Với giá trị nào của \(m\) thì hai đường thẳng \(\left( {{\Delta _1}} \right):3x + 4y - 1 = 0\) và \(\left( {{\Delta _2}} \right):\left( {2m - 1} \right)x + {m^2}y + 1 = 0\) trùng nhau.
Ta có: \({\Delta _1} \equiv {\Delta _1} \Leftrightarrow \dfrac{{2m - 1}}{3} = \dfrac{{{m^2}}}{4} = \dfrac{1}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2m - 1}}{3} = - 1\\\dfrac{{{m^2}}}{4} = - 1\left( {VN} \right)\end{array} \right.\)
Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn.
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho hình vuông $ABCD$ biết $M\left( {2;1} \right);N\left( {4;-2} \right);P\left( {2;0} \right);Q\left( {1;2} \right)$ lần lượt thuộc cạnh $AB,BC,CD,AD.$ Hãy lập phương trình cạnh $AB$ của hình vuông.
Giả sử đường thẳng $AB$ qua $M$ và có VTPT là $\vec n = \left( {a;b} \right)\,\,\,\,\left( {{a^2} + {b^2} \ne 0} \right)$
=> VTPT của $BC$ là: ${\vec n_1} = \left( { - b;a} \right)$.
Phương trình AB có dạng: $a\left( {x-2} \right) + b\left( {y-1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow ax + by-2a-b = 0$
BC có dạng: $-b\left( {x-4} \right) + a\left( {y + 2} \right) = 0\;$ $ \Leftrightarrow -bx + ay + 4b + 2a = 0$
Do $ABCD$ là hình vuông nên $d\left( {P,AB} \right) = d\left( {Q,BC} \right)$
$ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| { - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \dfrac{{\left| {3b + 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 2a\\b = - a\end{array} \right.$
TH1: \(b = - 2a\)
Chọn \(a = 1 \Rightarrow b = - 2\) ta được \(AB:x - 2y - 2.1 - \left( { - 2} \right) = 0\) hay \(x - 2y = 0\)
\(BC: - \left( { - 2} \right)x + y + 4.\left( { - 2} \right) + 2.1 = 0\) hay \(2x + y - 6 = 0\)
CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1; - 2} \right)\) làm VTPT
Do đó CD: 1(x-2) – 2(y-0) = 0 hay x-2y-2=0
AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {2;1} \right)\) làm VTPT
Do đó AD: 2(x-1) + 1(y-2) = 0 hay 2x+y-4=0
TH2: \(b = - a\)
Chọn \(a = 1 \Rightarrow b = - 1\) ta được \(AB:x - y - 2.1 - \left( { - 1} \right) = 0\) hay \(x - y - 1 = 0\)
\(BC: - \left( { - 1} \right)x + y + 4.\left( { - 1} \right) + 2.1 = 0\) hay \(x + y - 2 = 0\)
CD đi qua P(2;0) và song song AB nên nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {1; - 1} \right)\) làm VTPT
Do đó CD: 1(x-2) – 1(y-0) = 0 hay x-y-2=0
AD đi qua Q(1;2) và song song BC nên nhận \(\overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {1;1} \right)\) làm VTPT
Do đó AD: 1(x-1) + 1(y-2) = 0 hay x+y-3=0.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho đường thẳng \(\Delta :3x + y + 6 = 0\) và điểm \(M\left( {1;3} \right).\) Viết phương trình đường thẳng \(d\) biết \(d\) đi qua \(M\) và song song đường thẳng \(\Delta \).
Ta có: \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)\) là một VTPT.
Vì \(d//\Delta \Rightarrow \overrightarrow n \) cũng là VTPT của d.
\( \Rightarrow \) Phương trình d: \(3\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 6 = 0.\)
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy$, cho $2$ đường thẳng ${d_1}:x - 7y + 17 = 0,$
${d_2}:x + y - 5 = 0.$ Viết phương trình đường thẳng $d$ qua điểm $M\left( {0;1} \right)$ tạo với ${d_1},{d_2}$ một tam giác cân tại giao điểm của ${d_1},{d_2}$.
Phương trình đường phân giác góc tạo bởi ${d_1},{d_2}$ là:
$\dfrac{{\left| {x - 7y + 17} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( - 7)}^2}} }} = \dfrac{{\left| {x + y - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }}$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + 6y - 21 = 0{\rm{ (}}{\Delta _1}{\rm{)}}\\3x - y - 4 = 0{\rm{ (}}{\Delta _2}{\rm{)}}\end{array} \right.$
Đường thẳng cần tìm đi qua $M\left( {0;1} \right)$ và vuông góc với ${\Delta _1},{\Delta _2}$
+ Gọi \({d_3}\) là đường thẳng vuông góc với \({\Delta _1}\) thì \({d_3}\) có dạng: \(3x - y + c = 0\)
\({d_3}\) đi qua điểm \(M\left( {0;1} \right)\) nên \(3.0 - 1 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1\) hay \(3x - y + 1 = 0\)
+ Gọi \({d_4}\) là đường thẳng vuông góc với \({\Delta _2}\) thì \({d_4}\) có dạng: \(x + 3y + c = 0\)
\({d_4}\) đi qua điểm \(M\left( {0;1} \right)\) nên \(0 + 3.1 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 3\) hay \(x + 3y - 3 = 0\)
KL: $x + 3y - 3 = 0$ và $3x - y + 1 = 0$
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho $\Delta ABC$ cân có đáy là $BC.$ Đỉnh $A$ có tọa độ là các số dương, hai điểm $B$ và $C$ nằm trên trục $Ox,$ phương trình cạnh $AB:$ $y = 3\sqrt 7 (x - 1)$. Biết chu vi của $\Delta ABC$ bằng $18,$ tìm tọa độ các đỉnh $A,B,C.$
$B = AB \cap Ox \Rightarrow B(1;0)$, $A \in AB \Rightarrow A\left( {a;3\sqrt 7 (a - 1)} \right) \Rightarrow a > 1$ (do ${x_A} > 0,{y_A} > 0$).
Gọi $AH$ là đường cao \(\Delta ABC\), do \(\Delta ABC\) cân tại $A$ nên $AH$ cũng là đường trung tuyến, khi đó $H$ là trung điểm của $BC$
$ \Rightarrow H(a;0) \Rightarrow C(2a - 1;0) \Rightarrow BC = 2(a - 1),AB = AC = 8(a - 1)$
Chu vi tam giác \(ABC\) bằng \(18\) $ \Leftrightarrow a = 2 \Rightarrow C(3;0),A\left( {2;3\sqrt 7 } \right)$
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho $4$ điểm $A\left( {1;0} \right),B\left( {-2;4} \right),C\left( {-1;4} \right),D\left( {3;5} \right).$ Tìm toạ độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $(\Delta ):3x - y - 5 = 0$ sao cho hai tam giác $MAB,MCD$ có diện tích bằng nhau.
Phương trình tham số của \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t - 5\end{array} \right.\)
Điểm $M \in \Delta \Rightarrow M\left( {t;3t-5} \right)$
\(\overrightarrow {AB} \left( { - 3;4} \right);\overrightarrow {CD} \left( {4;1} \right)\)
Phương trình đường thẳng $AB:4x + 3y - 4 = 0$
Phương trình đường thẳng $CD:x - 4y + 17 = 0$
${S_{MAB}} = {S_{MCD}} \Leftrightarrow d(M,AB).AB = d(M,CD).CD$
\(\dfrac{{\left| {4t + 3(3t - 5) - 4} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.AB = \dfrac{{\left| {t - 4(3t - 5) + 17} \right|}}{{\sqrt {1 + {4^2}} }}.CD\)\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {13t - 19} \right|}}{5}.\sqrt {{4^2} + {3^2}} = \dfrac{{\left| { - 11t + 37} \right|}}{{\sqrt {17} }}.\sqrt {1 + {4^2}} \)
$ \Leftrightarrow t = - 9 \vee t = \dfrac{7}{3}$ $ \Rightarrow M( - 9; - 32),M\left( {\dfrac{7}{3};2} \right)$
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho \(\Delta ABC\) có đỉnh $A\left( {1;2} \right),$ phương trình đường trung tuyến \(BM:2x + y + 1 = 0\) và phân giác trong \(CD:x + y - 1 = 0\). Viết phương trình đường thẳng $BC.$
Điểm \(C \in CD:x + y - 1 = 0 \Rightarrow C\left( {t;1 - t} \right)\).
Suy ra trung điểm $M$ của $AC$ là \(M\left( {\dfrac{{t + 1}}{2};\dfrac{{3 - t}}{2}} \right)\).
$M$ thuộc $BM$ nên \((t + 1) + \dfrac{{3 - t}}{2} + 1 = 0 \Rightarrow t = - 7 \Rightarrow C\left( { - 7;8} \right)\)
Từ $A\left( {1;2} \right),$ kẻ \(AI \bot CD\left( {I \in CD} \right)\) cắt \(BC\) tại \(K\)
Suy ra \(AK:\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 1 = 0\)
Tọa độ điểm $I$ thỏa hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\x - y + 1 = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;1} \right)\)
Tam giác $ACK$ cân tại $C$ nên $I$ là trung điểm của $AK \Rightarrow K\left( { - 1;0} \right)$
Đường thẳng $BC$ đi qua $C,K$ nên có phương trình:
\(\dfrac{{x + 1}}{{ - 7 + 1}} = \dfrac{y}{8} \Leftrightarrow 4x + 3y + 4 = 0\)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy,$ cho hình chữ nhật $ABCD$ có điểm $I\left( {6;2} \right)$ là giao điểm của $2$ đường chéo $AC$ và $BD.$ Điểm $M\left( {1;5} \right)$ thuộc đường thẳng $AB$ và trung điểm $E$ của cạnh $CD$ thuộc đường thẳng $\Delta :x + y-5 = 0.$ Viết phương trình đường thẳng $AB.$
$I\left( {6;2} \right);M\left( {1;5} \right)$
$\Delta :x + y-5 = 0,E \in \Delta \Rightarrow E\left( {m;5-m} \right);$
Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB\)
$I$ trung điểm $NE$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_E} = 12 - m\\{y_N} = 2{y_I} - {y_E} = 4 - 5 + m = m - 1\end{array} \right.$ $ \Rightarrow N\left( {12-m;m-1} \right)$
$\overrightarrow {MN} = \left( {11-m;m-6} \right);$ $\overrightarrow {IE} = \left( {m - 6;5-m-2} \right) = \left( {m-6;3-m} \right)$
$\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {IE} = 0$$ \Leftrightarrow \left( {11-m} \right)\left( {m-6} \right) + \left( {m-6} \right)\left( {3-m} \right) = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m-6 = 0\\14 - 2m = 0\end{array} \right.$ \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\\m = 7\end{array} \right.\)
+ $m = 6 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {5;0} \right)$ nên phương trình $AB$ là $y = 5$
+ $m = 7 \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {4;1} \right)$ nên phương trình $AB$ là $x-4y + 19 = 0$
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$ cho tam giác $ABC$ có phương trình đường phân giác trong góc $A$ là ${d_1}:x + y + 2 = 0,$ phương trình đường cao vẽ từ $B$ là ${d_2}:2x-y + 1 = 0,$ cạnh $AB$ đi qua $M\left( {1;-1} \right).$ Tìm phương trình cạnh $AC.$
Gọi $N$ là điểm đối xứng của $M$ qua \({d_1} \Rightarrow N \in AC\)
\(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - 1,\,\,{y_N} + 1)\)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} \) cùng phương \({\overrightarrow n _{{d_1}}} = (1;\,\,1)\)
\( \Leftrightarrow \,\,1({x_N} - 1) - 1({y_N} + 1) = 0\)\( \Leftrightarrow {x_N} - {y_N} = 2\,\,\,(1)\)
Tọa độ trung điểm $I$ của \(MN:\)\({x_I} = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right),{y_I} = \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right)\)
\(I \in \left( {{d_1}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 + {x_N}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( { - 1 + {y_N}} \right) + 2 = 0\)\( \Leftrightarrow {x_N} + {y_N} + 4 = 0\,\,\,\,(2)\)
Giải hệ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được $N\left( {-1;-3} \right)$
Phương trình cạnh $AC$ vuông góc với \({d_2}\) có dạng: $x + 2y + C = 0.$
\(N \in AC\)\( \Leftrightarrow - 1 + 2.( - 3) + C = 0\)\( \Leftrightarrow C = 7\)
Vậy, phương trình cạnh $AC:$ $x + 2y + 7 = 0.$
