Tập hợp và các phép toán trên tập hợp phần 1

\(A = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\) và \(B = \left\{ {1;2;3;6;9;18} \right\}\)

Khi đó $A \cap B = \left\{ {1;2;3;6} \right\}$.

Vì \(6\) là số tự nhiên nên \(6 \in N\).

Vì \(\sqrt 5 \) không là số hữu tỉ nên \(\sqrt 5  \notin Q\).

\(A = \{ x \in R\left| {x + 3 < 4 + 2x\} } \right. = \left\{ {x \in R| - x < 1} \right\} = \left\{ {x \in R|x >  - 1} \right\}\)

\(B = \{ x \in R\left| {5x - 3 < 4x - 1\} } \right. = \left\{ {x \in R|x < 2} \right\}\)

Do đó \(A \cap B = \left\{ {x \in R| - 1 < x < 2} \right\}\).

Mà \(x\) là số tự nhiên nên \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

Ta có : \({B_n} = \left\{ {x \in Z,x \vdots n} \right\},{B_m} = \left\{ {x \in Z,x \vdots m} \right\},{B_{mn}} = \left\{ {x \in Z,x \vdots mn} \right\}\) 

Rõ ràng \(x \vdots mn \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \vdots m\\x \vdots n\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \in {B_m}\\x \in {B_n}\end{array} \right. \Rightarrow x \in {B_n} \cap {B_m}\).

Lại có ${B_n} \cap {B_m} = \left\{ {x \in Z|x \vdots m,x \vdots n} \right\}$ nên để \({B_{mn}} = {B_n} \cap {B_m}\) thì \({B_n} \cap {B_m} \subset {B_{mn}}\), hay mọi số nguyên chia hết cho \(m\) và \(n\) thì đều chia hết cho tích \(m.n\).

Điều này chỉ xảy ra khi \(m,n\) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Khẳng định $2 = A$ sai vì \(2\) là một phần tử và \(A\) là một tập hợp nên không bằng nhau

Ta thấy mệnh đề \(A \in A\) sai vì giữa hai tập hợp không có quan hệ thuộc.

Ta có: ${B_3} \cap {B_6}$ là tập hợp các số tự nhiên vừa chia hết cho \(3\), vừa chia hết cho \(6\).

Ngoài ra ta thấy, các số tự nhiên nếu chia hết cho \(6\) thì chắc chắn chia hết cho \(3\) nên giao hai tập \({B_3},{B_6}\) chính là \({B_6}\).

Tập hợp \(A \cap B\) gồm những phần tử vừa thuộc \(A\) vừa thuộc \(B\)

\( \Rightarrow A \cap B = \left\{ {1;5} \right\}.\)

Ta có: $\left( {{x^2}-1} \right)\left( {{x^2} + {\rm{ }}2} \right) = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1$

Vậy $A = \left\{ {-1;1} \right\}$.

Ta có:

${x^4}-6{x^2} + 8 = 0 $ $\Leftrightarrow {x^4}-2{x^2} -4{x^2} + 8 = 0 $

$\Leftrightarrow {x^2}({x^2}-2) -4({x^2} -2)= 0 $

$\Leftrightarrow \left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 0 $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = 2\\{x^2} = 4\end{array} \right. $ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \sqrt 2 \\x =  \pm 2\end{array} \right.$

Vậy \(A=\left\{ { \pm \sqrt 2 ; \pm 2} \right\}\) nên \(A\) có \(4\) phần tử.

$X = \left\{ {1;3;5;8} \right\},Y = \left\{ {3;5;7;9} \right\} \Rightarrow X \cup Y = \left\{ {1;3;5;7;8;9} \right\}$.

Vì ${B_n} \cup {B_m} = {B_m}$ nên \({B_n} \subset {B_m}\) hay mọi số nguyên chia hết cho \(n\) đều chia hết cho \(m\).

Điều này có nghĩa \(n \vdots m\).

Ta có:

\(36 = {2^2}{.3^2};120 = {2^3}.3.5 \Rightarrow UCLN\left( {36;120} \right) = {2^2}.3 = 12\)

Vậy \(UC\left( {36;120} \right) = \left\{ {1;2;3;4;6;12} \right\}\).

Ta có :

${x^2}-4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \in N\\x =  - 2 \notin N\end{array} \right. $ $\Rightarrow A = \left\{ 2 \right\} \ne \emptyset $ (loại)

${x^2} + 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1 + \sqrt 2  \notin Z\\x =  - 1 - \sqrt 2  \notin Z\end{array} \right. $ $\Rightarrow B = \emptyset $ (nhận)

${x^2}-5 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm \sqrt 5  \in R $ $\Rightarrow C = \left\{ { \pm \sqrt 5 } \right\} \ne \emptyset $ (loại)

${x^2} + x-12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3 \in Q\\x =  - 4 \in Q\end{array} \right. $ $\Rightarrow D = \left\{ {3; - 4} \right\} \ne \emptyset $ (loại)

Nhận xét: ${B_6} \subset {B_3}$ nên ${B_3} \cup {B_6} = {B_3}$.

Ta thấy: \(\emptyset  \subset A,A \subset A,\emptyset  \subset \emptyset \) nên: $A \cup \emptyset  = A;A \cup A = A;\emptyset  \cup \emptyset  = \emptyset $.

Các đáp án A, B, C đều đúng.

Ta có : \({B_n} = \left\{ {x = nk|k \in N} \right\};{B_m} = \left\{ {x = mk|k \in N} \right\}\)

Mà \({B_n} \subset {B_m}\) nên mọi phần tử của \({B_n}\) đều nằm trong \({B_m}\), hay:

\(nk \in {B_m},\forall k \in N \Rightarrow nk \vdots m,\forall k \in N \Rightarrow n \vdots m\) hay \(n\) là bội của \(m\).

Ta có : \(X\) là tập hợp bội chung của \(4\) và \(6\) nên mọi phần tử của \(X\) đều chia hết cho \(BCNN\left( {4;6} \right) = 12\).

Vậy \(X = Y\).

Khi đó các mệnh đề \(X = Y,X \subset Y,Y \subset X\) đều đúng.

Ta có: $A{\rm{ }} = \{ 2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}6;{\rm{ }}9\} ,{\rm{ }}B{\rm{ }} = \{ 1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4\}  \Rightarrow A\backslash B = \left\{ {6;9} \right\}$.