Câu hỏi:
2 năm trước
Để bất phương trình \(\sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right)} \le {x^2} + 2x + a\) nghiệm đúng \(\forall x \in \left[ { - 5;3} \right]\), tham số \(a\) phải thỏa mãn điều kiện:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Điều kiện: $(x+5)(4-x) \ge 0 \Leftrightarrow -5\le x \le 4$
$\Rightarrow x+5\ge 0$ và $4-x \ge 0$
\(t = \sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right)} \,\)\( \Rightarrow 0 \le t \le \dfrac{{x + 5 + 3 - x}}{2} = 4 \Rightarrow t \in \left[ {0;4} \right]\)
\( \Rightarrow {x^2} + 2x = 15 - {t^2}\) thay vào bpt đầu ta được:
\(t \le 15 - {t^2} + a \Leftrightarrow {t^2} + t - 15 \le a\,\,(1),\,\forall \,t \in \left[ {0;4} \right]\)
Xét hàm số \(f(t) = {t^2} + t - 15,\,\forall \,t \in \left[ {0;4} \right]\),
Trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\) hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến nên ta tìm được \(\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {0;4} \right]} f(t) = f\left( 4 \right) = 5\)
Bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;4} \right]} f\left( t \right) \le a$
Vậy \(a \ge 5\)
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = \sqrt {\left( {x + 5} \right)\left( {3 - x} \right)} \,\), tìm điều kiện của \(t\)
- Biến đổi bất phương trình về ẩn \(t\) và sử dụng lý thuyết bất phương trình \(f\left( t \right) \le M\) nghiệm đúng với \(\forall t \in D\) khi và chỉ khi \(M \ge \mathop {\max }\limits_D f\left( t \right)\)
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
