẳng thức ở phương án B là đúng.

Phương án  C:

\(\left. \begin{array}{l}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BC}  = {a^2}\\2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}  = 2.a.a.\dfrac{1}{2} = {a^2}\end{array} \right\} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right).\overrightarrow {BC}  = 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} \)nên đẳng thức ở phương án C là đúng.

Vậy chọn D.

Phương án  A:do \(\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right).\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BC}  =  - \dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} = 0\) nên loại A

Phương án  B:do \(\overrightarrow {CB} .\overrightarrow {CK}  = CB.CK.\cos {60^{\rm{o}}} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\) nên loại B và loại D.

Phương án  C: Do \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = AB.AC.\cos {60^{\rm{o}}} = \dfrac{{{a^2}}}{2}\) nên chọn C.

Vì \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) = {180^{\rm{o}}} - \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {135^{\rm{o}}} \Rightarrow {\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CA} } \right) =\cos 135^o=  - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có \(\overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = a.a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}\).

$\overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  $ $\Leftrightarrow \overrightarrow {CM} .\overrightarrow {CB}  - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB}  = 0 $ $\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {CM}  - \overrightarrow {CA} } \right).\overrightarrow {CB}  = 0 $ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow {CB}  = 0$

Tập hợp điểm \(M\) là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(BC\).

Ta có \(\overrightarrow a  = \left( {1;3} \right),\overrightarrow b  = \left( { - 2;1} \right)\), suy ra \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 1.\left( { - 2} \right) + 3.1 = 1\).