Đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ

 $\left\{ \begin{align} & {{d}_{1}}:x+2y-7=0\to {{{\vec{n}}}_{1}}=\left( 1;2 \right) \\  & {{d}_{2}}:2x-4y+9=0\to {{{\vec{n}}}_{2}}=\left( 1;-2 \right) \\ \end{align} \right.$ $\xrightarrow{\varphi =\left( {{d}_{1}};{{d}_{2}} \right)}\cos \varphi =\dfrac{\left| 1-4 \right|}{\sqrt{1+4}.\sqrt{1+4}}=\dfrac{3}{5}.$

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:6x - 5y + 15 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {6; - 5} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 10 - 6t\\y = 1 + 5t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {5;6} \right)\end{array} \right. \to {\vec n_1} \cdot {\vec n_2} = 0 \Rightarrow \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right) = \varphi  = {90^ \circ }.$

Ta có

   $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:3x + 4y + 12 = 0 \to {{\vec n}_1} = \left( {3;4} \right)\\{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right. \to {{\vec n}_2} = \left( {2;a} \right)\end{array} \right.$

$\varphi  = \left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0} \Rightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \cos {45^0} = \cos \varphi  = \dfrac{{\left| {6 + 4a} \right|}}{{\sqrt {25} .\sqrt {{a^2} + 4} }}$

$\Leftrightarrow 25\left( {{a^2} + 4} \right) = 8\left( {4{a^2} + 12a + 9} \right) \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 14\\a = \dfrac{2}{7}\end{array} \right..$

Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:

$d\left( {M,\Delta } \right) = \,\dfrac{{\left| {\left. {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|} \right.}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}.$

Tọa độ giao điểm A của hai đường thẳng x-3y+4=0 và 2x+3y-1=0 thỏa mãn hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x - 3y + 4 = 0\\2x + 3y - 1 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x - 3y = - 4\\ 2x + 3y = 1 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 1\end{array} \right.$

$\to A\left( { - 1;1} \right)$

$\to d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - 3 + 1 + 4} \right|}}{{\sqrt {9 + 1} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {10} }}.$

$\left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;2} \right)\\B\left( {0;3} \right),\,\,C\left( {4;0} \right) \end{array} \right.\\\to BC:3(x-0) + 4(y - 3) =3x+4y-12= 0\\ \to {h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \dfrac{{\left| {3 + 8 - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = \dfrac{1}{5}.$

Cách 1:

+) Viết phương trình $BC$:

Ta có: $\overrightarrow {BC}  = \left( {2; - 4} \right)$ nên $\overrightarrow {{u_{BC}}}  = \dfrac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \left( {1; - 2} \right)$ là VTCP của $BC$, do đó $\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)$.

Đường thẳng $BC$ đi qua $B\left( {1;5} \right)$ và nhận $\overrightarrow {{n_{BC}}}  = \left( {2;1} \right)$ làm VTPT nên: $BC:2\left( {x - 1} \right) + 1\left( {y - 5} \right) = 0$ hay $BC:2x + y - 7 = 0$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\B\left( {1;5} \right),\,C\left( {3;1} \right)\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}A\left( {3; - 4} \right)\\BC = 2\sqrt 5 \\BC:2x + y - 7 = 0\end{array} \right. \to \left\{ \begin{array}{l}BC = 2\sqrt 5 \\{h_A} = d\left( {A;BC} \right) = \sqrt 5 \end{array} \right.$

 $\to {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 5 .\sqrt 5  = 5.$

Gọi $M\left( {x;y} \right)$ là giao điểm của ${d_1}$ và ${d_2}$, khi đó $M \in {d_1}$ nên tọa độ của $M$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.$

 Thay vào ${d_2}$  ta có: $\dfrac{{ - 1 + 3t + 3}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1}$ $\Rightarrow \dfrac{{3t + 2}}{3} = \dfrac{{1 + 2t}}{1}$ $\Rightarrow 3t + 2 = 6t + 3$ $\Rightarrow 3t =  - 1$ $\Rightarrow t = \dfrac{{ - 1}}{3}$

Giao điểm của hai đường thẳng là $\left( { - 2;\dfrac{1}{3}} \right)$

$d\left( {A;\Delta } \right) = \dfrac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5$ $\Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1}$ $\Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 2\\m = \dfrac{1}{2}\end{array} \right..$

Ta có:

${d_1}$ cắt ${d_2}$ khi và chỉ khi:

$\begin{array}{l}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_1}}&{{b_1}}\\{{a_2}}&{{b_2}}\end{array}} \right| \ne 0 \Leftrightarrow {a_1}{b_2} - {a_2}{b_1} \ne 0\\ \Leftrightarrow m.m - 1.1 \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\end{array}$

+) TH1: $\left( d \right)$ không có hệ số góc.

Khi đó phương trình $\left( d \right)$ có dạng: $x - c = 0$.

$\left( d \right)$ đi qua $M\left( {1;2} \right)$ nên $x - 1 = 0$ nên có VTPT $\overrightarrow n  = \left( {1;0} \right)$.

$\Rightarrow \cos \left( {d,\Delta } \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} .\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_\Delta }} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|}}$ $= \dfrac{{\left| {3.1 - 2.0} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {13} }}$ $\ne \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos {45^0}$.

Do đó đường thẳng này không thỏa mãn bài toán.

+) TH2: $\left( d \right)$ có hệ số góc.

PTĐT $\left( d \right)$ được viết dưới dạng: $y - 2 = k\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow kx - y + 2-k = 0$

Vì $\left( d \right)$ hợp với $\left( \Delta  \right)$ một góc ${45^0}$ nên: ${\rm{cos 4}}{{\rm{5}}^0} = \dfrac{{|3k + ( - 1).( - 2)|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} .\sqrt {{3^2} + {{( - 2)}^2}} }}$ $\Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{|3k + 2|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{k^2} + 1} }}$ $\Leftrightarrow \dfrac{2}{4} = \dfrac{{9{k^2} + 12k + 4}}{{13.({k^2} + 1)}}$

$\Leftrightarrow 5{k^2} + 24k - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \dfrac{1}{5}\\k =  - 5\end{array} \right.$

Vậy phương trình $\left( d \right)$ là: $\dfrac{1}{5}x - y + 2 - \dfrac{1}{5} = 0 \Leftrightarrow x - 5y + 9 = 0$ hay $- 5x - y + 2 - ( - 5) = 0 \Leftrightarrow 5x + y - 7 = 0$

Ta thấy $\dfrac{3}{3} \ne \dfrac{{ - 2}}{2}$ nên hai đường thẳng $\left( \Delta  \right)$ và $\left( {{d_1}} \right)$ cắt nhau.

+) TH1: $\left( \Delta  \right)$ không có hệ số góc, khi đó phương trình $\left( \Delta  \right)$ có dạng $x = c$ hay $x - c = 0$.

$\left( \Delta  \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;7} \right)$ nên $2 - c = 0 \Leftrightarrow c = 2$ $\Rightarrow \left( \Delta  \right):x - 2 = 0$.

Khi đó $d\left( {N,\left( \Delta  \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 1$ (thỏa mãn).

Do đó ta có đường thẳng $\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0$.

+) TH2: $\left( \Delta  \right)$ có hệ số góc.

PTĐT $\left( \Delta  \right)$  đi qua điểm $M\left( {2;7} \right)$  và có hệ số góc $k$  có dạng là:

$y - 7 = k\left( {x - 2} \right)$$\Leftrightarrow$$kx - y + 7 - 2k = 0$

Vì $\left( \Delta  \right)$ cách $N\left( {1;2} \right)$ một khoảng bằng $1$  nên:

Ta có: $d(N, ∆) =1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{|k.1 - 2 + 7 - 2.k|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{| - k + 5|}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1 \Leftrightarrow {( - k + 5)^2} = {(\sqrt {{k^2} + 1} )^2}\\ \Leftrightarrow {k^2} - 10k + 25 = {k^2} + 1 \Leftrightarrow k = \dfrac{{12}}{5}\end{array}$

Do đó ta có phương trình $\left( \Delta _2 \right)$ là: $\dfrac{{12}}{5}x - y + 7 - 2.\dfrac{{12}}{5} = 0$ $\Leftrightarrow 12x - 5y + 11 = 0$

Vậy có hai đường thẳng cần tìm là $\left( {{\Delta _1}} \right):x - 2 = 0$ và $\left( \Delta _2 \right):12x - 5y + 11 = 0$.

Ta có $\left( d \right):\,y = 2x - 1 \Rightarrow \left( d \right):2x - y - 1 = 0$.

Xét từng đáp án ta thấy:

Đáp án A: $\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{5}$ nên hai đường thẳng song song.

Đáp án B: $\dfrac{2}{2} = \dfrac{{ - 1}}{{ - 1}} \ne \dfrac{{ - 1}}{{ - 5}}$ nên hai đường thẳng song song.

Đáp án C: $\dfrac{{ - 2}}{2} = \dfrac{1}{{ - 1}} \ne \dfrac{0}{{ - 1}}$ nên hai đường thẳng song song.

Đáp án D: $\dfrac{2}{2} \ne \dfrac{{ - 1}}{1}$ nên đường thẳng ở đáp án D không song song với $d$.

Điểm $M \in d$ nên tọa độ của $M$  phải thỏa mãn phương trình của $d.$

Gọi $M(2 + 2t;3 + t) \in d$.

Ta có:$\overrightarrow {AM}  = (2 + 2t;2 + t)$.

Theo giả thiết: $\overrightarrow {\left| {AM} \right|}  = 5 \Leftrightarrow \sqrt {{{(2 + 2t)}^2} + {{(2 + t)}^2}}  = 5$$\Leftrightarrow {(2 + 2t)^2} + {(2 + t)^2} = 25$

$\Leftrightarrow 5{t^2} + 12t - 17 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = \dfrac{{ - 17}}{5}\end{array} \right.$.

Vậy có $2$  điểm $M$  thỏa ycbt ${M_1}(4;4)$ và ${M_2}(\dfrac{{ - 24}}{5};\dfrac{{ - 2}}{5})$.

+) Nếu $m = 0$ thì ${d_1}:y = 1,{d_2}:x = 2$ cắt nhau tại $\left( {2;1} \right)$.

+) Nếu $m \ne 0$ thì ${d_1}//{d_2} \Leftrightarrow \dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{m}{1} = \dfrac{1}{m}\\\dfrac{1}{m} \ne \dfrac{{m + 1}}{2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\1.2 \ne m\left( {m + 1} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\{m^2} + m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm 1\\m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m =  - 1\end{array}$

Vì: $\dfrac{1}{3} \ne \dfrac{3}{1}$ nên $d$  cắt $d'$

 Phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi $d$ và $d'$ là:

$\dfrac{{x + 3y - 6}}{{\sqrt {10} }} =  \pm \dfrac{{3x + y + 2}}{{\sqrt {10} }}$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 6 = 3x + y + 2}\\{x + 3y - 6 =  - \left( {3x + y + 2} \right)}\end{array}} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y + 4 = 0}\\{x + y - 1 = 0}\end{array}} \right.$

Ta có: $\left( {{\Delta _1}} \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {11; - 12} \right)$; $\left( {{\Delta _2}} \right)$ có VTPT là $\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {12;11} \right)$.

Xét $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}}  = 11.12 - 12.11 = 0$ $\Rightarrow \left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right)$

+ Cạnh $AB$ đi qua hai điểm $A,B$ nên phương trình cạnh $AB: x - 2y - 2 = 0$

+ Cạnh $AC$ đi qua hai điểm $A,C$ nên phương trình cạnh $AC: 2x + y - 4 = 0$

+ Phương trình hai đường phân giác của góc $A$:

 $\dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt 5 }} =  \pm \dfrac{{2x + y - 4}}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 3y - 2 = 0\quad \left( d \right)}\\{3x - y - 6 = 0\quad \left( {d'} \right)}\end{array}} \right.$

+ Xét đường phân giác $\left( d \right):x + 3y - 2 = 0$

Thế tọa độ điểm $B$  vào vế trái của $d$: ${t_1} = 4 + 3.1 - 2 = 5 > 0$

Thế tạo độ điểm $C$  vào vế trái của $d$: ${t_2} = 1 + 3.2 - 2 = 5 > 0$

Vì ${t_1}.{t_2} > 0$ nên $B$  và $C$  nằm cùng phía đối với $d \Rightarrow d$ là đường phân giác ngoài

Vậy đường phân giác trong của góc $A$  là: $d':3x - y - 6 = 0$

$\left( {{\Delta _1}} \right)$ có $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {{m^2} + 1; - m} \right)$; $\left( {{\Delta _2}} \right)$ có $\overrightarrow {{u_2}}  = \left( { - 3; - 4m} \right)$

 $\left( {{\Delta _1}} \right) \bot \left( {{\Delta _2}} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow {{u_1}}  \bot \overrightarrow {{u_2}}  \Leftrightarrow  - 3\left( {{m^2} + 1} \right) + 4{m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} = 3 \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 3$