Bài tập cuối chuyên đề 3

Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)$

Phương trình $2$ đường tiệm cận của $(H)$ là: $y =  \pm \dfrac{b}{a}x$

Vì góc hợp bởi tiệm cận và $Ox$ bằng ${30^0}$ $ \Rightarrow \dfrac{b}{a} = \tan {30^0} $ $\Leftrightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} $ $\Leftrightarrow \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{3} $ $\Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{1}{3}{a^2}$

Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} $ $\Rightarrow {a^2} + \dfrac{1}{3}{a^2} = {c^2} $ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}{a^2} = {c^2} $ $\Leftrightarrow \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{3} $ $\Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} $ $\Leftrightarrow e = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$

Elip có một đỉnh là \(B(0; - 2)\) suy ra \(b = 2\).

Elip có tiêu cự là  \(2\sqrt 5 \) suy ra \(c = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow c = \sqrt 5 \)

Mặt khác ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9\)

Vậy elip có dạng \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1\)

Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)$

$(H)$ có đỉnh ${A_2}(3;0)$$ \Rightarrow a = 3$

Đường tròn $(C):\,{x^2} + {y^2} = 16$ có bán kính $R = 4$

$ \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {4^2} \Rightarrow c = 4$

Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} \Rightarrow {3^2} + {b^2} = {4^2} \Leftrightarrow {b^2} = 7$

Phương trình chính tắc của $(H):$  $\dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1$

Elip có đỉnh là \(A(2;0)\) suy ra \(a = 2\). Phương trình elip cần tìm có dạng  \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Vì elip qua \(M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})\) nên ta có \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Hypebol $(H):\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ có 2 đường tiệm cận là: $y = \dfrac{b}{a}x,\,\,\,y =  - \dfrac{b}{a}x$

Nhận $\overrightarrow {{n_1}} \left( {b; - a} \right),\,\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {b;a} \right)$ lần lượt là các VTPT.

Khi đó, góc tạo bởi 2 đường tiệm cận của $(H)$ được tính bởi công thức: $\cos \varphi  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {b.b + ( - a).a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {{b^2} - {a^2}} \right|}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Phương trình elip cần tìm có dạng  \(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)

Vì elip qua \(M\left( {2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\)

Vì elip qua \(N\left( {2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)\) nên ta có \(\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.\)

Vậy elip có phương trình là \(\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1\)

Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có \({a^2} = {b^2} + {c^2}\)

Gọi$A\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,B\left( { - {x_0};\,{y_0}} \right),\,C\left( { - {x_0};\, - {y_0}} \right);\,D\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right),\,\,({x_0},{y_0} > 0)$ là $4$ đỉnh của hình chữ nhật $ABCD,$ có tâm $O.$

$A,B,C,D \in (H) \Rightarrow \dfrac{{{x_0}^2}}{4} - \dfrac{{{y_0}^2}}{{16}} = 1$  (1)

Phương trình đường thẳng \(AC:\,\,y = \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}x\) và phương trình đường thẳng \(BD:\,\,y =  - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}.x\)

Hệ số góc của đường chéo $AC, BD$ lần lượt là: $\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$ và  $ - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$.

Hệ số góc các đường chéo là số nguyên $ \Leftrightarrow \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z,\, - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z.$

Đặt $\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = k \in {Z^ + } \Leftrightarrow {y_0} = k{x_0}$. Thay vào (1), ta được:

$\dfrac{{{x_0}^2}}{4} - \dfrac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = \dfrac{{{x_0}^2}}{4} - 1 \Leftrightarrow {k^2}{x_0}^2 = 4{x_0}^2 - 16 \Leftrightarrow {k^2} = 4 - \dfrac{{16}}{{{x_0}^2}}$ (2)

Từ (2) $ \Rightarrow 0 < {k^2} < 4$

Mà  $k \in Z \Rightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\,\,(TM)\\k =  - 1(L)\end{array} \right.$

$k = 1 \Rightarrow AC:\,\,y = x,\,\,\,BD:\,\,y =  - x$

Vậy, phương trình đường chéo cần tìm là: $y = x,\,\,\,y =  - x$

Độ dài trục lớn là 12, suy ra \(2a = 12\)  hay \(a = 6\)

Độ dài trục nhỏ là 8, suy ra \(2b = 8\)  hay \(b = 4\)

Vậy elip cần tìm là \(\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

\(N\) đối xứng với \(M\) qua gốc tọa độ \(O\) nên \(N\left( {\sqrt 7 ; - \dfrac{9}{4}} \right)\).

Ta có: \(M{F_1} = \dfrac{9}{4}; M{F_2} = \dfrac{{23}}{4}; N{F_1} = \dfrac{{23}}{4}; N{F_2} = \dfrac{9}{4}\).

Do đó \(N{F_2} + M{F_1} = \dfrac{9}{2}.\)

Elip \(\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {25 - 9}  = 8\)

Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10 \Rightarrow p = \dfrac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2} = 9\)

Diện tích tam giác \(M{F_1}{F_2}\) là: \({S_{M{F_1}{F_2}}} = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M;Ox} \right) = \dfrac{1}{2}.8.{y_M} = 4\left| {{y_M}} \right| = 4{y_M}\,\,\,\left( {do\,\,{y_M} > 0} \right)\)

Lại có: \({S_{M{F_1}{F_2}}} = p.r \Leftrightarrow 4{y_M} = 9.\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {y_M} = 3 \in {y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)\)

Elip có  hai đỉnh là \(A(5;0)\) và \(B(0;3)\) suy ra \(a = 5\) và \(b = 3\). Do đó, phương trình chính tắc của elip là:\(\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1\)

Ta có \({F_1}{F_2} = 8\) và \(c = 4\).

\({C_{\Delta M{F_1}{F_2}}} = M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2} = 18 \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a \Rightarrow a = 5\).

Tâm sai của elip: \(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\).

$(H):\,4{x^2} - {y^2} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow a = 1;b = 2$

Độ dài trục thực: ${A_1}{A_2} = 2a = 2.1 = 2$

Độ dài trục ảo: ${B_1}{B_2} = 2b = 2.2 = 4$.

$(H):\,\,16{x^2} - 9{y^2} = 16 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{{16}}{9}}} = 1 \Rightarrow a = 1,\,\,b = \dfrac{4}{3}$

Hai đường tiệm cận của $(H)$: $y = \dfrac{b}{a}x = \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{1}x = \dfrac{4}{3}x;\,\,y =  - \dfrac{b}{a}x =  - \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{1}x =  - \dfrac{4}{3}x$.

$(H)$ có trục thực, trục ảo dài lần lượt là 10 và 6 $ \Rightarrow a = 5,\,\,b = 3$.

Phương trình chính tắc của $(H)$:  $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.