Bài tập ôn tập chương 2

ĐKXĐ: ${x^3} + {x^2} - 5x - 2 \ne 0$$\Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2}\\{x \ne \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2;\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}$

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 4 > 0\\x + 2 \ge 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} > 0\\x \ge  - 2\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}x \ne 2\\x \ge  - 2\end{array}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}$.

Khi $x \ge 1$ thì hàm số là $y = \dfrac{1}{x}$ luôn xác định với $x \ge 1$.

$=>$ ${D_1} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Khi $x < 1$ thì hàm số là $y = \sqrt {x + 1}$ xác định khi

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x \ge  - 1}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow  - 1 \le x < 1$

$=>$${D_2} = \left[ { - 1;1} \right)$

Do đó hàm số đã cho có tập xác định $D = \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left[ { - 1;1} \right) = \left[ { - 1; + \infty } \right)$

ĐKXĐ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - m + 2 \ge 0}\\{\sqrt {x - m + 2}  \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge m - 2}\\{x \ne m - 1}\end{array}} \right.$

Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {m - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {m - 1} \right\}$.

Hàm số xác định trên $\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right) \cup \left( {m - 1; + \infty } \right)$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right)}\\{\left( {0;1} \right) \subset \left( {m - 1; + \infty } \right)}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m - 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m \le 1}\end{array}} \right.$

Vậy $m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\}$ là giá trị cần tìm.

Ta có TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}$

Với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có $- x \in \mathbb{R}$ và $f( - x) = 3{\left( { - x} \right)^3} + 2\sqrt[3]{{ - x}} =  - \left( {3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}} \right) =  - f(x)$

Do đó $f(x) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}$ là hàm số lẻ.

Ta có TXĐ: $D = \mathbb{R}$

Dễ thấy mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có $- x \in \mathbb{R}$

Với mọi $x > 0$ ta có $- x < 0$  suy ra $f\left( { - x} \right) =  - 1,\,f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)$

Với mọi $x < 0$ ta có $- x > 0$  suy ra $f\left( { - x} \right) = 1,\,f\left( x \right) =  - 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)$

Và $f\left( { - 0} \right) =  - f\left( 0 \right) = 0$                

Do đó  với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có $f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)$

Vậy hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1\,\,\,Khi\,\,x < 0}\\{0\,\,\,\,Khi\,\,x = 0}\\{1\,\,\,\,Khi\,\,x > 0}\end{array}} \right.$ là hàm số lẻ.

ĐKXĐ: $\sqrt {{x^2} + 1}  \ne m$ (*)

Giả sử hàm số chẵn suy ra $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

Ta có $f\left( { - x} \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}$

Suy ra  $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

$\Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}} = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - m}}$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

$\Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} - 2} \right)x = 0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)

$\Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0$$\Leftrightarrow m =  \pm 1$

*  Với $m = 1$ ta có hàm số là $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}$

ĐKXĐ : $\sqrt {{x^2} + 1}  \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0$

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

Dễ thấy với mọi $x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ ta có $- x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ và $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$

Do đó $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  - 1}}$ là hàm số chẵn

*  Với $m =  - 1$  ta có hàm số là $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}}$

TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}$

Dễ thấy với mọi $x \in \mathbb{R}$ ta có $- x \in \mathbb{R}$ và $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$

Do đó $f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1}  + 1}}$ là hàm số chẵn.

Vậy $m =  \pm 1$ là giá trị cần tìm.

Ta có TXĐ: $D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$

Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ

$\Leftrightarrow f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {\left( { - x} \right)^3} - ({m^2} - 9){\left( { - x} \right)^2} + (m + 3)\left( { - x} \right) + m - 3$

$\begin{array}{l} =  - \left[ {{x^3} - ({m^2} - 9){x^2} + (m + 3)x + m - 3} \right],\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 2({m^2} - 9){x^2} - 2\left( {m - 3} \right) = 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 9 = 0}\\{m - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 3\end{array}$

Ta có TXĐ: $D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow  - x \in D$

Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn

$\Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow {\left( { - x} \right)^4} - ({m^2} - 3m + 2){\left( { - x} \right)^3} + {m^2} - 1 = {x^4} - ({m^2} - 3m + 2){x^3} + {m^2} - 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow 2({m^2} - 3m + 2){x^3} = 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = 2}\end{array}} \right.$

Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} > {x_2}$ ta có $f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \dfrac{3}{{{x_2} - 1}} - \dfrac{3}{{{x_1} - 1}} = \dfrac{{3\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)}}$

Vì ${x_1} > 1,\,\,{x_2} > 1 \Rightarrow {x_1} - 1 > 0;{x_2} - 1 > 0$

Mà ${x_1} > {x_2}$ nên ${x_1} - {x_2} > 0$

Do đó $f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) > 0$ hay $f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0$ với ${x_1} > {x_2}$nên hàm số $y = \dfrac{3}{{x - 1}}$ nghịch biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$.

Điểm $M\left( { - 1;2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi

$2 =  - m - 2({m^2} + 1) + 2{m^2} - m \Leftrightarrow m =  - 2$

Vậy $m =  - 2$ là giá trị cần tìm.

Để $N\left( {x;y} \right)$ là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua, điều kiện cần và đủ là $y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m,\,\,\forall m$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{m^2}\left( {1 - {x^2}} \right) + m\left( {{x^3} - 1} \right) - 2{x^2} - y = 0,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = 0\\{x^3} - 1\\2{x^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y =  - 2}\end{array}} \right.\end{array}$

Vậy đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm $N\left( {1; - 2} \right)$.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right):\,\,y = {x^2} + x,$ $d:\,\,y =  - x + 3$ ta được:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + x =  - x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3 \Rightarrow y =  - \left( { - 3} \right) + 3 = 6\\x = 1 \Rightarrow y =  - 1 + 3 = 2\end{array} \right.\end{array}$

$\Rightarrow$ Giao điểm của $\left( P \right)$ với đường thẳng $d$ là $M\left( {1;2} \right),\,\,N\left( { - 3;6} \right).$

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$  và đường thẳng $d$  ta có:

$\begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = 0\\{x_2} = 3 \Rightarrow {y_2} = 2\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;\,\,0} \right)\\B\left( {3;\,\,2} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$ là:

${x^2} + 2x - 5 = 2mx + 2 - 3m$$\Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 - m} \right)x + 3m - 7 = 0$ (1)

 Để $\left( P \right)$ cắt d tại hai điểm phân biệt nằm phía bên phải trục tung $\Leftrightarrow$ (1) có 2 nghiệm dương phân biệt

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {1 - m} \right)^2} - \left( {3m - 7} \right) > 0\\ - 2\left( {1 - m} \right) > 0\\3m - 7 > 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 8 > 0\\1 - m < 0\\3m > 7\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\\m > 1\\m > \dfrac{7}{3}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m > \dfrac{7}{3}$

Đỉnh của $\left( P \right)$ là $I\left( { - 1; - 4} \right)$. Đường thẳng $y = cx + d$ di qua điểm $I\left( { - 1; - 4} \right)$ nên ta có: $- 4 =  - 1.c + d \Rightarrow c - d = 4$.

Do $a = 3 > 0$ nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $x = m - 1$. Hàm số luôn đạt giá trị nhỏ nhất tại $x \in \left[ { - 1;1} \right]$ khi và chỉ khi $m - 1 \in \left[ { - 1;1} \right]$

$\Leftrightarrow  - 1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2$

Vậy $m \in \left[ {0;2} \right]$

$\Delta  = 4{m^2} - 4.\left( {2 - m} \right) = 4{m^2} + 4m - 8$

Do $a = 1 > 0$ nên hàm số luôn đạt giá trị nhỏ nhất bằng $- \dfrac{\Delta }{{4a}} =  - {m^2} - m + 2$

Khi đó

 $\begin{array}{l}M =  - {m^2} - m + 2 \in \left[ { - 4;0} \right] \Leftrightarrow  - 4 \le  - {m^2} - m + 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 \ge 0\\{m^2} + m - 6 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le  - 2\end{array} \right.\\ - 3 \le m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 \le m \le 2\\ - 3 \le m \le  - 2\end{array} \right.\end{array}$

Vậy $m \in \left[ { - 3; - 2} \right] \cup \left[ {1;2} \right]$

Hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$ là nghiệm của phương trình $- {x^2} + 2x =  - bx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 + b} \right)x + 2 = 0$.

Áp dụng hệ thức vi-ét ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 + b\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {2 + b} \right)^2} - 4.2 = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = 1$

Suy ra ${\left( {b + 2} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b + 2 = 3\\b + 2 =  - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b =  - 5\end{array} \right.$

Ta tịnh tiến đồ thị hàm số $y = {x^2} + 1$ sang phải $2$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1$ rồi tịnh tiến lên trên $1$ đơn vị ta được đồ thị hàm số $y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1+1$ hay $y = {x^2} - 4x + 6$.

Vậy hàm số cần tìm là $y = {x^2} - 4x + 6$.