Tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình
\(\sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} < 181 - 14x\) là
Điều kiện: \(x \ge \dfrac{6}{7}\)
Ta có \(\sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} < 181 - 14x\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} + 14x - 181 < 0(1)\).
Đặt \(t = \sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} {\rm{ }}\left( {t > 0} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = 14x + 1 + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} \\ \Rightarrow 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} + 14x = {t^2} - 1\end{array}\)
Phương trình (1) trở thành:
\(\begin{array}{l}t + {t^2} - 182 < 0 \Leftrightarrow \left( {t - 13} \right)\left( {t + 14} \right) < 0\\ \Leftrightarrow - 14 < t < 13\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt {7x + 7} + \sqrt {7x - 6} < 13\\ \Leftrightarrow 14x + 1 + 2\sqrt {49{x^2} + 7x - 42} < 169\\ \Leftrightarrow \sqrt {49{x^2} + 7x - 42} < 84 - 7x\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}84 - 7x \ge 0\\49{x^2} + 7x - 42 < 7056 - 1176x + 49{x^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 12\\x < 6\end{array} \right. \Leftrightarrow x < 6\end{array}\)
Vậy \(x \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{{x - 1}}$ với $x > 1$ là
$f\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{{x - 1}}$
$ = \dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{2}{{x - 1}} + \dfrac{1}{2}$
$ \ge 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{2}.\dfrac{2}{{x - 1}}} + \dfrac{1}{2}$
$ = 2.\sqrt 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ $\forall x > 1$
$ \Rightarrow f\left( x \right) \ge \dfrac{5}{2}$ $\forall x > 1$.
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 4 $ $\Leftrightarrow x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3$ (do x>1)
Vậy giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ là $\dfrac{5}{2}$ khi $x = 3$.
Cho các mệnh đề sau
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\;\;\left( I \right)\); \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\;\;\left( {II} \right)\); \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}\;\;\left( {III} \right)\)
Với mọi giá trị của \(a\), \(b\), \(c\) dương ta có
Với mọi \(a\), \(b\), \(c\) dương ta luôn có:
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\sqrt {\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a}} \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} \ge 2\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b\). Vậy \(\left( I \right)\) đúng.
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}.\dfrac{c}{a}}} \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} \ge 3\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c\). Vậy \(\left( {II} \right)\) đúng.
\(\left( {a + b + c} \right).\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \ge 3\sqrt[3]{{abc}}.3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{abc}}}} = 9\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \ge \dfrac{9}{{a + b + c}}\), dấu bằng xảy ra khi \(a = b = c\). Vậy \(\left( {III} \right)\) đúng.
Vậy \(\left( I \right)\), \(\left( {II} \right)\), \(\left( {III} \right)\) đúng
Để bất phương trình \(\sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right)} \le {x^2} + 2x + a\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]\), tham số \(a\) phải thỏa mãn điều kiện:
Điều kiện: $(x+5)(4-x) \ge 0 \Leftrightarrow -5\le x \le 4$
$\Rightarrow x+5\ge 0$ và $4-x \ge 0$
\(t = \sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right)} \,\)\( \Rightarrow 0 \le t \le \dfrac{{x + 5 + 3 - x}}{2} = 4 \Rightarrow t \in \left[ {0;4} \right]\)
\( \Rightarrow {x^2} + 2x = 15 - {t^2}\) thay vào bpt đầu ta được:
\(t \le 15 - {t^2} + a \Leftrightarrow {t^2} + t - 15 \le a\,\,(1),\,\forall \,t \in \left[ {0;4} \right]\)
Xét hàm số \(f(t) = {t^2} + t - 15,\,\forall \,t \in \left[ {0;4} \right]\),
Trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến nên ta tìm được \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f(t) = f\left( 4 \right) = 5\)
Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( t \right) \le a$
Vậy \(a \ge 5\)
Người ta dùng \(100\,{\rm{m}}\) rào để rào một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Biết một cạnh của hình chữ nhật là bức tường (không phải rào). Tính diện tích lớn nhất của mảnh để có thể rào được?
Đặt cạnh của hình chữ nhật lần lượt là \(x\), \(y\)(\(x\), \(y > 0\); \(y\) là cạnh của bức tường).
Ta có: \(2x + y = 100\).\(\left( 1 \right)\).
Diện tích hình chữ nhật là \(S = xy = 2.x.\dfrac{y}{2}\mathop \le \limits^{Cosi} 2.{\left( {\dfrac{{x + \dfrac{y}{2}}}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{8}{\left( {2x + y} \right)^2} = \dfrac{1}{8}{\left( {100} \right)^2} = 1250\).
Vậy \({S_{\max }} = 1250\,{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Đạt được khi \(x = \dfrac{y}{2} \Leftrightarrow y = 2x \Rightarrow x = 25\,{\rm{m}}\); \(y = 50\,{\rm{m}}\).
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{4{x^4} - 3{x^2} + 9}}{{{x^2}}}\); \(x \ne 0\) là
Xét hàm số \(y = \dfrac{{4{x^4} - 3{x^2} + 9}}{{{x^2}}}\)\( = 4{x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}} - 3\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô si, ta có \(4{x^2} + \dfrac{9}{{{x^2}}}\) \( \ge 2\sqrt {4{x^2}.\dfrac{9}{{{x^2}}}} \)\( = 12\)\( \Rightarrow \)\(y \ge 9\).
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{4{x^4} - 3{x^2} + 9}}{{{x^2}}}\) là \(9\) khi \(4{x^2} = \dfrac{9}{{{x^2}}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \( - {x^2} + x - m > 0\) vô nghiệm.
Bất phương trình \( - {x^2} + x - m > 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \( - {x^2} + x - m \le 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\).
Ta có \( - {x^2} + x - m \le 0\)\(\forall x \in \mathbb{R}\)\( \Leftrightarrow \Delta \le 0\) \( \Leftrightarrow 1 - 4m \le 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{1}{4}\).
Tìm các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m = 0\) có một nghiệm lớn hơn \(1\) và một nghiệm nhỏ hơn \(1\)?
Với \(m - 1 \ne 0\) ta xét phương trình: \(\left( {m - 1} \right){x^2} - 2mx + m = 0\)\(\left( 1 \right)\).
Ta có: \(\Delta ' = {b'^2} - ac\) \( = {m^2} - m\left( {m - 1} \right)\) \( = m\).
Để phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm phân biệt thì: \(\Delta ' > 0\) \( \Leftrightarrow m > 0\).
Giả sử \({x_1}\), \({x_2}\) là hai nghiệm của \(\left( 1 \right)\) và \({x_1} > 1\), \({x_2} < 1\).
Ta có: \(\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) < 0\)\( \Leftrightarrow \) \({x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 < 0\)\(\left( * \right)\).
Theo Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1}.{x_2} = \dfrac{m}{{m - 1}}\\{x_1} + {x_2} = \dfrac{{2m}}{{m - 1}}\end{array} \right.\), thay vào \(\left( * \right)\) ta có:
\(\dfrac{m}{{m - 1}} - \dfrac{{2m}}{{m - 1}} + 1 < 0\)\( \Leftrightarrow \) \(\dfrac{{ - 1}}{{m - 1}} < 0\)\( \Leftrightarrow m > 1\).
Vậy với \(m > 1\) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Cho bất phương trình \(4\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} \le {x^2} - 2x + m - 3\). Xác định $m$ để bất phương trình nghiệm đúng với \(\forall x \in \left[ { - 1;3} \right]\).
Với mọi \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\), đặt \(t = \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} \)$ \le \dfrac{{x + 1 + 3 - x}}{2}$$ \Rightarrow t \in \left[ {0;\,2} \right]$.
Khi đó bất phương trình \(4\sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {3 - x} \right)} \le {x^2} - 2x + m - 3\) trở thành
$4t \le - {t^2} + m \Leftrightarrow {t^2} + 4t \le m$.
Với $t \in \left[ {0;\,2} \right]$$ \Rightarrow 0 \le {t^2} + 4t \le 12$, suy ra \(m \ge 12\).
Hệ sau có nghiệm duy nhất \(\left\{ \begin{array}{l}mx \le m - 3\\\left( {m + 3} \right)x \ge m - 9\end{array} \right.\) khi và chỉ khi
Nhận thấy với \(m = 0\) hệ vô nghiệm
\(m = - 3\) giải hệ ta được nghiệm \(x \ge 2\)
Với \(m \in \left( { - \infty ; - 3} \right)\) hệ đã cho \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{m - 3}}{m}\\x \le \dfrac{{m - 9}}{{m + 3}}\end{array} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{{m - 3}}{m} = \dfrac{{m - 9}}{{m + 3}} \Leftrightarrow m = 1 \notin \left( { - \infty ;{\mkern 1mu} - 3} \right)\)
Với \(m \in \left( { - 3;{\mkern 1mu} 0} \right)\) hệ phương trình \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{m - 3}}{m}\\x \ge \dfrac{{m - 9}}{{m + 3}}\end{array} \right.\) suy ra không có \(m \in \left( { - 3;0} \right)\) để hệ có nghiệm duy nhất.
Với \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\) hệ đã cho \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \dfrac{{m - 3}}{m}\\x \ge \dfrac{{m - 9}}{{m + 3}}\end{array} \right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{{m - 3}}{m} = \dfrac{{m - 9}}{{m + 3}} \Leftrightarrow m = 1 \in \left( {0; + \infty } \right)\)
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi \(m = 1\).
Biểu thức \(P = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\), với mọi giá trị của \(a\), \(b\), \(c > 0\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Ta có \(P = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\)
$ \Rightarrow P + 3 = \dfrac{a}{{b + c}} + 1 + \dfrac{b}{{c + a}} + 1 + \dfrac{c}{{a + b}} + 1$
$ \Leftrightarrow P + 3 = \dfrac{{a + b + c}}{{b + c}} + \dfrac{{a + b + c}}{{c + a}} + \dfrac{{a + b + c}}{{a + b}}$
$ \Leftrightarrow P + 3 = \left( {a + b + c} \right).\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right)$
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số không âm ta có:
$\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}} \ge 3\sqrt[3]{{\dfrac{1}{{b + c}}.\dfrac{1}{{c + a}}.\dfrac{1}{{a + b}}}}$ (1)
Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho 3 số không âm ta có:
\(\left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right) + \left( {a + b} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {b + c} \right).\left( {c + a} \right).\left( {a + b} \right)}}\)
Suy ra \(2\left( {a + b + c} \right) \ge 3\sqrt[3]{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right)}}\) \( \Leftrightarrow a + b + c \ge \dfrac{3}{2}\sqrt[3]{{\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)\left( {a + b} \right)}}\) (2)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{{b + c}} + \dfrac{1}{{c + a}} + \dfrac{1}{{a + b}}} \right) \ge \dfrac{9}{2}\)
Do đó \(P + 3 \ge \dfrac{9}{2}\)$ \Rightarrow P \ge \dfrac{3}{2}$.
Vậy mệnh đề $P \ge \dfrac{3}{2}$ đúng với mọi giá trị của \(a\), \(b\), \(c > 0\).
Dấu xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c\).
Giải bất phương trình \(\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 3} \ge {x^3} + 3x - 1\) (với \(x \in \mathbb{R}\)), ta được tập nghiệm là \(S = \left[ {\dfrac{a}{b};c} \right]\) với \(a,b,c \in {\mathbb{N}^*}\), phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản. Khi đó \(a + b + c\) bằng
Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}3x - 2 \ge 0\\x + 3 \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{2}{3}\\x \ge - 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \ge \dfrac{2}{3}\).
Bất phương trình có nghiệm \(x = 1\)
Ta có: \(\sqrt {3x - 2} + \sqrt {x + 3} \ge {x^3} + 3x - 1\)\( \Leftrightarrow \sqrt {3x - 2} - 1 + \sqrt {x + 3} - 2 \ge {x^3} + 3x - 4\)
\( \Leftrightarrow \dfrac{{3\left( {x - 1} \right)}}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \ge \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 4} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \left( {{x^2} + x + 4} \right)} \right) \ge 0\)
Xét \(x < 1\), khi đó \(x - 1 < 0\)
* Vì \(\dfrac{2}{3} \le x < 1\) nên \(0 \le \sqrt {3x - 2} < 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} \le 3\) ;\(\dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \le \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{{11}}{3}} + 2}}\), do đó
\(\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} \le 3 + \dfrac{1}{{\sqrt {\dfrac{{11}}{3}} + 2}} = 9 - \sqrt {33} \) (1)
* \({x^2} + x + 4 = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{15}}{4} \ge \dfrac{{15}}{4}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \left( {{x^2} + x + 4} \right)\)\( \le 9 - \sqrt {33} - \dfrac{{15}}{4} = \dfrac{{21 - 4\sqrt {33} }}{4} < 0\)
Suy ra \(\left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \left( {{x^2} + x + 4} \right)} \right) > 0\) nên \(x < 1\) thỏa bất phương trình.
Xét \(x > 1\), khi đó \(x - 1 > 0\)
Ta có \(\sqrt {3x - 2} > 1 \Rightarrow \dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} < \dfrac{3}{2}\);\(\dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} < \dfrac{1}{4}\); \( - \left( {{x^2} + x + 4} \right) = - {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{{15}}{4} < - \dfrac{{15}}{4}\)
\(\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \left( {{x^2} + x + 4} \right) < \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{{15}}{4} = - 2 < 0\)
Do đó \(\left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{3}{{\sqrt {3x - 2} + 1}} + \dfrac{1}{{\sqrt {x + 3} + 2}} - \left( {{x^2} + x + 4} \right)} \right) < 0\) (không thỏa mãn yêu câu đề bài)
Tóm lại BPT có tập nghiệm là \(S = \left[ {\dfrac{2}{3};1} \right]\)\( \Rightarrow a = 2;b = 3;c = 1 \Rightarrow a + b + c = 6\)
Hàm số \(y = \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{{1 - x}}\) với \(0 < x < 1\), đạt giá trị nhỏ nhất tại \(x = \dfrac{a}{b}\) (\(a\), \(b\) nguyên dương, phân số \(\dfrac{a}{b}\) tối giản). Khi đó \(a + b\) bằng
Vì \(0 < x < 1\) nên \(x > 0\) và \(1 - x > 0\)
Từ đó \(y = \dfrac{4}{x} + \dfrac{9}{{1 - x}}\)\( = \dfrac{{{2^2}}}{x} + \dfrac{{{3^2}}}{{1 - x}}\)\( \ge \dfrac{{{{\left( {2 + 3} \right)}^2}}}{{x + 1 - x}} = 25\)
Suy ra \({y_{\min }} = 25\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\dfrac{2}{x} = \dfrac{3}{{1 - x}} \Leftrightarrow 2\left( {1 - x} \right) = 3x\) \( \Leftrightarrow 2 - 2x = 3x \Leftrightarrow x = \dfrac{2}{5}= \dfrac{a}{b}\) \( \Rightarrow a + b = 7\).
