Nhị thức Newton

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {x - \dfrac{1}{x}} \right)^{13}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{13} {C_{13}^k} .{x^{13\, - \,k}}.{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)^k}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{13} {C_{13}^k} .{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{13\, - \,k}}.{x^{ - \,k}}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^{13} {C_{13}^k} .{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{13\, - \,2k}}.$

Hệ số của số hạng ${x^7}$ ứng với $13-2k=7\Leftrightarrow k=3\,\,\xrightarrow{{}}$ Số hạng cần tìm là $- \,C_{13}^3\,{x^7}.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {x{y^2} - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^8}$ $= \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} .{\left( {x{y^2}} \right)^{8 - k}}.{\left( { - \dfrac{1}{{xy}}} \right)^k}$ $= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{x^{8 - k}}.{y^{16 - 2k}}.{\left( { - 1} \right)^k}.{\left( {xy} \right)^{ - k}}$ $= \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k} .{\left( { - 1} \right)^k}.{x^{8 - 2k}}.{y^{16 - 3k}}.$

Số hạng không chứa $x$ ứng với $8-2k=0\Leftrightarrow k=4\,\,\xrightarrow{{}}\,\,$Số hạng cần tìm là $C_8^4.{\left( { - \,1} \right)^4}.{y^4} = 70{y^4}.$

Xét khai triển

${\left( {x - 1} \right)^n} = C_n^0{\left( { - 1} \right)^0}{x^n} + C_n^1{\left( { - 1} \right)^1}{x^{n - 1}}$$+ ... + C_n^n{\left( { - 1} \right)^n}{x^0}$

Thay x = 3 ta có: ${\left( {3 - 1} \right)^n}$$= {3^n}C_n^0 - {3^{n - 1}}C_n^1 + {3^{n - 2}}C_n^2 - ... + {\left( { - 1} \right)^n}C_n^n$$= 2048 \Leftrightarrow {2^n} = 2048 \Leftrightarrow n = 11.$

$\Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{2^{11 - k}}}$$\,\left( {0 \le k \le n,k \in N} \right)$

Hệ số của số hạng chứa ${x^{10}} \Leftrightarrow k = 10.$

Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^{10}}$ là: $C_{11}^{10}2 = 22.$

Điều kiện: $n \ge 2.$ Ta có $3C_{n\, + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2 \Leftrightarrow 3.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!.2!}} + 2n = 4.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}n\left( {n + 1} \right) + 2n = 4n\left( {n - 1} \right)$

$\Leftrightarrow 3\left( {n + 1} \right) + 4 = 8\left( {n - 1} \right) \Leftrightarrow 3n + 3 + 4 = 8n - 8 \Leftrightarrow 5n = 15 \Leftrightarrow n = 3.$

Với $n = 3,$ theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {\dfrac{1}{x} + {x^3}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{\left( {\dfrac{1}{x}} \right)^{10\, - \,k}}.{\left( {{x^3}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .\dfrac{{{x^{3k}}}}{{{x^{10\, - \,k}}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{10} {C_{10}^k} .{x^{4k\, - \,10}}.$

Hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ ứng với $4k-10=6\Leftrightarrow k=4\,\,\xrightarrow{{}}$ Hệ số cần tìm là $C_{10}^4 = 210.$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^{2018}} = C_{2018}^0{a^{2018}} + C_{2018}^1{a^{2017}}b + C_{2018}^2{a^{2016}}{b^2} + ... + C_{2018}^{2017}a{b^{2017}} + C_{2018}^{2018}{b^{2018}}$

Thay $a = 1,b = 2$ ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {1 + 2} \right)^{2018}} = C_{2018}^0{.1^{2018}} + C_{2018}^1{.1^{2017}}.2 + C_{2018}^2{.1^{2016}}{.2^2} + ... + C_{2018}^{2017}{.1.2^{2017}} + C_{2018}^{2018}{.2^{2018}}\\ \Leftrightarrow {3^{2018}} = C_{2018}^0 + 2C_{2018}^1 + {2^2}C_{2018}^2 + ... + {2^{2017}}C_{2018}^{2017} + {2^{2018}}C_{2018}^{2018}\end{array}$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Thay $a = 5,b =  - 2$ ta có:

$\begin{array}{l}{\left( {5 - 2} \right)^n} = C_n^0{5^n} + C_n^1{5^{n - 1}}\left( { - 2} \right) + C_n^2{5^{n - 2}}{\left( { - 2} \right)^2} + ... + C_n^{n - 1}5{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} + C_n^n{\left( { - 2} \right)^n}\\ \Leftrightarrow {3^n} = {5^n}C_n^0 - {5^{n - 1}}.2.C_n^1 + {5^{n - 2}}{.2^2}C_n^2 + ... + 5{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {\left( { - 2} \right)^n}C_n^n\end{array}$

Áp dụng tính chất $C_n^k = C_n^{n - k}$ ta có:

$S = C_{2017}^{1009} + C_{2017}^{1010} + C_{2017}^{1011} + C_{2017}^{1012}... + C_{2017}^{2017} = C_{2017}^{1008} + C_{2017}^{1007} + C_{2017}^{1006} + C_{2017}^{1005}... + C_{2017}^0$

Suy ra $2S = C_{2017}^0 + ... + C_{2017}^{1005} + C_{2017}^{1006} + C_{2017}^{1007} + C_{2017}^{1008} + C_{2017}^{1009} + C_{2017}^{1010} + C_{2017}^{1011} + C_{2017}^{1012}... + C_{2017}^{2017}$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^{2017}} = C_{2017}^0{a^{2017}} + C_{2017}^1{a^{2016}}b + C_{2017}^2{a^{2015}}{b^2} + ... + C_{2017}^{2016}a{b^{2016}} + C_{2017}^{2017}{b^{2017}}$

Thay $a = 1,b = 1$ ta có:

$\begin{array}{l}{2^{2017}} = C_{2017}^0 + C_{2017}^1 + C_{2017}^2 + ... + C_{2017}^{2016} + C_{2017}^{2017}\\ \Leftrightarrow {2^{2017}} = 2S \Leftrightarrow S = {2^{2016}}\end{array}$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^n} = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}$

Thay $a = 1,b = 2$ ta có:

${3^n} = C_n^0 + 2C_n^1 + {2^2}C_n^2 + {2^3}C_n^3 + ... + {2^{n - 2}}C_n^{n - 2} + {2^{n - 1}}C_n^{n - 1} + {2^n}C_n^n$

Kết hợp với giả thiết ta có: ${3^n} = 243 \Leftrightarrow {3^n} = {3^5} \Leftrightarrow n = 5$

Điều kiện: $n \ge 2$

Từ giả thiết, ta có

$6.C_{n\, + \,1}^{n\, - \,1} = A_n^2 + 160$ $\Leftrightarrow 6.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!.2!}} = \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 160.$

$\Leftrightarrow 3n\left( {n + 1} \right) = n\left( {n - 1} \right) + 160$ $\Leftrightarrow 2{n^2} + 4n - 160 = 0 \Leftrightarrow n = 8$ (vì điều kiện $n \ge 2$).

Khi đó, ta được khai triển $\left( {1 - 2{x^3}} \right){\left( {2 + x} \right)^8} = {\left( {2 + x} \right)^8} - 2{x^3}{\left( {2 + x} \right)^8}.$

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

${\left( {2 + x} \right)^8} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^k}.$

Suy ra hệ số của ${x^7}$ ứng với $k = 7.$

$\,\xrightarrow{{}}$ Hệ số của ${x^7}$ trong khai triển ${\left( {2 + x} \right)^8}$  là $2.C_8^7.$

${x^3}{\left( {2 + x} \right)^8} = {x^3}.\sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^{k\, + \,3}}.$

Suy ra hệ số của ${x^7}$ ứng với $k + 3 = 7 \Leftrightarrow k = 4.$

$\xrightarrow{{}}$ Hệ số của ${x^7}$ trong khai triển ${x^3}{\left( {2 + x} \right)^8}$ là ${2^4}.C_8^4.$

Vậy hệ số cần tìm là $2.C_8^7 - {2.2^4}.C_8^4 =  - \,2224.$

Ta có:  $kC_n^k = k.\dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \dfrac{{n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left[ {n - 1 - \left( {k - 1} \right)} \right]!}} = n.C_{n - 1}^{k - 1}\,\,\,\left( * \right)$

Áp dụng tính chất (*) ta có: $kC_n^k = nC_{n - 1}^{k - 1}$ với $1 \le k \le n$

Khi đó: $S = nC_{n - 1}^0 + nC_{n - 1}^1 + ... + nC_{n - 1}^{n - 1} = n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right)$

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^{n - 1}} = C_{n - 1}^0{a^{n - 1}} + C_{n - 1}^1{a^{n - 2}}b + C_{n - 1}^2{a^{n - 3}}{b^2} + ... + C_{n - 1}^{n - 2}a{b^{n - 2}} + C_{n - 1}^{n - 1}{b^{n - 1}}$

Thay $a = 1,b = 1$ ta có: $C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 + ... + C_{n - 1}^{n - 1} = {(1 + 1)^{n - 1}} = {2^{n - 1}}$

Vậy $S = n\left( {C_{n - 1}^0 + C_{n - 1}^1 + C_{n - 1}^2 + ... + C_{n - 1}^{n - 1}} \right) = n{.2^{n - 1}}$

Thay $x = y = 1$  có ${\left( {1 - 2.1} \right)^{2020}} = {\left( { - 1} \right)^{2020}} = 1$.

Vậy tổng các hệ số của tất cả các số hạng trong khai triển nhị thức ${\left( {x - 2y} \right)^{2020}}$ bằng 1.

Khai triển nhị thức ${\left( {x + 2} \right)^{n + 5}}\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)$ có tất cả $2019$ số hạng nên $n + 5 +1= 2019 \Leftrightarrow n = 2013$.

Xét: ${\left( {1 + 2x} \right)^n} = {a_0} + {a_1}{x^1} + ... + {a_n}{x^n}.$

Thay $x = \dfrac{1}{2}$ vào 2 vế $\Rightarrow {\left( {1 + 2.\dfrac{1}{2}} \right)^n} = {a_0} + {a_1}\dfrac{1}{2} + ... + {a_n}\dfrac{1}{{{2^n}}}$

$\Leftrightarrow {2^n} = 4096 \Leftrightarrow {2^n} = {2^{12}}$$\Leftrightarrow n = 12$

$\Rightarrow$ Biểu thức là: ${\left( {1 + 2x} \right)^{12}}$

+ Số hạng tổng quát của khai triển là: ${T_{k + 1}} = C_{12}^k{.2^k}.{x^k}$

$+ )$Hệ số lớn nhất $\Leftrightarrow y = C_{12}^k{.2^k}$ max $\left( {0 \le k \le 12} \right)$

Mà hệ số max $\Rightarrow {k_{\max }}$$\Rightarrow$ Muốn $k$ max thì k phải lớn hơn cả số hạng đứng trước nó là (k-1) và lớn hơn cả số hạng đứng sau nó là (k+1)

$\Rightarrow$ Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}C_{12}^{k - 1}{.2^{k - 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(1)\\C_{12}^{k + 1}{.2^{k + 1}} < C_{12}^k{.2^k}\,\,(2)\end{array} \right.$

+ (1) $\Leftrightarrow$$\dfrac{{12!}}{{\left( {k - 1} \right)!\,\,(12 - k + 1)!}}.\dfrac{{{2^k}}}{2} < \dfrac{{12!}}{{k!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}{.2^k}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{(k - 1)!\,\,\left( {13 - k} \right)\left( {12 - k} \right)!}}.\dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{{k\left( {k - 1} \right)!\,\,\left( {12 - k} \right)!}}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{2.\left( {13 - k} \right)}} < \dfrac{1}{k} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}$

+ (2) ta làm tương tự như trên$\Rightarrow \dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$$\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{13 - k}} < \dfrac{2}{k}\\\dfrac{2}{{k + 1}} < \dfrac{1}{{12 - k}}\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < \dfrac{{26}}{3}\\k > \dfrac{{23}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 8,6\\k > 7,6\end{array} \right.$(Mà k là số nguyên)$\Rightarrow k = 8$

$\Rightarrow$Hệ số lớn nhất trong khai triển biểu thức là: $y\left( 8 \right) =$$C_{12}^8{.2^8} = 126720$

$+ )$$C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = 1024$

$\Leftrightarrow 2\left[ {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right] = 2.1024$

$\Leftrightarrow \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) + \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) = 2.1024$(*)

Vì $C_n^k = C_n^{n - k}$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}C_{2n + 1}^0 = C_{2n + 1}^{2n + 1}\\C_{2n + 1}^1 = C_{2n + 1}^{2n}\\....\end{array} \right.$$\Rightarrow$$C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n} = C_{2n + 1}^{2n + 1} + ... + C_{2n + 1}^1$

(Nói cách khác: Tổng các C có chỉ số chẵn = Tổng các C có chỉ số lẻ)

(*) $\Rightarrow$$\left( {C_{2n + 1}^{2n + 1} + ... + C_{2n + 1}^1} \right) + \left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^4 + ... + C_{2n + 1}^{2n}} \right) = 2.1024$

$\Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3 + ... + C_{2n + 1}^{2n} + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 2048$

$\Leftrightarrow {\left( {1 + 1} \right)^{2n + 1}} = 2048$$\Leftrightarrow {2^{2n + 1}} = 2048$$\Leftrightarrow 2n + 1 = 11$$\Leftrightarrow n = 5$

$+ )$Số hạng tổng quát của khai triển: ${\left( {2 - 3x} \right)^{10}}$là: ${T_{k + 1}} = C_{10}^k{.2^{10 - k}}.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}$

Số hạng chứa ${x^5}$$\Rightarrow {x^5} = {x^k}$$\Leftrightarrow k = 5$

$\Rightarrow$ Hệ số của số hạng chứa${x^5}$là: $C_{10}^5{.2^5}.{\left( { - 3} \right)^5} =  - 1959552$

${\left( {x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^{3n}} = C_{3n}^k.{{\rm{x}}^{3n - k}}.{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k} = C_{3n}^k.{{\rm{x}}^{3n - 3k}} = C_{3n}^0.{x^{3n}} + ... + C_{3n}^{3n}.{x^0}$(*)

+) Tổng các hệ số là: $C_{3n}^0 + .. + C_{3n}^{3n} = 64$

$+ )$Thay $x = 1$ vào cả 2 vế của (*) $\Rightarrow$${2^{3n}} = C_{3n}^0 + ... + C_{3n}^{3n} \Leftrightarrow {2^{3n}} = 64$$\Rightarrow n = 2$

$+ )$Số hạng tổng quát của khai triển là:

${T_{k + 1}} = C_{3n}^k.{x^{3n - k}}.{\left( {\dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^k}$$= C_6^k.{x^{6 - k}}.{\left( {{x^{ - 2}}} \right)^k}$$= C_6^k.{x^{6 - 3k}}$

$+ )$Số hạng không chứa $x$$\Leftrightarrow 6 - 3k = 0 \Leftrightarrow k = 2$

$\Rightarrow$Số hạng không chứa $x$là: $C_6^2 = 15$

Ta có: ${a_k} = C_{2021}^k{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^k}{.2^{2021}}$

Giả sử ${a_k}\max$ khi đó

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_k} \ge {a_{k + 1}}\\{a_k} \ge {a_{k - 1}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2021!}}{{k!\left( {2021 - k} \right)!}}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^k} = \dfrac{{2021!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {2020 - k} \right)!}}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{k + 1}}\\\dfrac{{2021!}}{{k!\left( {2021 - k} \right)!}}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^k} = \dfrac{{2021!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {2022 - k} \right)!}}.{\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^{k - 1}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{k + 1}}{{2021 - k}} \ge \dfrac{3}{2}\\\dfrac{{2022}}{k} \ge \dfrac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{\left( {k + 1} \right).2 - 3.\left( {2021 - k} \right)}}{{2.\left( {2021 - k} \right)}} \ge 0\\\dfrac{{3\left( {2022 - k} \right) - 2k}}{{3k}} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1213 \le k \le 2021\\0 \le k \le 1213\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 1213\end{array}$