Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{{x - 1}}$ với $x > 1$ là
Trả lời bởi giáo viên
$f\left( x \right) = \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{{x - 1}}$
$ = \dfrac{{x - 1}}{2} + \dfrac{2}{{x - 1}} + \dfrac{1}{2}$
$ \ge 2\sqrt {\dfrac{{x - 1}}{2}.\dfrac{2}{{x - 1}}} + \dfrac{1}{2}$
$ = 2.\sqrt 1 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ $\forall x > 1$
$ \Rightarrow f\left( x \right) \ge \dfrac{5}{2}$ $\forall x > 1$.
Dấu "=" xảy ra khi $\frac{{x - 1}}{2} = \frac{2}{{x - 1}} \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 4 $ $\Leftrightarrow x - 1 = 2 \Leftrightarrow x = 3$ (do x>1)
Vậy giá trị nhỏ nhất của $f\left( x \right)$ là $\dfrac{5}{2}$ khi $x = 3$.
Hướng dẫn giải:
Thêm bớt hạng tử rồi sử dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)