Ba đường conic

Đường conic có phương trình: $\dfrac{{{x^2}}}{{100}} + \dfrac{{{y^2}}}{{64}} = 1$ là đường hypebol.

Vì quỹ đạo của Mặt Trăng có tâm sai nhỏ hơn 1 nên là đường elip.

Parabol là đường conic có tâm sai e =1

Hybebol là đường conic có tâm sai e >1

Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

$\left( H \right)\,\,:\,\dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow a = 4,\,\,b = 3$

Tọa độ các đỉnh của $(H)$ là: ${A_1}\left( { - 4;0} \right);\,\,{A_2}\left( {4;0} \right);\,\,{B_1}\left( {0; - 3} \right);\,\,{B_2}\left( {0;3} \right)$

Có $2p=8 ⇒ p=4$ ⇒ Toạ độ tiêu điểm là F(2; 0).

Có 2p = 8 ⇒ p = 4 ⇒ Phương trình đường chuẩn của parabol là x = –2.

Giả sử M có toạ độ là (x; 4). Khi đó ta có ${4^2}\; = 8x \Rightarrow \;x = 2.$

Vậy M(2; 4).

Suy ra bán kính qua tiêu của điểm M là $MF = x + \;\dfrac{p}{2} = 2 + \dfrac{4}{2} = 4.$

$(H):\,\,25{x^2} - 16{y^2} = 400 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{{25}} = 1 \Rightarrow a = 4,\,\,b = 5$

Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow {c^2} = {4^2} + {5^2} = 41 \Rightarrow c = \sqrt {41}$

$\Rightarrow$ Tiêu cự ${F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {41}$.

Elip có độ dài trục bé bằng tiêu cự nên ta có $b = c$

Mặt khác ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ , suy ra ${a^2} = 2{c^2}$ hay $a = \sqrt 2 c$

Tâm sai của elip là: $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{c}{{\sqrt 2 c}} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

$(H):\,\,9{x^2} - 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{{16}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow a = 4,\,\,b = 3$

Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow {c^2} = {4^2} + {3^2} = 25 \Rightarrow c = 5$

Tâm sai $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{5}{4}$.

Độ dài trục lớn là $12,$ suy ra $2a = 12$  hay $a = 6$

Độ dài trục nhỏ là $8,$ suy ra $2b = 8$  hay $b = 4$

Vậy elip cần tìm là $\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

Có 2p = 12, suy ra p = 6.

Bán kính qua tiêu của M là: $FM\; = x + \;\dfrac{p}{2} = 3 + \;\dfrac{6}{2} = {\rm{ }}6.$

$(H)$ có tiêu cự bằng $16$ và tâm sai $e = \dfrac{4}{3}$ $\Rightarrow c = 8,\,\,e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{3}$ $\Rightarrow a = \dfrac{3}{4}c = \dfrac{3}{4}.8 = 6$

Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} \Leftrightarrow {6^2} + {b^2} = {8^2} \Rightarrow {b^2} = 28$

Phương trình chính tắc của $(H):$ $\dfrac{{{x^2}}}{{36}} - \dfrac{{{y^2}}}{{28}} = 1$

Elip có  hai đỉnh là $A(5;0)$ và $B(0;3)$ suy ra $a = 5$ và $b = 3$. Do đó, phương trình chính tắc của elip là: $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$

Elip có một đỉnh là $B(0; - 2)$ suy ra $b = 2$.

Elip có tiêu cự là  $2\sqrt 5$ suy ra $c = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow c = \sqrt 5$

Mặt khác ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9$

Vậy elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$

Elip có đỉnh là $A(2;0)$ suy ra $a = 2$. Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Vì elip qua $M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})$ nên ta có $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$