Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Gieo đồng thời hai con súc sắc đối xứng và đồng chất ta có

\(\Omega  = \left\{ {\left( {x;y} \right)\left| {1 \le x \le 6;1 \le y \le 6} \right.} \right\}\). Do đó \(\left| \Omega  \right| = 6.6 = 36\)

E là biến cố "Có đúng 1 con súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm". Khi đó:

$E =$ $ \left\{ {\left( {1;2} \right),\left( {1;3} \right),\left( {1;4} \right),\left( {1;5} \right),\left( {1;6} \right),} \right.\left. {\left( {2;1} \right),\left( {3;1} \right),\left( {4;1} \right),\left( {5;1} \right),\left( {6;1} \right)} \right\}$

Nên \(\left| E \right| = 10\)

Vậy \(P(E) = \dfrac{{\left| E \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}\)

Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên bé hơn $1000$ ta có \(\left| \Omega  \right| = 1000\)

Gọi $A$ là biến cố chọn được số chia hết cho $5.$

Khi đó: \(A = \left\{ {5k\left| {0 \le 5k < 1000} \right.} \right\} \)\(= \left\{ {5k\left| {0 \le k < 200} \right.} \right\}\)

Nên \(\left| A \right| = 200\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{200}}{{1000}} = \dfrac{1}{5}\)

Rút ngẫu nhiên $3$ thẻ trong một hộp đựng $11$ thẻ ta có \(\left| \Omega  \right| = C_{11}^3 = 165\)

Gọi $A$ là biến cố rút được $3$ thẻ và tổng các số ghi trên $3$ thẻ bằng $12$.

Vì \(12 = 1 + 2 + 9 = 1 + 3 + 8 = 1 + 4 + 7\) \( = 1 + 5 + 6 = 2 + 3 + 7 = 2 + 4 + 6 = 3 + 4 + 5\)

Nên \(\left| A \right| = 7\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{7}{{165}}\)

Chọn ngẫu nhiên $3$ quả cân trong $8$ quả cân ta có \(\left| \Omega  \right| = C_8^3 = 56\)

Gọi $A$ là biến cố chọn được $3$ quả cân và tổng trọng lượng $3$ quả cân không vượt quá $9 kg$.

Vì

\(\begin{array}{l}1 + 2 + 3 = 6 < 9\\1 + 2 + 4 = 7 < 9\\1 + 2 + 5 = 8 < 9\\1 + 2 + 6 = 9\\1 + 3 + 4 = 8 < 9\\1 + 3 + 5 = 9\\2 + 3 + 4 = 9\end{array}\)

Nên \(\left| A \right| = 7\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{7}{{56}} = \dfrac{1}{8}\)

Gieo con xúc sắc cân đối và đồng chất hai lần ta có

\(\Omega  = \left\{ {\left( {b;c} \right)\left| {1 \le b \le 6;1 \le c \le 6} \right.} \right\}\). Do đó,  \(\left| \Omega  \right| = 6.6 = 36\)

Phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm khi \(\Delta  = {b^2} - 4c \ge 0\)

Đặt\(A = \) \(\left\{ {\left( {b;c} \right)\left| {1 \le b \le 6;1 \le c \le 6} \right.;{b^2} - 4c \ge 0} \right\}\), ta có:

\(A = \left\{ \begin{array}{l}\left( {6;1} \right),\left( {6;2} \right),\left( {6;3} \right),\left( {6;4} \right),\left( {6;5} \right),\\ \left( {6;6} \right),\left( {5;1} \right),\left( {5;2} \right),\left( {5;3} \right),\left( {5;4} \right),\\ \left( {5;5} \right),\left( {5;6} \right),\left( {4;1} \right),\left( {4;2} \right),\left( {4;3} \right),\\ \left( {4;4} \right),\left( {3;1} \right),\left( {3;2} \right),\left( {2;1} \right)\end{array} \right\}\)

Nên \(\left| A \right| = 19\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{19}}{{36}}\)

$S$ là tập hợp của tất cả các số tự nhiên gồm $3$ chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$.

Suy ra \(\left| S \right| = 7.6.5 = 210\)

Chọn ngẫu nhiên một số trong tập $S$ ta có \(\left| \Omega  \right| = \left| S \right| = 210\)

Gọi $A$ là biến cố chọn được số chẵn. Ta có:  \(\left| A \right| = 3.6.5 = 90\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{90}}{{210}} = \dfrac{3}{7}\)

Không gian mẫu \(\Omega \) là tập các hoán vị của 6 phần tử, ta có: \(\left| \Omega  \right| = 6! = 720\)

Gọi A là biến cố nam và nữ ngồi xen kẽ nhau. 

Đánh số ghế từ \(1\) đến \(6\).

TH1: Xếp nam vào các ghế \(1,3,5\) có \(3!\) cách, xếp nữ vào các ghế \(2,4,6\) có \(3!\) cách nên có \(3!.3!\) cách.

TH2: Xếp nam vào các ghế \(2,4,6\) và xếp nữ vào các ghế \(1,3,5\) cũng có \(3!.3!\) cách.

Khi đó \(\left| A \right| = 2.3!.3! = 72\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{72}}{{720}} = \dfrac{1}{{10}}\)

Không gian mẫu \(\Omega \) là tập các hoán vị của $8$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega  \right| = 8! = 40320\)

Gọi $A$ là biến cố $3$ nam ngồi cạnh nhau.

Coi \(3\) nam là một người và thêm \(5\) nữ là \(6\) người nên sẽ có \(6!\) cách, hoán đổi vị trí của \(3\) nam ta có \(3!\) cách nên \(\left| A \right| = 3!.6! = 4320\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{4320}}{{40320}} = \dfrac{3}{{28}}\)

Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega  \right| = C_9^2 = 36\)

Gọi $A$ là biến cố “tích hai số ghi trên hai thẻ là lẻ”.

Vì tích của hai số lẻ là một số lẻ nên hai thẻ rút ra phải là lẻ, mà có $5$ thẻ lẻ nên \(\left| A \right| = C_5^2 = 10\)

Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{10}}{{36}} = \dfrac{5}{{18}}\)

Không gian mẫu \(\Omega \) là tổ hợp chập $4$ của $10$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega  \right| = C_{10}^4 = 210\)

Gọi $A$ là biến cố chọn được $4$ quả cùng màu.

$4$ quả cùng màu có thể là $4$ quả cùng màu trắng hoặc $4$ quả cùng màu đen.

Ta có: \(\left| A \right| = C_6^4 + C_4^4 = 15 + 1 = 16\)

Vậy \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{16}}{{210}} = \dfrac{8}{{105}}\)

Không gian mẫu \(\Omega \) là tổ hợp chập $4$ của $10$ phần tử, ta có: \(\left| \Omega  \right| = C_{10}^4 = 210\)

Gọi $B$ là biến cố chọn được $4$ quả màu trắng. Ta có: \(\left| B \right| = C_6^4 = 15\)

Suy ra \(P(B) = \dfrac{{\left| B \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{15}}{{210}} = \dfrac{1}{{14}}\)

Ta có \(\overline B\) là biến cố chọn được ít nhất một quả màu đen nên \(P\left( {\overline B} \right) = 1 - P(B) = 1 - \dfrac{1}{{14}} = \dfrac{{13}}{{14}}\)

Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega  \right| = C_9^5 = 126\)

Gọi $A$ là biến cố “Trong $5$ thẻ được rút có các thẻ ghi số $1, 2, 3$”. Ta có: \(\left| A \right| = C_6^2 = 15\)

Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{15}}{{126}} = \dfrac{5}{{42}}\)

Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega  \right| = C_7^1.C_6^1 = 42\)

Gọi $A$ là biến cố “lấy được hai viên bi cùng màu”.

Trường hợp 1: Lấy được hai viên bi màu đỏ, ta có \(C_4^1.C_2^1 = 8\)

Trường hợp 2: Lấy được hai viên bi màu trắng, ta có \(C_3^1.C_4^1 = 12\)

 Ta có: \(\left| A \right| = 8 + 12 = 20\)

Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{20}}{{42}} = \dfrac{{10}}{{21}}\)

Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega  \right| = 12.11.10 = 1320\)

Gọi $A$ là biến cố “lấy được hai bi đỏ và một bi xanh”.

TH1: Thứ tự bi lấy ra là Đ-Đ-X có $8.7.4=224$ cách.

TH2: Thứ tự bi lấy ra là Đ-X-Đ có $8.4.7=224$ cách.

TH3: Thứ tự bi lấy ra là X-Đ-Đ có $8.4.7=224$ cách.

Do đó \(\left| A \right| = 3.8.7.4 = 672\) cách.

Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{ {\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{672}}{{1320}} = \dfrac{{28}}{{55}}\)

Số phần tử của không gian mẫu \(\Omega \) là \(\left| \Omega  \right| = C_{100}^5\)

Gọi A là biến cố “rút ngẫu nhiên ra $1$ đề thi có $4$ câu đã học thuộc”. Ta có: \(\left| A \right| = C_{80}^4.C_{20}^1\)

Suy ra \(P(A) = \dfrac{{\left| A \right|}}{{\left| \Omega  \right|}} = \dfrac{{C_{80}^4.C_{20}^1}}{{C_{100}^5}} = \dfrac{{1581580.20}}{{75287520}} = 0,42\)

Dựa vào lý thuyết biến cố đối và biến cố độc lập ta có:

- Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì \(P(AB) = P(A).P(B)\) .

- Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc thì \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

Vậy chỉ có $2$ đúng.

Gọi X là biến cố: “lấy được cả hai viên bi mang số chẵn. “

Gọi A là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp I “

=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{C_4^1}}{{C_9^1}} = \dfrac{4}{9}.\)

Gọi B là biến cố: “lấy được viên bi mang số chẵn ở hộp II “\(P\left( B \right) = \dfrac{3}{{10}}.\)

Ta thấy biến cố A, B  là 2 biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

\(P\left( X \right) = P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \dfrac{4}{9}.\dfrac{3}{{10}} = \dfrac{2}{{15}}.\)

Gọi A là biến cố “người bắn súng bắn trúng đích”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,6\)
Suy ra \(\overline A\) là biến cố “người bắn súng không bắn trúng đích”. Ta có \(P(\overline A) = 0,4\)
Xét phép thử “bắn ba lần độc lập” với biến cố “người đó bắn trúng đích đúng một lần”, ta có các biến cố xung khắc sau:
• \(B\): “Bắn trúng đích lần đầu và trượt ở hai lần bắn sau”. Ta có \(P(B) = 0,6.0,4.0,4 = 0,096\)
• C: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ hai và trượt ở lần đầu và lần thứ ba”. Ta có
\(P(C) = 0,4.0,6.0,4 = 0,096\)
• D: “Bắn trúng đích ở lần bắn thứ ba và trượt ở hai lần đầu”. Ta có:
\(P(D) = 0,4.0,4.0,6 = 0,096\)
Xác suất để người đó bắn trúng đích đúng một lần là:
\(P = P(A) + P(B) + P(C) = 0,096 + 0,096 + 0,096 = 0,288\)

Gọi A là biến cố “chiếc tàu khoan trúng túi dầu”. Ta có \(P\left( A \right) = 0,4\)

Suy ra \(\bar A\)  là  biến cố “chiếc tàu khoan không trúng túi dầu”. Ta có \(P(\bar A) = 0,6\)

Xét phép thử “tàu khoan 5 lần độc lập” với biến cố

B:“chiếc tàu không khoan trúng túi dầu lần nào”, ta có \(P(B) = 0,{6^5} = 0,07776\)

Khi đó ta có \(\overline B\) “chiếc tàu khoan trúng túi dầu ít nhất một lần”. Ta có:

\(P\left( {\overline B} \right) = 1 - P(B) \) \(= 1 - 0,07776 = 0,92224\)

Gọi $A$ là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.

Ta có \(P\left( A \right) = 0,8\) và \(P(\overline A ) = 0,2\)

Gọi $B$ là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi được bàn thắng.

Ta có \(P\left( B \right) = 0,7\) và \(P(\overline B) = 0,3\)

Ta xét hai biến cố xung khắc sau:

\(A\overline B\) “Chỉ có cầu thủ thứ nhất làm bàn”.

Ta có:

\(P\left( {A\overline B} \right) = P\left( A \right).P\left( {\overline B} \right) \) \(= 0,8.0,3 = 0,24\)

\(B\bar A\) “ Chỉ có cầu thủ thứ hai làm bàn” .

Ta có:

$P\left( {B\overline A} \right) = P\left( B \right).P\left( {\overline A} \right) $ $= 0,7.0,2 = 0,14$

Gọi $C$ là biến cố chỉ có $1$ cầu thủ làm bàn.

Ta có \(P(C) = 0,24 + 0,14 = 0,38\)