Tìm tập xác định của hàm số$y = \dfrac{{x - 2}}{{{x^3} + {x^2} - 5x - 2}}$
ĐKXĐ: \({x^3} + {x^2} - 5x - 2 \ne 0\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 2}\\{x \ne \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ {2;\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2};\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}} \right\}$
Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{{x\sqrt {{x^2} - 4x + 4} }}$
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{x^2} - 4x + 4 > 0\\x + 2 \ge 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} > 0\\x \ge - 2\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne 0}\\\begin{array}{l}x \ne 2\\x \ge - 2\end{array}\end{array}} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ { - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {0;2} \right\}$.
Tìm tập xác định của hàm số$y = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x}\quad khi\;x \ge 1\\\sqrt {x + 1} \quad khi\;x < 1\end{array} \right.$
Khi \(x \ge 1\) thì hàm số là \(y = \dfrac{1}{x}\) luôn xác định với $x \ge 1$.
$=>$ ${D_1} = \left[ {1; + \infty } \right)$
Khi \(x < 1\) thì hàm số là \(y = \sqrt {x + 1} \) xác định khi
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x + 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x < 1}\\{x \ge - 1}\end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow - 1 \le x < 1\)
$=>$${D_2} = \left[ { - 1;1} \right)$
Do đó hàm số đã cho có tập xác định $D = \left[ {1; + \infty } \right) \cup \left[ { - 1;1} \right) = \left[ { - 1; + \infty } \right)$
Cho hàm số: \(y = \dfrac{{mx}}{{\sqrt {x - m + 2} - 1}}\) với \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để hàm số xác định trên \(\left( {0;1} \right)\)
ĐKXĐ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - m + 2 \ge 0}\\{\sqrt {x - m + 2} \ne 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge m - 2}\\{x \ne m - 1}\end{array}} \right.\)
Suy ra tập xác định của hàm số là ${\rm{D}} = \left[ {m - 2; + \infty } \right)\backslash \left\{ {m - 1} \right\}$.
Hàm số xác định trên \(\left( {0;1} \right) \Leftrightarrow \left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right) \cup \left( {m - 1; + \infty } \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {0;1} \right) \subset \left[ {m - 2;m - 1} \right)}\\{\left( {0;1} \right) \subset \left( {m - 1; + \infty } \right)}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m - 1 \le 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 2}\\{m \le 1}\end{array}} \right.\)
Vậy \(m \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left\{ 2 \right\}\) là giá trị cần tìm.
Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(f(x) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\).
Ta có TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}$
Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\) và \(f( - x) = 3{\left( { - x} \right)^3} + 2\sqrt[3]{{ - x}} = - \left( {3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}} \right) = - f(x)\)
Do đó \(f(x) = 3{x^3} + 2\sqrt[3]{x}\) là hàm số lẻ.
Xét tính chẵn lẻ của hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1\,\,\,Khi\,\,x < 0}\\{0\,\,\,\,Khi\,\,x = 0}\\{1\,\,\,\,Khi\,\,x > 0}\end{array}} \right.\)
Ta có TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)
Dễ thấy mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\)
Với mọi \(x > 0\) ta có \( - x < 0\) suy ra \(f\left( { - x} \right) = - 1,\,f\left( x \right) = 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
Với mọi \(x < 0\) ta có \( - x > 0\) suy ra \(f\left( { - x} \right) = 1,\,f\left( x \right) = - 1 \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
Và \(f\left( { - 0} \right) = - f\left( 0 \right) = 0\)
Do đó với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \(f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\)
Vậy hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1\,\,\,Khi\,\,x < 0}\\{0\,\,\,\,Khi\,\,x = 0}\\{1\,\,\,\,Khi\,\,x > 0}\end{array}} \right.\) là hàm số lẻ.
Tìm \(m\) để hàm số: \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}\) là hàm số chẵn.
ĐKXĐ: \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne m\) (*)
Giả sử hàm số chẵn suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)
Ta có \(f\left( { - x} \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}\)
Suy ra \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}} = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)
\( \Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} - 2} \right)x = 0\) với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện (*)
\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow m = \pm 1\)
* Với \(m = 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}\)
ĐKXĐ : \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0\)
Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$
Dễ thấy với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}\) là hàm số chẵn
* Với \(m = - 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\)
TXĐ: ${\rm{D}} = \mathbb{R}$
Dễ thấy với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)
Do đó \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\) là hàm số chẵn.
Vậy \(m = \pm 1\) là giá trị cần tìm.
Tìm \(m\) để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ $O$ làm tâm đối xứng \(y = {x^3} - ({m^2} - 9){x^2} + (m + 3)x + m - 3\).
Ta có TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)
Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ
\( \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {\left( { - x} \right)^3} - ({m^2} - 9){\left( { - x} \right)^2} + (m + 3)\left( { - x} \right) + m - 3\)
\(\begin{array}{l} = - \left[ {{x^3} - ({m^2} - 9){x^2} + (m + 3)x + m - 3} \right],\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow 2({m^2} - 9){x^2} - 2\left( {m - 3} \right) = 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^2} - 9 = 0}\\{m - 3 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m = 3\end{array}\)
Tìm \(m\) để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng
\(y = {x^4} - ({m^2} - 3m + 2){x^3} + {m^2} - 1\).
Ta có TXĐ: \(D = \mathbb{R} \Rightarrow \forall x \in D \Rightarrow - x \in D\)
Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn
\( \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow {\left( { - x} \right)^4} - ({m^2} - 3m + 2){\left( { - x} \right)^3} + {m^2} - 1 = {x^4} - ({m^2} - 3m + 2){x^3} + {m^2} - 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)
\( \Leftrightarrow 2({m^2} - 3m + 2){x^3} = 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = 2}\end{array}} \right.\)
Xét sự biến thiên của hàm số\(y = \dfrac{3}{{x - 1}}\) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)
Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left( {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} > {x_2}$ ta có \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \dfrac{3}{{{x_2} - 1}} - \dfrac{3}{{{x_1} - 1}} = \dfrac{{3\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}}{{\left( {{x_2} - 1} \right)\left( {{x_1} - 1} \right)}}\)
Vì \({x_1} > 1,\,\,{x_2} > 1 \Rightarrow {x_1} - 1 > 0;{x_2} - 1 > 0\)
Mà \({x_1} > {x_2}\) nên \({x_1} - {x_2} > 0\)
Do đó \(f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) > 0\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) < 0\) với \({x_1} > {x_2}\)nên hàm số \(y = \dfrac{3}{{x - 1}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Cho hàm số \(y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m\). Tìm \(m\) để điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho
Điểm \(M\left( { - 1;2} \right)\) thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi
\(2 = - m - 2({m^2} + 1) + 2{m^2} - m \Leftrightarrow m = - 2\)
Vậy \(m = - 2\) là giá trị cần tìm.
Cho hàm số \(y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m\). Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua với mọi \(m\).
Để \(N\left( {x;y} \right)\) là điểm cố định mà đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua, điều kiện cần và đủ là \(y = m{x^3} - 2({m^2} + 1){x^2} + 2{m^2} - m,\,\,\forall m\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{m^2}\left( {1 - {x^2}} \right) + m\left( {{x^3} - 1} \right) - 2{x^2} - y = 0,\,\,\,\forall m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = 0\\{x^3} - 1\\2{x^2} + y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{y = - 2}\end{array}} \right.\end{array}\)
Vậy đồ thị hàm số đã cho luôn đi qua điểm \(N\left( {1; - 2} \right)\).
Tọa độ giao điểm của \(\left( P \right):y = {x^2} + x\) với đường thẳng \(d:y = - x + 3\) là
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right):\,\,y = {x^2} + x,\) \(d:\,\,y = - x + 3\) ta được:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + x = - x + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3 \Rightarrow y = - \left( { - 3} \right) + 3 = 6\\x = 1 \Rightarrow y = - 1 + 3 = 2\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(\left( P \right)\) với đường thẳng \(d\) là \(M\left( {1;2} \right),\,\,N\left( { - 3;6} \right).\)
Tọa độ giao điểm của parabol \(\left( P \right):\,\,\,\,y = {x^2} - 3x + 2\) và đường thẳng \(y = x - 1\) là:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(d\) ta có:
\(\begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0\\x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} = 0\\{x_2} = 3 \Rightarrow {y_2} = 2\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;\,\,0} \right)\\B\left( {3;\,\,2} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2} + 2x - 5\) và đường thẳng \(d:y = 2mx + 2 - 3m\). Tìm tất cả các giá trị \(m\) để \(\left( P \right)\) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm phía bên phải trục tung.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$ là:
\({x^2} + 2x - 5 = 2mx + 2 - 3m\)\( \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 - m} \right)x + 3m - 7 = 0\) (1)
Để \(\left( P \right)\) cắt d tại hai điểm phân biệt nằm phía bên phải trục tung \( \Leftrightarrow \) (1) có 2 nghiệm dương phân biệt
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {1 - m} \right)^2} - \left( {3m - 7} \right) > 0\\ - 2\left( {1 - m} \right) > 0\\3m - 7 > 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 8 > 0\\1 - m < 0\\3m > 7\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - \dfrac{5}{2}} \right)^2} + \dfrac{7}{4} > 0\\m > 1\\m > \dfrac{7}{3}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow m > \dfrac{7}{3}\)
Đồ thị hàm số \(y = cx + d\) đi qua đỉnh của parabol \(\left( P \right):y = {x^2} + 2x - 3\) thì \(c - d\) bằng bao nhiêu?
Đỉnh của \(\left( P \right)\) là \(I\left( { - 1; - 4} \right)\). Đường thẳng \(y = cx + d\) di qua điểm \(I\left( { - 1; - 4} \right)\) nên ta có: \( - 4 = - 1.c + d \Rightarrow c - d = 4\).
Cho hàm số \(y = 3{x^2} - 6\left( {m - 1} \right)x + 1\) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số luôn đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\).
Do \(a = 3 > 0\) nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = m - 1\). Hàm số luôn đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x \in \left[ { - 1;1} \right]\) khi và chỉ khi \(m - 1 \in \left[ { - 1;1} \right]\)
\( \Leftrightarrow - 1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2\)
Vậy \(m \in \left[ {0;2} \right]\)
Tìm \(m\) để hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^2} + 2mx - m + 2\) đạt giá trị nhỏ nhất \(M \in \left[ { - 4;0} \right]\).
\(\Delta = 4{m^2} - 4.\left( {2 - m} \right) = 4{m^2} + 4m - 8\)
Do \(a = 1 > 0\) nên hàm số luôn đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - \dfrac{\Delta }{{4a}} = - {m^2} - m + 2\)
Khi đó
\(\begin{array}{l}M = - {m^2} - m + 2 \in \left[ { - 4;0} \right] \Leftrightarrow - 4 \le - {m^2} - m + 2 \le 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + m - 2 \ge 0\\{m^2} + m - 6 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m \ge 1\\m \le - 2\end{array} \right.\\ - 3 \le m \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 \le m \le 2\\ - 3 \le m \le - 2\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(m \in \left[ { - 3; - 2} \right] \cup \left[ {1;2} \right]\)
Cho hàm số \(\left( P \right):y = - {x^2} + 2x\). Đường thẳng \(\left( d \right):y = - bx + 2\) cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 1\). Tìm b.
Hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) là nghiệm của phương trình \( - {x^2} + 2x = - bx + 2 \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2 + b} \right)x + 2 = 0\).
Áp dụng hệ thức vi-ét ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2 + b\\{x_1}{x_2} = 2\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = {\left( {2 + b} \right)^2} - 4.2 = {\left| {{x_1} - {x_2}} \right|^2} = 1\)
Suy ra \({\left( {b + 2} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b + 2 = 3\\b + 2 = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 1\\b = - 5\end{array} \right.\)
Tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) liên tiếp sang phải $2$ đơn vị và lên trên $1$ đơn vị ta được đồ thị của hàm số nào?
Ta tịnh tiến đồ thị hàm số \(y = {x^2} + 1\) sang phải $2$ đơn vị ta được đồ thị hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1\) rồi tịnh tiến lên trên $1$ đơn vị ta được đồ thị hàm số \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}+1+1\) hay \(y = {x^2} - 4x + 6\).
Vậy hàm số cần tìm là \(y = {x^2} - 4x + 6\).
