Bài tập ôn tập chương 2

Hàm số $y = \dfrac{{3x - 1}}{{2x - 2}}$ xác định khi và chỉ khi $2x - 2 \ne 0$$\Leftrightarrow x \ne 1$.

$\Rightarrow D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ta có $- 2{x^2} - 6x + 3 =  - 2{\left( {x + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{2}$

Do đó tịnh tiến đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2}$ để được đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2} - 6x + 3$ ta làm như sau

Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số $y =  - 2{x^2}$ đi sang bên trái $\dfrac{3}{2}$ đơn vị và lên trên đi $\dfrac{{15}}{2}$ đơn vị.

Gọi hàm số cần tìm là $y = ax + b,\,a \ne 0$

Vì $A \in d$ và $B \in d$ nên ta có hệ phương trình

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = a + b}\\{ - 1 = 2a + b}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a =  - 4}\\{b = 7}\end{array}} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là $y =  - 4x + 7$

Ta có $\Delta :y = \dfrac{3}{2}x + \dfrac{1}{2}$. Vì ${\rm{d}}//\Delta$ nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{3}{2}}\\{b \ne \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.$  (1)

Mặt khác $C \in d \Rightarrow  - 2 = 3a + b$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{3}{2}}\\{b =  - \dfrac{{13}}{2}}\end{array}} \right.$

Vậy hàm số cần tìm là $y = \dfrac{3}{2}x - \dfrac{{13}}{2}$

Đường thẳng $d$ cắt tia $Ox$ tại $P\left( { - \dfrac{b}{a};0} \right)$ và cắt tia ${\rm{O}}y$ tại $Q\left( {0;b} \right)$ với $a < 0,b > 0$

Suy ra  ${S_{\Delta OPQ}} = \dfrac{1}{2}OP.OQ = \dfrac{1}{2}.\left| { - \dfrac{b}{a}} \right|.\left| b \right| =  - \dfrac{{{b^2}}}{{2a}}$ (1)

Ta có $M \in d \Rightarrow 2 = a + b \Rightarrow b = 2 - a$ thay vào (1) ta được

${S_{\Delta OPQ}} =  - \dfrac{{{{\left( {2 - a} \right)}^2}}}{{2a}} =  - \dfrac{2}{a} - \dfrac{a}{2} + 2$

Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số dương $- \dfrac{2}{a}$ và $- \dfrac{a}{2}$ ta có:                        

$- \dfrac{2}{a} - \dfrac{a}{2} \ge 2\sqrt {\left( { - \dfrac{2}{a}} \right).\left( { - \dfrac{a}{2}} \right)}  = 2 \Rightarrow {S_{\Delta OPQ}} \ge 4$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \dfrac{2}{a} =  - \dfrac{a}{2}}\\{a < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a =  - 2 \Rightarrow b = 4$

Vậy hàm số cần tìm là $y =  - 2x + 4$.

Đường thẳng $d$ đi qua $N\left( {2; - 1} \right)$ nên $- 1 = 2a + b$ (1)

Và $d \bot d' \Rightarrow 4.a =  - 1 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{4}$ thay vào (1) ta được $b =  - \dfrac{1}{2}$.

Vậy hàm số cần tìm là $y =  - \dfrac{1}{4}x - \dfrac{1}{2}$.

Ta có ${a_d} = 1 \ne {a_{d'}} = 3$ suy ra hai đường thẳng $d,\,\,d'$cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $d,\,\,d'$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = x + 2m}\\{y = 3x + 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = m - 1}\\{y = 3m - 1}\end{array}} \right.$  suy ra $d,\,\,d'$ cắt nhau tại$M\left( {m - 1;3m - 1} \right)$

Vì ba đường thẳng $d,\,\,d',\,\,d''$ đồng quy nên $M \in d''$ ta có $3m - 1 =  - m\left( {m - 1} \right) + 2 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m =  - 3}\end{array}} \right.$

$\bullet$ Với $m = 1$ ta có ba đường thẳng là $\,\,d:y = x + 2,\,\,d':y = 3x + 2,\,\,d'':y =  - x + 2,$ phân biệt và đồng quy tại $M\left( {0;2} \right)$.

$\bullet$ Với $m =  - 3$ ta có $d' \equiv d''$ suy ra $m =  - 3$ không thỏa mãn

Vậy $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Với $m = 1$ ta có $d:\,\,y = 1,\,\,d':y = 6$ do đó hai đường thẳng này song song với nhau

Với $m =  - 1$ ta có $d:\,\,y =  - 2x - 1,\,\,d':y = 6$ suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại $M\left( { - \dfrac{7}{2};6} \right)$(loại)

Với $m \ne  \pm 1$ khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - 1 = {m^2} - 1}\\{m \ne 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = 0}\end{array}} \right.}\\{m \ne 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = 1}\\{m = 0}\end{array}} \right.$

Đối chiếu với điều kiện $m \ne  \pm 1$ suy ra $m = 0$.

Vậy $m = 0$ và $m = 1$ là giá trị cần tìm.

Ta có tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \left( {m - 1} \right)x + m}\\{x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{y = m}\end{array}} \right. \Rightarrow A\left( {0;m} \right)$

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \left( {{m^2} - 1} \right)x + 6}\\{y = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {{m^2} - 1} \right)x + 6 = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.$ (*)

Rõ ràng $m =  \pm 1$ hệ phương trình (*) vô nghiệm

Với $m \ne  \pm 1$ ta có (*)$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \dfrac{6}{{1 - {m^2}}}}\\{y = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow B\left( {\dfrac{6}{{1 - {m^2}}};0} \right)$

Do đó tam giác $OAB$ cân tại $O \Leftrightarrow \left| m \right| = \left| {\dfrac{6}{{1 - {m^2}}}} \right|$

$\Leftrightarrow \left| {m - {m^3}} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m - {m^3} = 6}\\{m - {m^3} =  - 6}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{m^3} - m + 6 = 0}\\{{m^3} - m - 6 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m =  - 2}\\{m = 2}\end{array}} \right.$ (thỏa mãn)

Vậy $m =  \pm 2$ là giá trị cần tìm.

Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có

$\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { - 4;2} \right]}  = 3$  khi và chỉ khi $x =  - 4$

$\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 4;2} \right]}  = 0$ khi và chỉ khi $x = 2$

Vậy tổng hai giá trị đó là: $3 + 0 = 3$

Vì $A \in \left( P \right)$ nên $3 = 4a + 2b + c$ (1).

Mặt khác $\left( P \right)$ có đỉnh $I(1;2)$ nên $- \dfrac{b}{{2a}} = 1 \Leftrightarrow 2a + b = 0$ (2) và $I \in \left( P \right)$ suy ra $2 = a + b + c$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có $\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 3\\2a + b = 0\\a + b + c = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 2\\c = 3\end{array} \right.$

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - 2x + 3$.

Ta có $c = 2$ và $\left( P \right)$ đi qua $B\left( {3; - 4} \right)$ nên $- 4 = 9a + 3b + 2 \Leftrightarrow 3a + b =  - 2$ (*)

$\left( P \right)$ có trục đối xứng là $x =  - \dfrac{3}{2}$ nên $- \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow b = 3a$ thay vào (*) ta được $3a + 3a =  - 2 \Leftrightarrow a =  - \dfrac{1}{3} \Rightarrow b =  - 1$ .

Vậy $\left( P \right)$ cần tìm là $y =  - \dfrac{1}{3}{x^2} - x + 2$.

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ có giá trị nhỏ nhất bằng $\dfrac{3}{4}$ khi $x = \dfrac{1}{2}$ nên ta có

$- \dfrac{b}{{2a}} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a + b = 0$ (5)

$\dfrac{3}{4} = a{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + b\left( {\dfrac{1}{2}} \right) + c$ $\Leftrightarrow a + 2b + 4c = 3$ (6) và $a > 0$

Hàm số $y = a{x^2} + bx + c$ nhận giá trị bằng $1$ khi $x = 1$ nên $a + b + c = 1$(7)

Từ (5), (6) và (7) ta có $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\a + 2b + 4c = 3\\a + b + c = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b =  - 1\\c = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình $\left( P \right)$ cần tìm là $y = {x^2} - x + 1$.

Parabol cắt $Ox$ tại điểm có hoành độ bằng $2$ suy ra $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 0\end{array} \right.$

Ta có: $0 = a{.2^2} + 3.2 - 2 \Leftrightarrow a =  - 1$

Vậy parabol $y =  - {x^2} + 3x - 2$

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} = 3,\,\, - \dfrac{\Delta }{{4a}} =  - 1$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y = {x^2} - 6x + 8$ có đỉnh là $I\left( {3; - 1} \right)$, đi qua các điểm $A\left( {2;0} \right),\,\,B\left( {4;0} \right)$

Nhận đường thẳng $x = 3$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên.

Đường thẳng $y = m\left( { - 1 < m < 0} \right)$ song song với trục hoành nên ta thấy đường thẳng cắt đồ thị tại $2$ điểm phân biệt.

Ta có $- \dfrac{b}{{2a}} =  - 1,\,\, - \dfrac{\Delta }{{4a}} = 4$

Bảng biến thiên

Suy ra đồ thị hàm số $y =  - {x^2} - 2x + 3$ có đỉnh là $I\left( { - 1;4} \right)$, đi qua các điểm $A\left( {1;0} \right),\,\,B\left( { - 3;0} \right)$

Nhận đường thẳng $x =  - 1$ làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới.

Trên đoạn $\left[ { - 3;1} \right]$thì hàm số đạt GTNN $y = 0$

Ta có $\Delta ' = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {{m^2} - 3} \right) = 6m + 12$

Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 6m + 12 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 2$

Theo định lý Viét ta có $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} =  - 2\left( {m + 3} \right)}\\{{x_1}{x_2} = {m^2} - 3}\end{array}} \right.$

$P =  - 10\left( {m + 3} \right) - 2\left( {{m^2} - 3} \right) =  - 2{m^2} - 10m - 24$

Xét hàm số $y =  - 2{x^2} - 10x - 24$ với $x \in \left[ { - 2; + \infty } \right)$

Bảng biến thiên

Suy ra $\mathop {max}\limits_{\left[ { - 2; + \infty } \right)} y =  - 12$ khi và chỉ khi $x =  - 2$

Vậy $m =  - 2$ là giá trị cần tìm.

ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5 \ge 0}\\{x - 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - \dfrac{5}{4}}\\{x \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left[ {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} \ne {x_2}$ ta có

$\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {{x_2} - 1}  - \sqrt {4{x_1} + 5}  - \sqrt {{x_1} - 1} \\ = \dfrac{{4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}\\ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}} \right)\end{array}$

Suy ra $\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }} > 0$

Nên hàm số $y = \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}$ đồng biến trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Vì hàm số đã cho đồng biến trên $\left[ {1; + \infty } \right)$ nên

Nếu $x > 1 \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( 1 \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  > 3$

Suy ra phương trình $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = 3$ vô nghiệm

Nếu $x < 1 \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( 1 \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  < 3$

Suy ra phương trình $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = 3$ vô nghiệm

Với $x = 1$ dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 1$.

ĐKXĐ: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x + 5 \ge 0}\\{x - 1 \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge  - \dfrac{5}{4}}\\{x \ge 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$

Suy ra TXĐ: ${\rm{D}} = \left[ {1; + \infty } \right)$

Với mọi ${x_1},\,{x_2} \in \left[ {1; + \infty } \right),\,\,{x_1} \ne {x_2}$ ta có

$\begin{array}{l}f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right) = \sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {{x_2} - 1}  - \sqrt {4{x_1} + 5}  - \sqrt {{x_1} - 1} \\ = \dfrac{{4\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{{{x_2} - {x_1}}}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}\\ = \left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {\dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }}} \right)\end{array}$

Suy ra $\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{4}{{\sqrt {4{x_2} + 5}  + \sqrt {4{x_1} + 5} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {{x_2} - 1}  + \sqrt {{x_1} - 1} }} > 0$

Nên hàm số $y = \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}$ đồng biến trên khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$.

Xét phương trình đã cho:

Đặt ${x^2} + 1 = t,\,\,t \ge 1 \Rightarrow {x^2} = t - 1$  phương trình trở thành

$\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}  \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( t \right)$

Nếu $x > t \Rightarrow f\left( x \right) > f\left( t \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  > \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}$

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Nếu $x < t \Rightarrow f\left( x \right) < f\left( t \right)$ hay  $\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  < \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}$

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Vậy $f\left( x \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow x = t$ hay ${x^2} + 1 = x \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0$ (vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Gọi $M,N$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$. $M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \Rightarrow N\left( { - {x_0}; - {y_0}} \right)$

Vì $M,{\rm{ }}N$ thuộc đồ thị hàm số nên $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} =  - x_0^3 + x_0^2 + 3{x_0} - 4}\\{ - {y_0} = x_0^3 + x_0^2 - 3{x_0} - 4}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} =  - x_0^3 + x_0^2 + 3{x_0} - 4}\\{2x_0^2 - 8 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{y_0} =  - x_0^3 + x_0^2 + 3{x_0} - 4}\\{{x_0} =  \pm 2}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} = 2}\\{{y_0} =  - 2}\end{array}} \right.$ hoặc $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_0} =  - 2}\\{{y_0} = 2}\end{array}} \right.$

Vậy hai điểm cần tìm có tọa độ là $\left( {2; - 2} \right)$ và $\left( { - 2;2} \right)$.