Trong mặt phẳng $Oxy$, cho các điểm $A\left( { - 3;3} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {2; - 5} \right)$. Tọa độ điểm $M$ thỏa mãn $2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {CM} $ là:
Ta có: $2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {CM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left( { - 3 - {x_M}} \right) - \left( {2 - 1} \right) = 4\left( {{x_M} - 2} \right)\\2\left( {3 - {y_M}} \right) - \left( { - 5 - 4} \right) = 4\left( {{y_M} + 5} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \dfrac{1}{6}\\{y_M} = - \dfrac{5}{6}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\dfrac{1}{6}; - \dfrac{5}{6}} \right)$.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho tam giác \(MNP\) có \(M\left( {1; - 1} \right),\,N\left( {5; - 3} \right)\) và \(P\) thuộc trục \(Oy\),trọng tâm \(G\) của tam giác nằm trên trục \(Ox\).Toạ độ của điểm \(P\) là
Ta có: \(P\) thuộc trục \(Oy \Rightarrow P\left( {0;y} \right)\), \(G\) nằm trên trục \(Ox \Rightarrow G\left( {x;0} \right)\)
\(G\) là trọng tâm tam giác \(MNP\)nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{1 + 5 + 0}}{3}\\0 = \dfrac{{( - 1) + ( - 3) + y}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\end{array} \right.\)
Vậy \(P\left( {0;4} \right)\).
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho bốn điểm \(A\left( {3; - 2} \right),\;B\left( {7;1} \right),\;C\left( {0;1} \right),\;D\left( { - 8; - 5} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right),\,\overrightarrow {CD} = \left( { - 8; - 6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD} = - 2\overrightarrow {AB} \).
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( { - 2;0} \right),\;B\left( {5; - 4} \right),\;C\left( { - 5;1} \right)$. Tọa độ điểm $D$ để tứ giác $BCAD$ là hình bình hành là:
Ta có: tứ giác $BCAD$ là hình bình hành khi $\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {DA} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5 - 5 = - 2 - {x_D}\\1 + 4 = 0 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 8\\{y_D} = - 5\end{array} \right.$.
Cho \(M\left( {2;0} \right),\,N\left( {2;2} \right),\,P\left( { - 1;3} \right)\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(BC,\,CA,\,AB\) của \(\Delta ABC\). Tọa độ \(B\) là:
Ta có: $BPNM$ là hình bình hành nên $\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_N} = {x_P} + {x_M}\\{y_B} + {y_N} = {y_P} + {y_M}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} + 2 = 2 + ( - 1)\\{y_B} + 2 = 0 + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = - 1\\{y_B} = 1\end{array} \right.$.
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(\overrightarrow a = (2;1),\overrightarrow {{\rm{ }}b} = (3;4),{\rm{ }}\overrightarrow c = (7;2)\). Cho biết \(\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b \). Khi đó
Ta có: \(\overrightarrow c = m.\overrightarrow a + n.\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}7 = 2m + 3n\\2 = m + 4n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{{22}}{5}\\n = - \dfrac{3}{5}\end{array} \right.\).
Cho các vectơ $\overrightarrow a = \left( {4; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( { - 1; - 1} \right),\overrightarrow c = \left( {2;5} \right)$. Phân tích vectơ $\overrightarrow b $ theo hai vectơ $\overrightarrow a {\rm{ và }}\overrightarrow c $, ta được:
Giả sử $\overrightarrow b = m\overrightarrow a + n\overrightarrow c \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = 4m + 2n\\ - 1 = - 2m + 5n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{8}\\n = - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.$
Vậy $\overrightarrow b = - \dfrac{1}{8}\overrightarrow a - \dfrac{1}{4}\overrightarrow c $.
Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $A\left( {m - 1; - 1} \right),\,B\left( {2;2 - 2m} \right),\,C\left( {m + 3;3} \right)$. Tìm giá trị $m$ để $A,B,C$ là ba điểm thẳng hàng?
Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - m;3 - 2m} \right)$, $\overrightarrow {AC} = \left( {4;4} \right)$
Ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB} $ cùng phương với $\overrightarrow {AC} $
$ \Leftrightarrow \dfrac{{3 - m}}{4} = \dfrac{{3 - 2m}}{4} \Leftrightarrow m = 0$.
Cho các điểm \(A\left( { - 2;1} \right),\,B\left( {4;0} \right),\,C\left( {2;3} \right)\). Tìm điểm \(M\) biết rằng \(\overrightarrow {CM} + 3\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB} \)
Gọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right)\). Ta có:
\(\overrightarrow {CM} + 3\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} - 2 + 3\left( {2 + 2} \right) = 2\left( {4 + 2} \right)\\{y_M} - 3 + 3\left( {3 - 1} \right) = 2\left( {0 - 1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = 2\\{y_M} = - 5\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2; - 5} \right)\)
