Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất
Sách kết nối tri thức với cuộc sống
Trong các thí nghiệm sau, thí nghiệm nào không phải là phép thử ngẫu nhiên?
Các thí nghiệm ở đáp án A, B, C đều là các phép thử ngẫu nhiên vì ta không đoán trước kết quả, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra với nó.
Thí nghiệm ở đáp án D không phải phép thử ngẫu nhiên vì ta đã biết chắc kết quả là có \(5\) viên bi.
Tung một đồng xu hai lần liên tiếp. Xét biến cố A: "Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp". Tính xác suất của biến cố nói trên.
Ta có: \(\Omega = \{ SS,SN,NS,NN\} \) nên \(n(\Omega ) = 4\)
Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là: \(SN,SS,NS\) nên \(n(A) = 3\)
Vậy xác xuất của biến cố là: \(P(A) = \dfrac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{3}{4}\).
Gieo một xúc xắc hai lần liên tiếp. Xét biến cố B: "Số chấm trong hai lần gieo đều là số nguyên tố". Tính xác suất của biến cố đó.
Ta có: \(n(\Omega ) = 36\)
Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là:
\((2;2);(2;3);(2;5);(3;2);(3;3);(3;5);(5;2);(5;3);(5;5)\)
Vậy xác xuất của biến cố là: \(P(B) = \dfrac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \dfrac{9}{{36}} = \dfrac{1}{4}\).
Không gian mẫu khi gieo hai đồng xu là:
Khi gieo một đồng xu thì có thể ra mặt sấp (S) hoặc mặt ngửa (N).
Do đó không gian mẫu khi gieo hai đồng xu là: \(\Omega = \left\{ {SS,NN,NS,SN} \right\}\).
Gieo hai con súc sắc cân đối và đồng chất. Xác suất để tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7 là:
Ta có: \(n(\Omega ) = 6.6 = 36\).
Gọi \(A\):”tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 7”.
\(A = {\rm{\{ (1;6);(2;5);(3;4);(4;3);(5;2);(6;1)\} }}\).
Do đó \(n(A) = 6\).
Vậy \(P(A) = \dfrac{6}{{36}} = \dfrac{1}{6}\).
Gieo hai con xúc sắc và gọi kết quả xảy ra là tích của số chấm xuất hiện ở mỗi xúc sắc . Số phần tử của không gian mẫu là:
Số chấm có thể xuất hiện ở xúc sắc thứ nhất là 1;2;3;4;5;6.
Số chấm có thể xuất hiện ở xúc sắc thứ hai là 1;2;3;4;5;6.
Mỗi phần tử của không gian mẫu là tích của 2 số bất kì xuất hiện ở mỗi xúc sắc trên (2 số này có thể trùng nhau).
Mô tả không gian mẫu
$\Omega = $ $\left\{ {1;2;3;4;5;6;8;9;10;12;} \right.\left. {15;16;18;20;24;25;30;36} \right\}$
Vậy số phần tử là \(18\).
Gieo một con xúc sắc hai lần. Biến cố \(A\) là biến cố để hai lần gieo có ít nhất một mặt \(6\) chấm. Các phần tử của \({\Omega _A}\) là:
Ta có:
\({\Omega _A} = \{ {\left( {1,6} \right);\left( {2,6} \right);\left( {3,6} \right);\left( {4,6} \right);\left( {5,6} \right);\left( {6,6} \right);\left( {6,1} \right);\left( {6,2} \right);\left( {6,3} \right);\left( {6,4} \right);\left( {6,5} \right)} \}\)
Gieo đồng xu hai lần liên tiếp. Biến cố \(A\) là biến cố “Mặt ngửa xuất hiện đúng 1 lần”. Số phần tử của \({\Omega _A}\) là:
Ta có: \({\Omega _A} = \left\{ {NS,SN} \right\}\).
Cho phép thử có không gian mẫu \(\Omega = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}\). Cặp biến cố không đối nhau là:
Trong các đáp án đã cho ta thấy chỉ có đáp án C là không thỏa mãn điều kiện của biến cố đối.
Gieo một đồng xu \(5\) lần liên tiếp. Số phần tử của không gian mẫu là:
Kết quả của \(5\) lần gieo là dãy \(abcde\), trong đó \(a,b,c,d,e\) nhận một trong hai giá trị \(S,N\). Do đó số phần tử của không gian mẫu là \(2.2.2.2.2 = 32\).
Một tổ học sinh có \(7\) nam và \(3\) nữ. Chọn ngẫu nhiên 2 người. Tính xác suất sao cho 2 người được chọn có đúng một người nữ.
Gọi A là biến cố: “2 người được chọn có đúng một người nữ.”
Số cách chọn \(2\) trong \(10\) người là \(n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45.\)
Số cách chọn trong đó có \(1\) nữ và \(1\) nam là \(n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 = 21.\)
=>\(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{21}}{{45}} = \dfrac{7}{{15}}.\)
Cho \(A\) là một biến cố liên quan phép thử \(T\). Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là:
Xác suất xảy ra biến cố \(A\) là: \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}\).
Gieo hai con súc sắc. Xác suất để tổng hai mặt bằng \(11\) là.
Số phần tử của không gian mẫu là: \(n\left( \Omega \right) = {6^2} = 36\).
Gọi A là biến cố để tổng hai mặt là \(11\), các trường hợp có thể xảy ra của A là \(A = \left\{ {\left( {5;6} \right);\left( {6;5} \right)} \right\}\) .
Số phần tử của không gian thuận lợi là: \(n\left( A \right) = 2\).
Xác suất biến cố \(A\) là : \(P\left( A \right) = \dfrac{1}{{18}}\).
Gieo đồng xu hai lần liên tiếp. Xác suất để sau hai lần gieo thì mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần.
Số phần tử của không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 2.2 = 4\).
Biến cố \(A\) có \({\Omega _A} = \left\{ {SN,NS,NN} \right\}\) nên \(n\left( {{\Omega _A}} \right) = 3\).
Vậy xác suất \(P\left( A \right) = \dfrac{3}{4}\).
Gieo ngẫu nhiên bốn đồng xu cân đối và đồng chất. Xác suất để cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp là:
Gọi \(A\) là biến cố: “Cả bốn lần gieo đều xuất hiện mặt sấp”.
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {2^4} = 16,n\left( {{\Omega _A}} \right) = 1 \) \(\Rightarrow P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( {{\Omega _A}} \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{1}{{16}}\)
Gieo ba đồng xu cân đối, đồng chất. Xác suất để ba đồng xu ra cùng một mặt là:
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {2^3} = 8\).
Ba đồng xu ra cùng một mặt thì chỉ có thể là \(SSS,NNN\) nên: \(P\left( A \right) = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\).
Gieo ba đồng xu cân đối, đồng chất. Xác suất để có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt sấp là:
Ta có: \(n\left( \Omega \right) = {2^3} = 8\).
Gọi \(A\) là biến cố: “Có đúng hai đồng xu xuất hiện mặt sấp”.
Khi đó \(A = \left\{ {SSN,SNS,NSS} \right\}\) nên \(P\left( A \right) = \dfrac{3}{8}\).
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên trong các số tự nhiên có bốn chữ số. Tính xác xuất để số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau.
* Gọi số tự nhiên có 4 chữ số là \(\overline {abcd} \,\left( {a \ne 0;\,0 \le a,b,c,d \le 9;\,a,b,c,d \in \mathbb{N}} \right)\)
+ \(a\) có 9 cách chọn
+ \(b,c,d\) có 10 cách chọn
Không gian mẫu có số phần tử là \(n\left( \Omega \right) = {9.10^3}\)
* Gọi \(A\) là biến cố số được chọn có ít nhất hai chữ số 8 đứng liền nhau
TH1 : Có hai chữ số 8 đứng liền nhau. Ta chọn 2 chữ số còn lại trong \(\overline {abcd} \)
+ 2 chữ số 8 đứng đầu thì có \(9.10 = 90\) cách chọn 2 chữ số còn lại
+ 2 chữ số 8 đứng ở giữa thì có \(8\) cách chọn chữ số hàng nghìn và \(9\) cách chọn chữ số hàng đơn vị nên có \(8.9 = 72\) cách chọn.
+ 2 chữ số 8 đứng ở cuối thì có 9 cách chọn chữ số hàng nghìn và 9 cách chọn chữ số hàng trăm nên có \(9.9\) cách chọn.
Vậy trường hợp này có \(90 + 72 + 81 = 243\) số.
TH2 : Có ba chữ số 8 đứng liền nhau.
+ 3 chữ số 8 đứng đầu thì có 9 cách chọn chữ số hàng đơn vị
+ 3 chữ số 8 đứng cuối thì có 8 cách chọn chữ số hàng nghìn
Vậy trường hợp này có \(9 + 8 = 17\) số
TH3 : Có 4 chữ số 8 đứng liền nhau thì có 1 số
Số phần tử của biến cố A là \(n\left( A \right) = 243 + 17 + 1 = 261\)
Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \dfrac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \dfrac{{261}}{{{{9.10}^3}}} = 0,029\)
Hai bạn Công và Thành cùng viết ngẫu nhiên ra một số tự nhiên gồm 2 chữ số phân biệt. Xác suất để hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung bằng:
Số các số tự nhiên có 2 chữ số phân biệt là \(9.9 = 81 \Rightarrow n\left( \Omega \right) = {81^2}\).
Gọi A là biến cố: “ Hai số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”
TH1: Hai bạn cùng viết hai số giống nhau \( \Rightarrow \) Có 81 cách.
TH2: Bạn Công viết số có dạng \(\overline {ab} \) và bạn Thành viết số có dạng \(\overline {ba} \).
\( \Rightarrow a \ne b \ne 0 \Rightarrow \) Có \(9.8 = 72\) cách.
TH3: Hai bạn chọn số chỉ có 1 chữ số trùng nhau.
+) Trùng số 0: Số cần viết có dạng \(\overline {a0} \), Công có 9 cách viết, Thành có 8 cách viết (Khác số Công viết)
\( \Rightarrow \) Có \(9.8 = 72\) cách.
+) Trùng số 1: Số cần viết có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\), hoặc \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).
Nếu Công viết số 10 , khi đó Thành có 8 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Có 16 cách.
Nếu Công viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 0,\,\,b \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có \(8\left( {7 + 8} \right) = 120\) cách.
Nếu Công viết có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) \( \Rightarrow \) Công có 8 cách viết, khi đó Thành có 7 cách viết số có dạng \(\overline {a1} \,\,\left( {a \ne 0,\,\,a \ne 1} \right)\) và 8 cách viết số có dạng \(\overline {1b} \,\,\left( {b \ne 1} \right)\).
\( \Rightarrow \) Có \(8\left( {7 + 8} \right) = 120\) cách.
\( \Rightarrow \) Có 256 cách viết trùng số 1.
Tương tự cho các trường hợp trùng số 2,3,4,5,6,7,8,9.
\( \Rightarrow n\left( A \right) = 81 + 72 + 72 + 256.9 = 2529\).
Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{2529}}{{{{81}^2}}} = \dfrac{{281}}{{729}}\).
