Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Giả sử đề 1 đã được máy tính chọn ra. Ta xét xác suất để đề 2 giống đề 1

Ở mỗi hạng mục, xác suất để câu hỏi của 2 đề giống nhau và khác nhau lần lượt là 0,1 và 0,9.

Xác suất của biến cố đối:

Xác suất để 2 đề không trùng nhau câu hỏi nào là \(0,{9^{20}}\)

Xác suất để 2 đề trùng nhau đúng 1 câu hỏi là \(C_{20}^1.0,1.0,{9^{19}}\)

Xác suất để 2 đề trùng nhau đúng 2 câu hỏi là \(C_{20}^2.0,{1^2}.0,{9^{18}}\)

Xác suất để 2 đề trùng nhau từ 3 câu hỏi trở lên là \(1 - \left( {0,{9^{20}} + C_{20}^1.0,1.0,{9^{19}} + C_{20}^2.0,{1^2}.0,{9^{18}}} \right)\)\(= 0,323\)

Cách 1.

Số phần tử của không gian mẫu là \(n(\Omega ) = 4.4 = 16\)

Gọi biến cố \(A = \) "Cú sút đó không vào lưới". Khi đó biến cố \(\bar A = \) "Cú sút đó vào lưới". Số phần tử của \(n(\bar A)\) là

Trường hợp 1. Cầu thủ sút vào vị trí 1 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 2. Cầu thủ sút vào vị trí 2 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 3. Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 4 . Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào 1 trong 3 vị trí còn lại Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 3 cách bay người. Do đó, có 3 khả năng xảy ra.

Trường hợp 5 . Cầu thủ sút vào vị trí 3 thủ môn bay vào vị trí 3

Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 1 cách bay người. Do đó, có 1 khả năng xảy ra. Trường hợp 6 . Cầu thủ sút vào vị trí 4 thủ môn bay vào vị trí 4

Cầu thủ có 1 cách sút. Thủ môn có 1 cách bay người. Do đó, có 1 khả năng xảy ra. Khi đó \(n(\bar A) = 4.3 + 2.1 = 14\). Xác suất xảy ra biến cố \(\bar A\) là \(p(\bar A) = \dfrac{{4.3}}{{16}} + \dfrac{{2.1}}{{16}} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{{13}}{{16}}\).

Vậy \(p(A) = 1 - p(\bar A) = 1 - \dfrac{{13}}{{16}} = \dfrac{3}{{16}}\).

Cách 2.

Gọi \({A_i}\) là biến cố "cầu thủ sút phạt vào vị trí \(i\) ";

\({B_i}\) là biến cố "thủ môn bay người cản phá vào vị trí thứ \(i\) ".

Và \(C\) là biến cố "Cú sút phạt không vào lưới". Dễ thấy, \(P\left( {{A_i}} \right) = P\left( {{B_i}} \right) = \dfrac{1}{4}\).

Ta có \(P(C) = P\left( {{A_1}} \right)P\left( {{B_1}} \right) + P\left( {{A_2}} \right)P\left( {{B_2}} \right) + \dfrac{1}{2}P\left( {{A_3}} \right)P\left( {{B_3}} \right) + \dfrac{1}{2}P\left( {{A_4}} \right)P\left( {{B_4}} \right)\) \( = {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} + {\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} + \dfrac{1}{2}{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^2} = \dfrac{3}{{16}}.\)

Gọi A là biến cố: “Học sinh A làm đúng k câu”

Xác suất làm đúng 1 câu là \(\dfrac{1}{4}\), xác suất làm sai 1 câu là \(\dfrac{3}{4}\).

\( \Rightarrow {P_k}\left( A \right) = C_{50}^k{\left( {\dfrac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50 - k}} = \dfrac{{C_{50}^k}}{{{3^k}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,\,k \in \left[ {0;50} \right]} \right)\).

Để \({P_k}\left( A \right)\) lớn nhất thì \(\left\{ \begin{array}{l}{P_k}\left( A \right) \ge {P_{k + 1}}\left( A \right)\\{P_k}\left( A \right) \ge {P_{k - 1}}\left( A \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{C_{50}^k}}{{{3^k}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}} \ge \dfrac{{C_{50}^{k + 1}}}{{{3^{k + 1}}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}}\\\dfrac{{C_{50}^k}}{{{3^k}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}} \ge \dfrac{{C_{50}^{k - 1}}}{{{3^{k - 1}}}}{\left( {\dfrac{3}{4}} \right)^{50}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{50!}}{{k!\left( {50 - k} \right)!}} \ge \dfrac{1}{3}.\dfrac{{50!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {49 - k} \right)!}}\\\dfrac{1}{3}.\dfrac{{50!}}{{k!\left( {50 - k} \right)!}} \ge \dfrac{{50!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {51 - k} \right)!}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{50 - k}} \ge \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{{\left( {k + 1} \right)}}\\\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{k} \ge \dfrac{1}{{51 - k}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3k + 3 \ge 50 - k\\51 - k \ge 3k\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{{47}}{4} \le k \le \dfrac{{51}}{4} \Leftrightarrow k = 12\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Gọi \(A\) là biến cố "cả ba cầu thủ đều ghi bàn". Ta có \(P\left( A \right) = 0,6xy = 0,336 \Leftrightarrow xy = \dfrac{{14}}{{25}}\).

Gọi \(B\) là biến cố "ít nhất một trong ba cầu thủ ghi bàn"

\( \Rightarrow \bar B\) là biến cố "không có cầu thủ nào ghi bàn".

Theo đề bài, ta được \(P(\bar B) = 0,4(1 - x)(1 - y) = 1 - 0,976\) \( = 0,024\)\( \Leftrightarrow 1 - (x + y) + xy = 0,024 \Leftrightarrow x + y\)\( = \dfrac{3}{2}\).

Gọi $C:$ "có đúng hai cầu thủ ghi bàn". Ta có:

\(P\left( C \right) = xy.0,4 + x(1 - y).0,6 \)\(+ (1 - x)y.0,6\) \( =  - 0,8xy + 0,6(x + y)\) \( =  - 0,8 \cdot \dfrac{{14}}{{25}} + 0,6 \cdot \dfrac{3}{2} = 0,452.\)