Bài tập cuối chuyên đề 3

Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)$

Phương trình $2$ đường tiệm cận của $(H)$ là: $y =  \pm \dfrac{b}{a}x$

Vì góc hợp bởi tiệm cận và $Ox$ bằng ${30^0}$ $\Rightarrow \dfrac{b}{a} = \tan {30^0}$ $\Leftrightarrow \dfrac{b}{a} = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{1}{3}$ $\Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{1}{3}{a^2}$

Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2}$ $\Rightarrow {a^2} + \dfrac{1}{3}{a^2} = {c^2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}{a^2} = {c^2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{{c^2}}}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{3}$ $\Leftrightarrow \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$ $\Leftrightarrow e = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}$

Elip có một đỉnh là $B(0; - 2)$ suy ra $b = 2$.

Elip có tiêu cự là  $2\sqrt 5$ suy ra $c = 2\sqrt 5  \Leftrightarrow c = \sqrt 5$

Mặt khác ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2} = 4 + 5 = 9$

Vậy elip có dạng $\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1$

Gọi phương trình chính tắc của hypebol $(H)$ là: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,\,\,(a,\,b > 0)$

$(H)$ có đỉnh ${A_2}(3;0)$$\Rightarrow a = 3$

Đường tròn $(C):\,{x^2} + {y^2} = 16$ có bán kính $R = 4$

$\Rightarrow {a^2} + {b^2} = {4^2} \Rightarrow c = 4$

Mà ${a^2} + {b^2} = {c^2} \Rightarrow {3^2} + {b^2} = {4^2} \Leftrightarrow {b^2} = 7$

Phương trình chính tắc của $(H):$  $\dfrac{{{x^2}}}{9} - \dfrac{{{y^2}}}{7} = 1$

Elip có đỉnh là $A(2;0)$ suy ra $a = 2$. Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Vì elip qua $M( - 1;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2})$ nên ta có $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow {b^2} = 1$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Hypebol $(H):\,\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ có 2 đường tiệm cận là: $y = \dfrac{b}{a}x,\,\,\,y =  - \dfrac{b}{a}x$

Nhận $\overrightarrow {{n_1}} \left( {b; - a} \right),\,\,\overrightarrow {{n_2}} \left( {b;a} \right)$ lần lượt là các VTPT.

Khi đó, góc tạo bởi 2 đường tiệm cận của $(H)$ được tính bởi công thức: $\cos \varphi  = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {b.b + ( - a).a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {{b^2} - {a^2}} \right|}}{{{a^2} + {b^2}}}$

Phương trình elip cần tìm có dạng  $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$

Vì elip qua $M\left( {2\sqrt 2 ;\dfrac{1}{3}} \right)$ nên ta có $\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1$

Vì elip qua $N\left( {2;\dfrac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)$ nên ta có $\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1$

Ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{8}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{9{b^2}}} = 1\\\dfrac{4}{{{a^2}}} + \dfrac{5}{{9{b^2}}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 9\\{b^2} = 1\end{array} \right.$

Vậy elip có phương trình là $\dfrac{{{x^2}}}{9} + \dfrac{{{y^2}}}{1} = 1$

Theo lý thuyết phương trình chính tắc của elip có ${a^2} = {b^2} + {c^2}$

Gọi$A\left( {{x_0};\,{y_0}} \right),\,\,B\left( { - {x_0};\,{y_0}} \right),\,C\left( { - {x_0};\, - {y_0}} \right);\,D\left( {{x_0};\, - {y_0}} \right),\,\,({x_0},{y_0} > 0)$ là $4$ đỉnh của hình chữ nhật $ABCD,$ có tâm $O.$

$A,B,C,D \in (H) \Rightarrow \dfrac{{{x_0}^2}}{4} - \dfrac{{{y_0}^2}}{{16}} = 1$  (1)

Phương trình đường thẳng $AC:\,\,y = \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}x$ và phương trình đường thẳng $BD:\,\,y =  - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}.x$

Hệ số góc của đường chéo $AC, BD$ lần lượt là: $\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$ và  $- \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}}$.

Hệ số góc các đường chéo là số nguyên $\Leftrightarrow \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z,\, - \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z \Leftrightarrow \dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} \in Z.$

Đặt $\dfrac{{{y_0}}}{{{x_0}}} = k \in {Z^ + } \Leftrightarrow {y_0} = k{x_0}$. Thay vào (1), ta được:

$\dfrac{{{x_0}^2}}{4} - \dfrac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{{k^2}{x_0}^2}}{{16}} = \dfrac{{{x_0}^2}}{4} - 1 \Leftrightarrow {k^2}{x_0}^2 = 4{x_0}^2 - 16 \Leftrightarrow {k^2} = 4 - \dfrac{{16}}{{{x_0}^2}}$ (2)

Từ (2) $\Rightarrow 0 < {k^2} < 4$

Mà  $k \in Z \Rightarrow {k^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 1\,\,(TM)\\k =  - 1(L)\end{array} \right.$

$k = 1 \Rightarrow AC:\,\,y = x,\,\,\,BD:\,\,y =  - x$

Vậy, phương trình đường chéo cần tìm là: $y = x,\,\,\,y =  - x$

Độ dài trục lớn là 12, suy ra $2a = 12$  hay $a = 6$

Độ dài trục nhỏ là 8, suy ra $2b = 8$  hay $b = 4$

Vậy elip cần tìm là $\dfrac{{{x^2}}}{{36}} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1$

$N$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O$ nên $N\left( {\sqrt 7 ; - \dfrac{9}{4}} \right)$.

Ta có: $M{F_1} = \dfrac{9}{4}; M{F_2} = \dfrac{{23}}{4}; N{F_1} = \dfrac{{23}}{4}; N{F_2} = \dfrac{9}{4}$.

Do đó $N{F_2} + M{F_1} = \dfrac{9}{2}.$

Elip $\left( E \right):\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow {F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {25 - 9}  = 8$

Gọi $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 2a = 10 \Rightarrow p = \dfrac{{M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2}}}{2} = 9$

Diện tích tam giác $M{F_1}{F_2}$ là: ${S_{M{F_1}{F_2}}} = \dfrac{1}{2}{F_1}{F_2}.d\left( {M;Ox} \right) = \dfrac{1}{2}.8.{y_M} = 4\left| {{y_M}} \right| = 4{y_M}\,\,\,\left( {do\,\,{y_M} > 0} \right)$

Lại có: ${S_{M{F_1}{F_2}}} = p.r \Leftrightarrow 4{y_M} = 9.\dfrac{4}{3} \Leftrightarrow {y_M} = 3 \in {y_M} \in \left( {\sqrt 8 ;5} \right)$

Elip có  hai đỉnh là $A(5;0)$ và $B(0;3)$ suy ra $a = 5$ và $b = 3$. Do đó, phương trình chính tắc của elip là:$\dfrac{{{x^2}}}{{25}} + \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$

Ta có ${F_1}{F_2} = 8$ và $c = 4$.

${C_{\Delta M{F_1}{F_2}}} = M{F_1} + M{F_2} + {F_1}{F_2} = 18 \Rightarrow M{F_1} + M{F_2} = 10 = 2a \Rightarrow a = 5$.

Tâm sai của elip: $e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}$.

$(H):\,4{x^2} - {y^2} = 4 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{4} = 1 \Rightarrow a = 1;b = 2$

Độ dài trục thực: ${A_1}{A_2} = 2a = 2.1 = 2$

Độ dài trục ảo: ${B_1}{B_2} = 2b = 2.2 = 4$.

$(H):\,\,16{x^2} - 9{y^2} = 16 \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}}}{1} - \dfrac{{{y^2}}}{{\dfrac{{16}}{9}}} = 1 \Rightarrow a = 1,\,\,b = \dfrac{4}{3}$

Hai đường tiệm cận của $(H)$: $y = \dfrac{b}{a}x = \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{1}x = \dfrac{4}{3}x;\,\,y =  - \dfrac{b}{a}x =  - \dfrac{{\dfrac{4}{3}}}{1}x =  - \dfrac{4}{3}x$.

$(H)$ có trục thực, trục ảo dài lần lượt là 10 và 6 $\Rightarrow a = 5,\,\,b = 3$.

Phương trình chính tắc của $(H)$:  $\dfrac{{{x^2}}}{{25}} - \dfrac{{{y^2}}}{9} = 1$.