Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Vì \(\overrightarrow a  = m\overrightarrow i  + n\overrightarrow j \) nên \(\overrightarrow a  = \left( {m;n} \right)\).

Ta có: $\overrightarrow u \, = \overrightarrow v  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = {v_1}\\{u_2} = {v_2}\end{array} \right.$.

\(\overrightarrow u  = \left( { - 1;0} \right) \Rightarrow \overrightarrow u  = \left( { - 1} \right).\overrightarrow i  + 0.\overrightarrow j  =  - \overrightarrow i \)

Vì \(M\left( { - 3;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {OM}  = \left( { - 3;1} \right)\)

Vì \(M\left( {2; - 4} \right)\) nên \(\overrightarrow {OM}  = 2\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j \).

Ta có: $\overrightarrow u  = \left( {2; - 1} \right) =  - \left( { - 2;1} \right) =  - \overrightarrow v \,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\overrightarrow u $ và $\overrightarrow v $ đối nhau.

Ta có: $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\end{array} \right.$

Vậy $I\left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow a  = \dfrac{5}{4}\overrightarrow b $ suy ra $\overrightarrow a $ cùng hướng với $\overrightarrow b $.

Ta có:

Trung điểm của đoạn thẳng $AB$ là: $I = \left( {\dfrac{{{x_A} + {x_B}}}{2};\dfrac{{{y_A} + {y_B}}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{{1 + 0}}{2};\dfrac{{0 + ( - 2)}}{2}} \right) = \left( {\dfrac{1}{2}; - 1} \right)$

Ta có: $\overrightarrow c  = 2\overrightarrow a  + 3\overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2x + 3.\left( { - 5} \right)\\7 = 2.2 + 3.1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 15$.

Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_G} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right.$

Ta có: \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b  - 4\overrightarrow c  = \left( {3.0 + 2.( - 1) - 4.( - 3);3.1 + 2.2 - 4.( - 2)} \right) = \left( {10;15} \right)\).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_O} = \dfrac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3}\\{y_O} = \dfrac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{ - 2 + 3 + {x_C}}}{3}\\0 = \dfrac{{2 + 5 + {y_C}}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} =  - 1\\{y_C} =  - 7\end{array} \right.$

Ta có: \(M\left( {2;0} \right)\) là trung điểm \(BC\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}2 = \dfrac{{{x_B} + ( - 2)}}{2}\\0 = \dfrac{{{y_B} + ( - 4)}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 6\\{y_B} = 4\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {6;4} \right)\)

\(G\left( {0;4} \right)\)là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên $\left\{ \begin{array}{l}0 = \dfrac{{{x_A} + 6 + ( - 2)}}{3}\\4 = \dfrac{{{y_A} + 4 + ( - 4)}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} =  - 4\\{y_A} = 12\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 4;12} \right)$

Ta có: $\overrightarrow a  = 3\overrightarrow i  - 4\overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow a \left( {3; - 4} \right)$ $ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}}  = 5$ nên A đúng.

$\overrightarrow b  = \overrightarrow i  - \overrightarrow j  \Rightarrow \overrightarrow b \left( {1; - 1} \right) $ $\Rightarrow \left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  = \sqrt 2 $ nên D đúng, B sai.

Ngoài ra $\overrightarrow a  - \overrightarrow b  = \left( {2; - 3} \right)$ nên C đúng.

Ta có: $E$ đối xứng với $C$ qua $B \Leftrightarrow B$ là trung điểm đoạn thẳng $EC$

Do đó, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}5 = \dfrac{{{x_E} + 3}}{2}\\ - 4 = \dfrac{{{y_E} + 7}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} = 7\\{y_E} =  - 15\end{array} \right. \Rightarrow E\left( {7; - 15} \right)$

Ta có: $M$ trên trục $Oy \Rightarrow M\left( {0;y} \right)$

Ba điểm $A,B,M$ thẳng hàng khi $\overrightarrow {AB} $ cùng phương với $\overrightarrow {AM} $

Ta có $\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3;4} \right),\,\,\overrightarrow {AM}  = \left( { - 1;y - 2} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow {AB} $ cùng phương với $\overrightarrow {AM}  \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 2}}{4} \Rightarrow y = \dfrac{{10}}{3}$.

Vậy $M\left( {0;\dfrac{{10}}{3}} \right)$

Ta có:

$B'$ đối xứng với $B\left( { - 2;7} \right)$ qua trục $Ox \Rightarrow B'\left( { - 2; - 7} \right)$.

$B''$ đối xứng với $B\left( { - 2;7} \right)$ qua trục $Oy \Rightarrow B''\left( {2;7} \right)$.

$B'''$ đối xứng với $B\left( { - 2;7} \right)$ qua gốc tọa độ $O \Rightarrow B'''\left( {2; - 7} \right)$.

Gọi \(M\) là tọa độ trung điểm của cạnh \(AD\)\( \Rightarrow M\left( {1;2} \right)\)

Gọi \(N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\) là tọa độ trung điểm của cạnh \(BC.\)

Do \(I\) là tâm của hình chữ nhật \( \Rightarrow I\) là trung điểm của \(MN\).

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_M} =  - 3\\{y_N} = 2{y_I} - {y_M} =  - 2\end{array} \right.\) \( \Rightarrow N\left( { - 3; - 2} \right)\)

Ta có: \(A \in Ox,B \in Oy \Rightarrow A\left( {x;0} \right),B\left( {0;y} \right)\)

\(A\) là trung điểm $KB \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + 0}}{2}\\0 = \dfrac{{ - 3 + y}}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = 3\end{array} \right.$.Vậy \(B\left( {0;3} \right)\).